2020-2021学年宁波市慈溪市九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1.如图，在AABC中，4a48=65。，以点4为旋转中心，将A48C绕

点逆时针旋转，得△力B'C',连接CC',当CC'〃AB'时，旋转角的大\

小为（）

A.35°AC

B.45°

C.50°

D.65°

2.下列事件属于必然事件的是（）

A.足球比赛中梅西罚进点球

B.小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒

C.今年成都12月份下雪

D.我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班

3.抛物线y=（工+3）2-2可以由抛物线y=/平移得到，则下列平移过程正确的是（）

A.先向左平移3个单位，再向上平移2个单位

B.先向右平移3个单位，再向下平移2个单位

C.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位

D.先向右平移3个单位，再向上平移2个单位

4.如图，已知正方形4BC。，点E是BC边的中点，OE与4C相交于点F,连接

BF,下列结论：①△ABF=LADF;@S&ADF=2SACFF；③tan"BF="

④S-BF=4SABEF，其中正确结论的个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

5.如图，在△ABC中，点D在8c边上，连接4。，点E在AC边上，过点E作

EF//BC,交4。于点尸，过点E作EG〃/1B,交BC于点G,则下列式子一

定正确的是（）

AA-AE=—EF

*ECCD

n

B.—EF=—EG

CDAB

_AFBG

(----=------

•FDGC

cCGAF

U.—=—

BCAD

6.如图，在^ABC中，^ACB=90。，点。为4B的中点，AC=3,cosA

将AZMC沿着CD折叠后，点4落在点E处，则BE的长为（）

A.5

B.4V2

C.7

D.5V2

7.量角器的直径与直角三角板ABC的斜边4B重合，其中量角器。刻度

线的端点N与点4重合，射线CP从C4处出发沿顺时针方向以每秒3度

的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E,当第20秒时，点E在

量角器上对应的读数是（）

A.150°B.120°C.75°D.60°

8.汽车在沿坡比为1：6的斜坡上前进150米,则汽车上升的高度为（）

A.75米B.758米C.50V3D.150米

9.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（）

A.对角线互相平分B.对角线互相垂直

c.对边平行且相等D.对角线相等

10.在同一平面直角坐标系中，先将抛物线4丫=产一2通过左右平移得到抛物线8,再将抛物线B

通过上下平移得到抛物线C：y=x2-2x+2,则抛物线B的顶点坐标为（）

A.（-1,2）B.（1,2）C.（1,-2）D.（-1,-2）

二、填空题（本大题共6小题，共30.（）分）

11.在△ABC中，AB=6,AC=8,ShABC=12V3,则.

12.2021年3月12日是我国第43个植树节，植树造林对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有

重要意义.区林业部门要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树移植过程中

的一组统计数据：

幼树移植数（棵）1002500400080002000030000

幼树移植成活数（棵）872215352070561758026430

幼树移植成活的频率0.8700.8860.8800.8820.8790.881

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是.（结果精确到001）

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax?+2x+3（a<0）交工轴正半

轴于点4交y轴于点8,将抛物线向下平移3个单位，若抛物线上人B两

点间的部分在平移过程中扫过的面积为9,则a的值为

14.如图，BA为。。的切线，切点为点4,B。交。。于点C.点。在。。上，连接CD、/W,乙48。=32°,

则〃CC=

15.四边形力BCD是平行四边形，AB=6,NB4C的平分线交直线BC于点E,若CE=2,贝！|Q4BCD的

周长为.

16.元代数学家朱世杰于1303年编著的泗元玉鉴》中有这样一道题目：九百九十九文钱，及时梨

果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱.问：梨果多少价几何？此题的题意是：用999文

钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个.问买梨、果各儿个？设梨买x个，可列方

程为：•

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.某小区举行放风筝比赛，一选手的风筝C距离地面的垂直高度CD为226米，小明在火车站广场/

处观测风筝C的仰角为21.8。，同时小花在某楼顶B处观测风筝C的仰角为30。，其中小花观测处距

水平地面的垂直高度BE为100米，点4、E、D在一条直线上.试求小明与楼BE间的水平距离力E.(

结果保留整数)

(V3«1.73,s讥21.8。x0.37,cos21.8°«0.93,tan21.8°«0.40)

四、解答题(本大题共7小题，共70.0分)

18.计算：V12-2sin60°-(-2013)°+3-1.

19.如图，在△力BC中，AB=AC=10,BC=16.

(1)尺规作图：求作BC的中点。(保留作图痕迹，不写作法);

(2)连接AD,求4D的长.

20.一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.

(1)随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；

(2)随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，请用列表法或树形图画出所有的可能性，并

求两次摸取的小球的标号的和为5的概率.

21.某小区有一长100巾，宽807n的空地，现将其建成花园广场，设计图案如下：阴影区域为绿化区

(四块绿化区是全等矩形)，空白区域为活动区，且四周出口一样宽，宽度不小于50m,不大于60nl.

预计活动区每平方米造价60元，绿化区每平方米造价50元.

(1)设一块绿化区的长边为第n,写出工程总造价y与x的函数关系式(写出x的取值范围).

(2)如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x为整数的所

有工程方案；若不能，请说明理由.(参考值：1.732)

22.如图，已知等腰AABC,AB=AC,O。是△ABC的外接圆，点。是诧上一动点，连接CD并延

长至点E,使得4E=AD.

(1)求证：①miE=zB4C;②EC=BD;

⑵若EC"AB,判断4E与。。的位置关系；

(3)若ZC4B=30。，BC=6,点。从点A运动到点C处，则点E运动路径的长为

23.已知抛物线y=/+m尤+n.

(1)设抛物线与x轴交于4、B两点，与y轴交于点C.若AABC是直角三角形，求点C的坐标;

(2)若jn=L且当-1<%<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求71的取值范围；

(3)求使得不等式|%2+mx+n|<2,当1<x<5时恒成立的实数对

24.如图，在平面直角坐标系中，已知点4(4,0),点B(0,4),动点C在以半径为2的。。上，连接0C,

过。点作。。10C,。£)与。。相交于点D,连接4B.

(1)若点C在第二象限的。。上运动，当OC〃AB时，NBOC的度数为；

(2)若点C在整个O。上运动，当点C运动到什么位置时，AZBC的面积最大？并求出△ABC的面积的

最大值；

(3)若点C在第一、二象限的。。上运动，连接4。，当。C〃AD时,

①求出点C的坐标；

②直线BC是否为。0的切线？请作出判断，并说明理由.

参考答案及解析

1.答案：c

解析:"CC//AB',

Z.ACC=Z.CAB'

•・•△ABC绕点4旋转得到4AB'C,

/.CAB'=/.CAB=65°,AC=AC',

•••4AC'C=Z-C'AB'=65°,AACC'=AAC'C=65°,

•••Z.CAC'=180°-244CC'=180°-2x65°=50°,

故选：C.

由平行线的性质得出得44C'C'=NC'AB’,由旋转的性质可得NC'AB'=NC4B=65。，AC=AC',由

等腰三角形两底角相等求ZC4C'=65。即可.

本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键.

2.答案：D

解析：解：4、足球比赛中梅西罚进点球，是随机事件，选项不合题意；

8、小强在校运会上100米比赛的成绩为5秒属于不可能事件，选项不合题意；

C、今年成都12月份下雪是随机事件，选项不合题意；

。、我校初一年级有7个班，8个我校初一年级同学中至少有两个同学同班是必然事件，符合题意.

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事

件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

3.答案:C

解析：解析：

试题分析：根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可：

"膏=必_型的呼.啾亶――环修产-＞而懒嫦喇*多安瞬葡-2，

•••平移过程为：先向左平移3个单位，再向下平移2个单位.

故选C.

考点：二次函数图象与平移变换.

4.答案：C

解析：解：•・・四边形ABC。是正方形,

/.AD//CB,AD=BC=AB,/.FAD=Z.FAB,

AF=AF

在△4F0和△4FB中，\z.FAD=/.FAB,

AD=AB

：.LAFD^LAFB,故①正确，

**•S>ABF~SAADF，BE—EC=QBC—5"AD//ECf

.-C—E_—E=F_—C—F—_,1

ADDFAF2

'^LADF=4S&CEF'S&cFE=^ABEF9

故②错误；④正确；

・・•四边形48CD是正方形，

:・AB//CD,

CMCF

••=—,

ABAF

,CF_1

t一

,AF=2,

,CM_1

,•AB-2’

CM=-2A2B=-C2D=-BC,

AtanZ-EBF=^=|»故③正确;

即正确的个数是3,

故选：C.

11

根据S4S可以推出△?!/叫三△山法，故①正确；即可推出SMBF=SMDF，由8E=EC=-2BC=-2AD,

AD//EC,推出而=而=而=下可得SUBF=Su。/=4S^CEF，S&CEF■，故②错误，④正

确，求出CM=：BC,即可判断③.

本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、平行线分线段成比例定理等知

识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

5.答案：C

解析：

【试题解析】

本题主要考查了平行线分线段成比例性质，关键是熟记定理，找准对应线段.

根据平行线分线段成比例性质进行解答便可.

解：•••EF//BC,

AF_AE

FD~EC'

vEG//AB,

AE_BG

"而=芯'

AF_BG

“而一"GC'

故选：c.

6.答案：C

解析：

【试题解析】

本题考查的是翻转变换的性质、直角三角形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折

叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

连接AE,根据余弦的定义求出AB,根据勾股定理求出BC,根据直角三角形的性质求出CD,根据面

积公式出去AE,根据翻转变换的性质求出AF,根据勾股定理、三角形中位线定理计算即可.

解：连接4E,

MC=3,cos^CAB=l

■■■AB=3AC=9,

由勾股定理得，BC=>JAB2-AC2=6V2.

乙4cB=90。，点。为力B的中点，

19

ACD=-AB=-,

22

S»ABC=gX3x6&=9A/2,

・,•点。为4B的中点,

_1_9yf2

A3c△工CO=2^chABC=~~2^f

由翻转变换的性质可知，S四边形ACED=9五,AEA.CD,

贝岭xCDxAE=9V2,

解得，AE=4近，

AF=2V2,

由勾股定理得，DF=>JAD2-AF2=

vAF=FE,AD=DB,

・•・BE=2DF=7,

故选c.

7.答案：B

解析：解：连接0E,

・.•射线CP从S处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转,

.♦•第20秒时，乙4CE=3°x20=60°,

v4ACB=90°,

.•.点C在以48为直径的圆上，

叩点C在。。上，

•••Z.EOA=2Z.ECA=2x60°=120°.

故选B.

首先连接0E,由N4CB=90。，根据圆周角定理，可得点C在00上，即可得NE04=2NEC4又由

NEC4的度数，继而求得答案.

此题考查了圆周角定理.此题难度适中，解题的关键是证得点C在。。上，注意辅助线的作法，注意

数形结合思想的应用.

8.答案：A

解析：解：如图：4£'18。于后,

由题意得：AE：BE=1：V3,AB=150米,

AE_1_V3

tanz.fi=

BE~y/3-3

Z.B=30°,

.•.在RtMBE中，4E=150=75(米).

故选A.

首先根据题意作图，然后由汽车在沿坡比为1：V3,即可求得的度数，继而根据在直角三角形中，

30。角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得汽车上升的高度.

此题考查了坡角坡度问题.此题难度不大，解题的关键是根据题意作出图形，利用数形结合的思想

求得坡角的度数，继而利用直角三角的性质即可求得答案.

9.答案：B

解析：解：力、对角线互相平分，菱形和矩形都具有；

B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质；

C、对边平行且相等，菱形和矩形都具有；

。、对角线相等，菱形不一定具有的性质；

故选：B.

菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，

且每一组对角线平分一组对角.

矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分.

本题考查菱形与矩形的性质，需要同学们对各种平行四边形的性质熟练掌握并区分.

10.答案:C

解析：解：抛物线A：y=然-2的顶点坐标是(0,-2),抛物线C：y=x2-2x+2=(x-l)2+l的

顶点坐标是(1,1).

则将抛物线4向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C.

所以抛物线B是将抛物线/向右平移1个单位得到的，其解析式为y=(%-I)2-2,

所以其顶点坐标是

故选：C.

平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求

抛物线解析式.

本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系.关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能

用顶点式表示平移后的抛物线解析式.

11.答案：60。或120。

解析：解：过点C作CDJ.48于点D,

如图1,当AABC为锐角三角形时,

SMBC=3AB-CD,iLAB=6、S&ABC=12v

/.CD2s“BC=2=4如,

AB6

在RM4CD中，门段=*言号

・・•乙4=60°；

如图2,当AABC为钝角三角形时,

由①知，CD=4V3,

Z-DAC=60°,

则4c=120°,

故答案为：60。或120。.

分AABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，先根据三角形的面积求得AB边上的高，再根据4c所

在直角三角形的正弦函数求解可得.

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及分类讨论思想的运用、

三角函数的概念.

12.答案：0.88

解析：解：••・根据表中数据，试验频率逐渐稳定在0.88左右，

这种幼树在此条件下移植成活的概率是0.88；

故答案为：0.88.

利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可.

此题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键.

13.答案:-1

解析：解：如图，抛物线上4、8两点间的部分在平移过程中扫过的面积等于Jj

的面积，

•••平移过程中扫过的面积为9,一~3

••.3Q=9,7£

解得04=3,'|'

・••点4的坐标为(3,0),

代入得32+2x3+3=0,

解得Q=-1.

故答案为：一1.

根据二次函数的性质，平移过程中扫过的面积等于平行四边形的面积，然后列方程求出。4从而得

到点4的坐标，再代入抛物线解析式求解即可.

本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，理解并判断出平移扫过的面

积等于平行四边形的面积是解题的关键.

14.答案：29

解析：解：84为。。的切线，

・•・OA1BA,

:.Z.BAO=90°,

•・・乙ABO=32°,

・・・48。4=90。-32。=58。，

•—2。4=*8°=29°.

故答案为：29.

根据B4为O。的切线，可得O4_LB4根据圆周角定理即可求出结果.

本题考查了切线的性质，圆周角定理，解决本题的关键是掌握切线的性质和圆周角定理.

15.答案:20或28

解析：解：当E点在线段8C上时，如图:

・•・BC//AD,

••Z.BEA=Z.EADf

•・•AE平分/BAD,

・•・乙BAE=Z.EAD,

:.乙BEA=乙BAE,

,BE=AB,

vAB=6,

・•・BE=6,

•・・CE=2,

:.BC—BE+CE=6+2=8,

・•・平行四边形ABC。的周长为：2x(6+8)=28,

当E点在线段BC延长线上时，如图：

・•・BC//AD,

・•・乙

BEA=Z-EADf

•・・AE平分4O,

・•・乙BAE=Z-EAD,

:.Z-BEA=乙BAE,

・•・BE=AB,

vAB=6,

・•・BE-6,

•・・CE=2,

・・・BC=BE-CE=6-2=4,

・•・平行四边形ABC。的周长为：2x(6-+-4)=20,

综上，平行四边形4BCD的周长为20或28.

本题主要考查平行四边形的性质，证明BE=4B,求解BE的长是解题的关键.

16.答案：yx+^(1000-x)=999

解析：解：设梨买x个，则果买(1000-乃个，

由题意，得4工+：(1000-x)=999.

97

故答案是：+-X)=999.

97

设梨买X个，根据梨的花费+果的花费=999列出方程.

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.

17.答案：解：过点B作BGLCD于点G,

则四边形BEDG是矩形，

.•・BG=ED,BE=DG,

在Rt△CBG中，CG=CD-DG=226-100=126（米）.

BG=CG=卫-«218.0（米），

tanzCBGtan30°17

在Rt△C4D中，丫tan^CAD=—,

AD

4cCD226226l

••・AD=---------=----------=—=565（米）,

tanzCXDtan21.8°0.4vJ

•••AE=AD-DE=AD-BG=565-218.0»347（米）.

答：小明与楼BE间的水平距离AE为347米.

解析：过点B作BG，CC于点G,解直角三角形求出BG和4。的长，则可求出答案.

本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，三角函数的定义，借助仰角构造直角三角形并解直

角三角形是解题的关键.

18.答案：解：原式=26一2x二一1+3

23

=V3-1.

解析：本题涉及二次根式化简、特殊角的三角函数值、零指数基、负整数指数嘉四个考点.针对每

个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

19.答案：解:（1）如图所示:

（2）-：AB=AC,。为BC中点，

8,1

BD=-2BC=ADBC,

在Rt△48。中，AD=V102-82=6.

解析：（1）直接利用线段垂直平分线的画法得出答案；

（2）直接利用等腰三角形的性质结合勾股定理得出ZD的长.

此题主要考查了勾股定理以及复杂作图，正确掌握勾股定理是解题关键.

20.答案：解：（1）随机摸取一个小球，共4种可能性，

它们的可能性相等.

恰好摸到标号为2的小球的可能有1种.

•••P（恰好摸到标号为2的小球）=%

（2）树状图如下:

开始

第一次

第二）欠1

由上可知，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，共16种可能性,

它们的可能性相等.

两次摸取的小球标号的和为5（记为事件4）的共有4种可能.

解析：本题考查概率的求法：得到两次摸取的小球的标号的和为5的情况数是解决本题的关键；用到

的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)用摸到标号为2的小球的情况数除以总的情况数即可；

(2)列举出所有情况，看两次摸取的小球的标号的和为5的情况数占总情况数的多少即可.

21.答案：(1)解：矩形的宽为8°—(10°—22)=*一io,

2

y=50-x(x-10)-4+60[100x80-4x(x-10)],

即：y=-40x2+400x+480000,

vx>0,x—10>0.50<100-2%<60,

即：x的取值范围是20<25.

答：工程总造价y与x的函数关系式是y=-40/+400x+480000,x的取值范围是204xW25.

(2)解：46.9万元=469000元,

根据题意得：-40/+400%+480000<469000,

BP：(x-5)2-300>0,

解得：x<-12.32,或x222.32

•••由(1)知20<x<25,

22.32<%<25,

.••X能取23、24、25.

所以只有3种方案：

①当》=23时，y=468040；

②当％=24时，y=466560；

③当％=25时，y=465000；

答：如果小区投资46.9万元，能完成工程任务.x为整数的所有工程方案是：

①当x=23时，y=468040；②当x=24时，y=466560；③当久=25时，y=465000.

解析：试题分析：(1)首先表示矩形的宽为X-10,再根据题意表示出活动区和绿化区的面积，进而

列出解析式；(2)假设能列出不等式一40然+400x+480000S469000,解出不等式的解集，找出

和x的取值范围20<x<25的公共部分，取整数x即可.

22.答案：解：(1)①•.♦四边形力BCD是。。的内接四边形，

^ADC+乙ABC=180°,

•••^LADC+/.ADE=180°,

•••乙ABC=Z.ADE,

-AB=AC,

・•・/-ACB=Z-ABC,

・・・Z.BAC=180。-2乙48。，

同理皿IE=180°-2乙ADE,

・•.LEAD=Z-BAC,

②

vZ-EAD=乙BAC,

:.Z-EAD+Z.DAC=Z.BAC+Z-DAC,

^LEAC=乙DAB,

又・・・

AE=AD,AC=ABf

・•・△E4C三△D4B(S4S),

・・・EC=08；

(2)连接4。并延长交BC于点H,连接B。、CO,

•・・BO=CO,AB=AC,

・・・A”垂直平分8C,即4”_L8C,

•・・CE//AB,

・•・乙E+Z.EAB=180°,

vZ-E=Z.ADE,Z.ADE=/.ABC,

-Z-E=Z.ABC,

・•・/.ABC+/.EAB=180°,

：.AE//BC,

LEAH=180°-AAHC=90°,

EALAH,且04是半径，

•••4E与。。相切；

(3)7TT.

解析：

证明：(1)①见答案；②见答案；

(2)见答案；

(3)连接4。并延长交0。于点F,连接FC,作NGAC=NR4C,交FC的延长线于点G,取4G中点H,

连接HC,OB,0C,

G

■：乙BAC=30°,

•••乙BOC=60°,S.OB=0C,

OBC是等边三角形，

:.OB=0C=BC=6,

-AB=AC,Z.BAC=30°,

・•・/LABC=75°,

・•・力/是直径，

AAF=12,Z.ACF=90°,

v乙ACF=Z-ACG=90°,^GAC=Z.FAC,AC=AC,

•^AGC=^AFC(ASA)f

・・・AG=AF=12,Z.AGF=/LAFG=^ABC=75°,

・・・Z,GAC=15°,

,:Z-ABC=Z.AEDJZ-AGF=Z.ABC,

：,Z-AGF=Z.AED,

，点4,点E,点G,点。四点共圆，

•・・Z,ACG=90°,

・・・4G是过点4点E,点G,点。四点的圆的直径,

即点E在以4G为直径的圆上.

•:AH=HC,

:，^GAC=乙HCA=15°,

・・・Z.AHC=150°,

点。从点4运动到点C处，

・•・点E绕点”旋转210。，

•••点E运动路径的长为=笔F=7兀，

low

故答案为：77T.

(1)①根据圆的内接四边形的性质，可求/ZME=NB4C,②由题意可证△E4C三△可得EC=

BD；

(2)连接4。并延长交BC于点H,连接BO、CO,由80=C。，AB=AC,可得垂直平分BC,由圆

的内接四边形的性质和平行线的性质，可求4E〃BC,可得区414，，即可判断4E与。。的位置关系；

(3)连接4。并延长交。。于点尸，连接尸C,作NG4C=N凡4C,交尸C的延长线于点G,取4G中点H,

连接HC,OB,0C.由题意可得BO=CO=BC=6,可证AAGC三△AFC,可得4G=4尸=12,^AGF=

^AFG=^ABC=75°,即可证点4,点E,点G,点C四点共圆，则可求点E运动路径的长.

本题考查了圆的综合题，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当的

辅助线是本题的关键.

23.答案：解：(1)如图1,设点4在点B的左侧，设点4、B的横坐标分别为a、b(a<0,b>0),

对于y=/+7n%+几，令x2+mx+n=o,则ab=n，令x=0,则y=n,则点C(0,n),

•・•△4BC是直角三角形，则只能乙4BC为直角，

Z.BCO+Z.ACO=90°,

・・•Z.ACO+/-CAO=90°,

:.Z-BCO=Z.CAOf

:.tanZ-BCO=tanzC?10,

二器=?,即0c2=AO-OB,

OCOA

・•・(-n)2=-ab=-n,解得n=0(舍去)或一1,

故点。的坐标为(0,-1);

(2)当m=1时，函数的表达式为y=%24-x4-n,

函数的对称轴为％=-9=一

2a2

当抛物线和x轴有交点时，△=1一4n20,解得n<；；

4

①当n=-:时，抛物线在一1<%<1和％轴只有一个交点，即抛物线的顶点(_a0)；

②当n<；时，

当％=-1时，y=x2+x+n=n,当％=1时，y=x24-x+n=n+2,如图2,

在一1<X<1抛物线与x轴只有一个交点，则｛装；〉0,解得一2<nW0；

故九的取值范围为九=:或一2<几W0；

(3)抛物线y=x2+mx+n可以看成y=x?平移得到的，如图3,

即左图y=/的小正方形内部分抛物线平移到右图的位置，此时抛物线的顶点为(3,-2),

图3

b1Q

2a

.ac4nJ，解得产二:6,

(4ac—d_4n—m^_?(九=/

故使得不等式I-+mx+n|W2,当IWxW5时恒成立的实数对(一6,7).

解析：(1)证明NBC。=NCA。，贝iJtan/BC。=tan/CA。，即0。2=4。。。8,即可求解；

(2)①当n=-;时，抛