考研数学一(高等数学)模拟试卷260(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷260(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．以下三个命题：①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为()A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un－A｜＜ε．可知当ni＞N时，恒有｜un－A｜＜ε．因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当niεN时，恒有｜xni－A｜＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n＞N，必定存在ni≤n≤ni+1，有－ε＜xni－A≤xn－A≤xni+1－A＜ε，从而｜xn－A｜＜ε．可知数列{xn}收敛于A．因此命题正确．对于命题③，因，由极限的定义可知，对于任意给定的ε＞0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n－A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1－A｜＜ε．取N=max{N1，N2)，则当n＞N时，总有｜xn－A｜＜ε，因此．可知命题正确．答案选D．知识模块：函数、极限、连续2．设函数则f(x)在点x=0处()A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：C解析：极限不存在，故f’(0)不存在．知识模块：一元函数微分学3．在曲线x=t，y=－t2，z=t2的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()A．只有1条B．只有2条C．至少有3条D．不存在正确答案：B解析：对应于t0处曲线切线的方向向量为τ=(1，一2t0，3t02)，该切线与平面x+2y+z=4平行τ与该平面的法向量n=(1，2，1)垂直τ.n=01－4t0+3t02=0t0=1或知识模块：向量代数与空间解析几何4．曲面上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为()A．48B．64C．36D．16正确答案：B解析：曲面上任一点P(x，y，z)处的法向量为在点P(x，y，z)处的切平面方程为令Y=Z=0=>于是X02+Y02+Z02==64．知识模块：向量代数与空间解析几何5．函数不连续的点集为()A．y轴上的所有点B．x=0，y≥0的点集C．空集D．x=0，y≤0的点集正确答案：C解析：当x≠0时，f(x，y)为二元连续函数，而当所以，(0，y0)为f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点集为空集．知识模块：多元函数微分学6．设∑为球面(x－1)2+y2+(z+1)2=1，则(2x+3y+z)dS=()A．4πB．2πC．πD．0正确答案：A解析：是球面(x－1)2+y2+(x+1)2=1的形心坐标公式，而球面的形心在球心(1，0，－1)处，故知识模块：多元函数积分学7．已知级数条件收敛，则()A．B．C．D．正确答案：D解析：设的敛散性相同，故而由条件收敛可知0＜3－a≤1，即2≤a＜3．若使两个结论都成立，只有．故选D．知识模块：无穷级数8．设则下列级数中一定收敛的是()A．B．C．D．正确答案：D解析：因收敛，由正项级数的比较审敛法知，绝对收敛，从而收敛，故选D．A，C错误：如B错误：如知识模块：无穷级数9．函数(其中C是任意常数)对微分方程而言()A．是通解B．是特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：C解析：①因原方程阶数为2，通解中应包含两个任意常数(可求出通解为C1+C2x+)；②特解中不含有任意常数满足原方程，为原方程的解，故选项A，B，D都不对，应选C．知识模块：常微分方程填空题10．设f(x)=(x2－1)n，则f(n+1)(－1)=______．正确答案：(n+1)!n(－2)n－1解析：求乘积的高阶导数，一般用高阶导数的莱布尼茨公式．f(x)=(x2－1)n=(x+1)n(x－1)n．f(n+1)(x)=[(x+1)n]n+1(x－1)n+Cn－11[(x+1)n](n)[(x－1)n]’+Cn+12[(x+1)n](n－1)[(xi1)n]’’+…+Cn+1n+1(x+1)n[(x－1)n](n－1)．以x=－1代入，只有第2项不为0．所以f(n+1)(－1)=(n+1).n!.n(－2)n－1=(n+1)!n(－2)n－1．知识模块：一元函数微分学11．=_______．正确答案：解析：令则x=t2+2，dx=2tdt，知识模块：一元函数积分学12．已知函数F(x)的导数为则F(x)=______．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学13．设函数f(x，y)=exln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为y+(2xy－y2)，则其拉格朗日余项R2=______．正确答案：ξ在0，x之间，η在0，y之间解析：f(x，y)=y+(2xy－y2)+R2．知识模块：多元函数微分学14．设p(x)，q(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)①的3个解，且则式①的通解为______．正确答案：y=C1(y1－y2)+C2(y2－y3)+y1，其中C1，C2为任意常数解析：由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关即可．y1－y2与y2－y3均是式①对应的齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0②的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在不全为零的常数k1与k2使k1(y1－y2)+k2(y2－y3)=0．③设k1≠0，又由题设知y2－y3≠0，于是式③可改写为矛盾．若k1=0，由y2－y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1－y2与y2－y3线性无关．于是y=C1(y1－y2)+C2(y2－y3)④为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知y=C1(y1－y2)+C2(y2－y3)+y1⑤为式①的通解．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．试讨论函数在点x=0处的连续性．正确答案：g(0)=(ex+β)｜x=0=(ex+β)=1+β=g(0－)，当α＞0且β=一1时，有g(0－)=g(0+)=g(0)=0，故g(x)在x=0处连续；当α＞0且β≠一1时，有g(0－)≠g(0+)，故点x=0是g(x)的跳跃间断点；当α≤0时，点x=0是g(x)的振荡间断点．涉及知识点：函数、极限、连续16．求极限正确答案：先看设当x→+∞时，t→0+，有故由归结原则，得涉及知识点：函数、极限、连续17．设T=cosnθ，θ=arccosx，求正确答案：=－nsinnθ／(－sinθ)=nsinnθ／sinθ，因为θ=arccosx，当x→1－时，θ→0，所以涉及知识点：一元函数微分学18．顶角为60毒，底圆半径为口的正圆锥形漏斗内盛满水，下接底圆半径为b(b＜a)的圆柱形水桶(假设水桶的体积大于漏斗的体积)，水由漏斗注入水桶，问当漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等时，漏斗中水平面高度是多少?正确答案：设在时刻t，漏斗中水平面的高度为h，水量为p，水桶中水平面的高度为H，水量为q(如图1．2—1)，则q=πb2H．因为这两部分水量的总和应为开始漏斗盛满水时的水量，所以两边对t求导得因为下降的速度与上升的速度方向相反，所以得h2=3b2，故时，漏斗水平面下降速度与水桶水平面上升速度相等．涉及知识点：一元函数微分学19．f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)≠0．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得正确答案：因为两式相比，得涉及知识点：一元函数微分学20．求正确答案：涉及知识点：一元函数积分学21．求不定积分正确答案：涉及知识点：一元函数积分学22．设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0，证明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．正确答案：因为f2(x)=[f(x)－f(a)]2=[∫axf’(t)dt]2，而[∫axf’(t)dt]2≤(x－a)∫ax[f’(t)]2dt≤(x－a)∫ab[f’(t)]2dt(柯西一施瓦茨不等式)，所以∫abf2(x)dx≤∫ab(x－a)dx∫ab[f’(t)]2dt=∫ab[f’(x)]2dx．涉及知识点：一元函数积分学23．已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体的半径与高各为多少时，该圆柱体体积最大?正确答案：设该旋转体的半径x，高为y，则x+y=p．该圆柱体体积V=πyx2．化成一元函数极值问题．V=πyx2=π(p－x)x2=πpx2－πx2，0＜π＜P．V’=2πpx－3πx2，V’’=2πp－6πx．令V’=0，得所以当半径时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当时V最大．涉及知识点：多元函数微分学24．计算正确答案：先交换y，z的积分次序．将I理解成由三重积分，先对y，z作二重积分再对x作定积分得到，二重积分的积分区域为Dyz={(y，z)｜0≤y≤x，0≤z≤y)(x视为[0，1]上的某个常数)．将Dyz表示为Dyz={(y，z)｜0≤z≤x，z≤y≤x)．于是要计算这个二重积分，仍需要交换积分次序，换序后得涉及知识点：多元函数积分学25．设平面薄片所占的区域D由抛物线y=x2及直线y=x所围成，它在(x，y)处的面密度ρ(x，y)=x2y，求此薄片的重心．正确答案：设此薄片重心的坐标为，则涉及知识点：多元函数积分学26．设半径为R的球的球心位于以原点为中心、a为半径的定球面上(2a＞R＞0，a为常数)．试确定R为何值时前者夹在定球面内部的表面积为最大，并求出此最大值．正确答案：以定球球心为原点，两球心之连线为z轴建立坐标系，则两球面方程为定球：z2+y2+z2=a2；动球：x2+y2+(z－a)2=R2．两球交线为该交线在xOy平面上的投影圆x2+y2=(4a2－R2)．设动球夹在定球内部的表面积为S．对于动球，有x2+y2+(z－a)2=R2，故当时，动球夹在定球内部的表面积S最大，最大值为涉及知识点：多元函数积分学27．求级数的和函数．正确答案：设又y(0)=1，y’(0)=0．于是得到如下微分方程特征方程为r2－1=0，r=±1，得通解y=C1ex+C2e－x．对上式求导，得y’=C1ex－C2e－x．将初值条件代入，解得C1=C2=．故涉及知识点：无穷级数28．求二阶常系数线性微分方程y’’+λy’=2x+1的通解，其中λ为常数．正确答案：对应齐次方程y’’+2y’=0的特征方程r2+λr=0的特征根为r=0或r=－λ．当λ≠0时，y’’+λy’=0的通解为y=C1+C2e－λx．设原方程的特解形式为y’’=x(Ax+B)，代入原方程，比较同幂次项的系数，解得故原方程的通解为其中C1，C2为任意常数．当λ=0时，原方程化为y’’=2x+1，积分两次得方程的通解为其中C3，C4为任意常数．涉及知识点：常微分方程29．(1)设，y’(1)=0．计算变限积分∫1x[t2y’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt，使得结果中不含y’’(x)，也不含积分号；(2)求微分方程x2y’’(x)+4(x+1)y’(x)+2y(x)=x∈(0，+∞)满足初始条件，y’(1)=0的特解．正确答案：(1)由分部积分，∫1x[txy’’(t)+4(t+1)y’(t)+2y(t)]dt=∫1xt2dy’(t)+4∫1x(t+1)dy(t)+2∫1xy(t)dt=t2y’(t)｜1x－2∫1xty’(t)dt