315358652022届高考数学一轮复习讲义微专题3：对勾函数的变式与应用（学生版 教师版）

【学生版】微专题：对勾函数的变式与应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时,对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数；（1）当同号时,对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当异号时,对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的变式变式1、函数；此类函数可变形为：变式2、函数；此类函数可变形为：变式3、函数；此类函数可变形为：变式4、函数此类函数可变形为：变式5、函数此类函数可变形为：变式6、函数；此类函数可变形为：变式7、函数；此类函数可变形为：3、对勾函数的应用例1、求函数在下列条件下的值域：（1）；（2）【提示】；【解析】；【说明】；例2、求下列函数在的值域：（1）；（2）；（3）；【提示】；【解析】；【说明】；例3、求函数的值域；【答案】；【解析】；例4、求函数的最小值。【答案】；【解析】；例5、已知,求函数的最小值.【答案】；【解析】；【练习】1、若.求的最小值.2、若.求的值域.3、求函数的最小值.4、求函数的值域.【教师版】微专题：对勾函数的变式与应用1、对勾函数的性质与图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：（）的函数；对勾函数，当时,对勾函数是正比例函数与反比例函数“叠加”而成的函数；（1）当同号时,对勾函数的图像形状酷似双勾；故称“对勾函数”；如下图所示：（2）当异号时,对勾函数的图像形状发生了变化，如下图所示：2、对勾函数的变式变式1、函数；此类函数可变形为：，则可由对勾函数上下平移得到；变式2、函数；此类函数可变形为：,则可由对勾函数左右平移,上下平移得到；变式3、函数；此类函数可变形为：；变式4、函数此类函数可变形为：,则可由对勾函数左右平移，上下平移得到；变式5、函数此类函数可变形为：；变式6、函数；此类函数可变形为：；变式7、函数；此类函数可变形为：；3、对勾函数的应用例1、求函数在下列条件下的值域：（1）；（2）【提示】将原函数，变形为：转化为“对勾函数”；【解析】（1）当时，由均值不等式，有，当时，即时，取到等号当时，有，当时，即时，取到等号；所以函数的值域为：（2）在范围内，时，函数取得最小值，则当时，函数严格单调递减，当时，函数严格单调递增，所以，时，，所以，值域为：；【说明】本题说明了利用基本不等式与“对勾函数”求函数值域的联系与注意事项；例2、求下列函数在的值域：（1）；（2）；（3）；【提示】利用代数变换转化为“对勾函数”形式；【解析】（1）由已知，变形得，因为，；所以，，所以，；所以值域为：；（2）由已知，变形得，因为，，所以，，所以值域为：；（3），所以值域为：；【说明】解答本系列题的关键时：识别、转化出“对勾函数”，然后，分解解之；例3、求函数的值域；【答案】【解析】,因为,当，即时，“=”成立；所以，所以的值域为例4、求函数的最小值。【答案】【解析】，而,在定义域为严格单调递增，所以函数在，即处取得最小值为：；例5、已知,求函数的最小值.【答案】2；【解析】，令，则当即时，当即时，；【练习】1、若.求的最小值.【答案】【解析】当时,,所以的最小值为；2、若.求的值域.【答案】【解析】，当且仅当时取等号,故函数值