多选题题型专项练训专练05解析几何-2022届新高考数学二轮复习

2022届新高考二轮复习第二部分多选题题型专项练训专练05解析几何1.已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a的值可以是()A.－1B.1C.3D.52.设椭圆C：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，则下列结论正确的是()A.|PF1|＋|PF2|＝4eq\r(2)B.离心率e＝eq\f(\r(6),2)C.△PF1F2面积的最大值为4eq\r(2)D.以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2eq\r(2)＝0相切3.(2021·济南质检)已知双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，过其右焦点F的直线l与双曲线交于两点A，B，则()A.若A，B同在双曲线的右支，则l的斜率大于eq\f(4,3)B.若A在双曲线的右支，则|FA|的最短长度为2C.|AB|的最短长度为eq\f(32,3)D.满足|AB|＝11的直线有4条4.(2021·广州测试)已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则()A.|AB|＝8B.OA⊥OBC.△AOB的面积为2eq\r(2)D.线段AB的中点到直线x＝0的距离为25.(2021·佛山质检)已知曲线C：y2＝m(x2－a2)，其中m为非零常数且a>0，则下列结论正确的是()A.当m＝－1时，曲线C是一个圆B.当m＝－2时，曲线C的离心率为eq\f(\r(2),2)C.当m＝2时，曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)xD.当m>－1且m≠0时，曲线C的焦点坐标分别为(－aeq\r(1＋m)，0)和(aeq\r(1＋m)，0)6.(2021·江苏调考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则()A.C的准线方程为y＝1 B.线段PQ长度的最小值为4C.M的坐标可能为(3，2) D.eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝－37.(2021·石家庄质检)已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－x2＝1(a>0)，其上、下焦点分别为F1，F2，O为坐标原点.过双曲线上一点M(x0，y0)作直线l，分别与双曲线的渐近线交于点P，Q，且点M为PQ中点，则下列说法正确的是()A.若l⊥y轴，则|PQ|＝2B.若点M的坐标为(1，2)，则直线l的斜率为eq\f(1,4)C.直线PQ的方程为eq\f(y0y,a2)－x0x＝1D.若双曲线的离心率为eq\f(\r(5),2)，则三角形OPQ的面积为28.(2021·福建诊断)已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l交x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段AC上，点P为A在l上的射影.下列命题正确的是()A.若AB⊥BF，则|AP|＝|PC|B.若P，B，F三点共线，则|AF|＝4C.若|AB|＝|BC|，则|AF|＝2|BF|D.对于任意直线m，都有|AF|＋|BF|>2|CF|9.(2021·湖北二联)已知F1，F2分别是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点.若|PF1|＝2|PF2|，且△PF1F2的最小内角为30°，则()A.双曲线的离心率为eq\r(3)B.双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)xC.∠PAF2＝45°D.直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点10.(2021·新高考原创卷)已知{an}是公比为q的等比数列，且a1＝1，曲线Cn：eq\f(x2,an)＋eq\f(y2,an＋1)＝1，n∈N*，则下列说法中正确的是()A.若q>0且q≠1，则Cn是椭圆B.若存在n∈N*，使得Cn表示离心率为eq\f(1,2)的椭圆，则q＝eq\f(4,3)C.若存在n∈N*，使得Cn表示渐近线方程为x±2y＝0的双曲线，则q＝－eq\f(1,4)D.若q＝－2，bn表示双曲线Cn的实轴长，则b1＋b2＋…＋b20＝613811.已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切12.已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则()A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|＝3eq\r(2)D.当∠PBA最大时，|PB|＝3eq\r(2)13.(2021·山东联考)设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是双曲线上任意一点.若双曲线的渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，焦距为4eq\r(2)，则下列说法正确的是()A.实轴长为eq\r(2)B.双曲线的离心率为2C.双曲线的焦点到渐近线的距离为eq\r(6)D.存在点P，使得|F2P|＝1答案与解析1.答案ABC解析由题意得两圆内切或外切，∴|O1O2|＝2＋1或|O1O2|＝2－1，∴|a|＝3或|a|＝1，∴a＝±3，或a＝±1.故选ABC.2.答案AD解析依题意知a＝2eq\r(2)，b＝2，c＝2.对于A，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4eq\r(2)，所以A正确；对于B，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,2\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以B不正确；对于C，|F1F2|＝2c＝4，当P为椭圆短轴的端点时，△PF1F2的面积取得最大值，最大值为eq\f(1,2)×2c·b＝c·b＝4，所以C错误；对于D，以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线x＋y－2eq\r(2)＝0的距离为eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－2eq\r(2)＝0相切，所以D正确.故选AD.3.答案BD解析易知双曲线C的右焦点为F(5，0).设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋5.当m≠0时，直线l的斜率为k＝eq\f(1,m).联立得方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋5，,16x2－9y2＝144.))消去x并整理，得(16m2－9)y2＋160my＋256＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(16m2－9≠0，,Δ＝1602m2－4×256（16m2－9）＝962（m2＋1）>0，))解得m≠eq\f(3,4).对于A选项，当m＝0时，直线l⊥x轴，则A，B两点都在双曲线的右支上，此时直线l的斜率不存在，A选项错误；对于B选项，|FA|min＝c－a＝5－3＝2，B选项正确；对于C选项，当直线l与x轴重合时，|AB|＝2a＝6<eq\f(32,3)，C选项错误；对于D选项，当A，B两点在双曲线右支上，且直线与x轴垂直时，|AB|＝eq\f(32,3).∵eq\f(32,3)<11，∴过F的直线有两条；当A，B两点分别在双曲线的两个分支上时，∵a＋c＝8<11，∴过F的直线有两条.故满足|AB|＝11的直线有4条，D选项正确.故选BD.4.答案AC解析设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))得y2－4y－4＝0，所以y1＋y2＝4，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝y1＋1＋y2＋1＝6，x1x2＝(y1＋1)(y2＋1)＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝－4＋4＋1＝1.对于A，直线AB过抛物线的焦点，故|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正确；对于B，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝1＋(－4)＝－3≠0，故B不正确；对于C，点O到直线AB的距离d＝eq\f(|－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\f(1,2)×8×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，故C正确；对于D，线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，即(3，2)，所以线段AB的中点到直线x＝0的距离为3，故D不正确.选AC.5.答案ABD解析对于A，当m＝－1时，曲线方程为y2＝－(x2－a2)，即x2＋y2＝a2，其是圆心为(0，0)，半径为a的圆，故A正确；对于B，当m＝－2时，曲线方程为y2＝－2(x2－a2)，即eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,2a2)＝1，其为焦点在y轴上的椭圆，且长半轴长为eq\r(2)a，短半轴长为a，则半焦距为a，所以离心率e＝eq\f(a,\r(2)a)＝eq\f(\r(2),2)，故B正确；对于C，当m＝2时，曲线方程为y2＝2(x2－a2)，即eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,2a2)＝1，其为焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为a，虚半轴长为eq\r(2)a，所以渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2)a,a)x＝±eq\r(2)x，故C不正确；对于D，当－1<m<0时，曲线方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,－ma2)＝1，其为焦点在x轴上的椭圆，且长半轴长为a，短半轴长为aeq\r(－m)，则半焦距为aeq\r(1＋m)，所以焦点坐标为(－aeq\r(1＋m)，0)和(aeq\r(1＋m)，0)；当m>0时，曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,ma2)＝1，其为焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为a，虚半轴长为aeq\r(m)，则半焦距为aeq\r(1＋m)，所以焦点坐标为(－aeq\r(1＋m)，0)和(aeq\r(1＋m)，0)，故D正确.综上所述，选ABD.6.答案BCD解析对于A，因为焦点F到准线的距离为2，即p＝2，所以抛物线C的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，故A错误；对于B，由抛物线性质知当PQ垂直于x轴时，|PQ|取得最小值，此时可取P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，故B正确；对于C，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋1))消去x，得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，所以y1＋y2＝4m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，当m＝1时，可得M(3，2)，故C正确；对于D，因为y1y2＝－4，x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m(y1＋y2)＋m2y1y2＋1＝1，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝－3，故D正确.综上所述，选BCD.7.答案ACD解析由题意知双曲线C的虚轴长为2b＝2，半焦距为c＝eq\r(a2＋1)，双曲线的渐近线方程为y＝±ax.A项，当l⊥y轴时，M是双曲线的顶点，从而|PQ|＝2b＝2，A项正确；将(1，2)代入双曲线方程，得a2＝2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且P在直线y＝ax上，则y1＝ax1，y2＝－ax2，y1－y2＝a(x1＋x2)，易知x1＋x2＝2，则y1－y2＝2eq\r(2)，又y1＋y2＝4，则y1＝2＋eq\r(2)，x1＝eq\r(2)＋1，所以kl＝eq\f(y1－2,x1－1)＝1，B错误；C项，易得l的方程为eq\f(y－y0,x－x0)·eq\f(y0,x0)＝a2，整理可得eq\f(y0y,a2)－x0x＝1，C正确；D项，由e＝eq\r(1＋\f(1,a2))＝eq\f(\r(5),2)，得a＝2，所以双曲线方程为eq\f(y2,4)－x2＝1，由C项可知l是双曲线的切线，因为双曲线的切线与两条渐近线相交所成三角形的面积为定值ab，所以三角形OPQ的面积为2，D正确.8.答案BCD解析法一如图，由已知条件可得F(1，0)，C(－1，0).由抛物线的对称性，不妨设直线m的方程为y＝k(x＋1)(k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).依题意x1>x2>0，y1>0，y2>0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,y2＝4x))消y整理，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.当Δ＝(2k2－4)2－4k4＝16－16k2>0，即0<k<1时，由根与系数的关系，得x1＋x2＝eq\f(4－2k2,k2)，x1x2＝1.对于A选项，因为直线BF的斜率为eq\f(y2,x2－1)，AB⊥BF，所以k·eq\f(y2,x2－1)＝－1，即eq\f(y2,x2－1)·eq\f(y2,x2＋1)＝－1.又yeq\o\al(2,2)＝4x2，所以xeq\o\al(2,2)＋4x2－1＝0，解得x2＝eq\r(5)－2(负值舍去)，所以x1＝eq\r(5)＋2.所以|AP|＝|AF|＝eq\r(5)＋3，|PC|＝y1＝eq\r(8＋4\r(5))，故|AP|≠|PC|，故A错误；对于B选项，易得P(－1，y1)，所以eq\o(FB,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，eq\o(FP,\s\up6(→))＝(－2，y1).当P，B，F三点共线时，y1(x2－1)＋2y2＝0，所以k(x1＋1)(x2－1)＋2k(x2＋1)＝0，两边同时除以k，得x1x2＋3x2－x1＋1＝0，又x1x2＝1，故可得x1＝3，所以|AF|＝x1＋1＝4，故B正确；对于C选项，过B作BQ⊥l，垂足为Q，由已知可得AP∥BQ，所以eq\f(|BQ|,|AP|)＝eq\f(|BC|,|AC|).又|AB|＝|BC|，所以|AP|＝2|BQ|.由抛物线的定义，得|AF|＝|AP|，|BF|＝|BQ|，因此|AF|＝2|BF|，故C正确；对于D选项，因为|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，所以|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2≥2eq\r(x1x2)＋2＝4，又x1≠x2，|CF|＝2，故|AF|＋|BF|>2|CF|成立，故D正确.法二对于选项A，假设|AP|＝|PC|成立，则△APC为等腰直角三角形，∠ACP＝45°，∠ACF＝45°，又AB⊥BF，所以△BCF为等腰直角三角形，则点B在y轴上，这与已知条件显然矛盾，故|AP|≠|PC|，故A错误.其他选项同法一进行判断.9.答案ABD解析因为|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.又因为2c>2a，4a>2a，所以∠PF1F2＝30°，所以cos∠PF1F2＝eq\f(16a2＋4c2－4a2,2·4a·2c)＝eq\f(\r(3),2)，解得c＝eq\r(3)a，所以e＝eq\r(3)，故A正确；e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝3，所以eq\f(b2,a2)＝2，即eq\f(b,a)＝±eq\r(2)，所以渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，故B正确；因为2c＝2eq\r(3)a，所以|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，所以∠PF2F1＝90°，又因为|AF2|＝c＋a＝(eq\r(3)＋1)a，|PF2|＝2a，所以|AF2|≠|PF2|，所以∠PAF2≠45°，故C错误；联立直线方程与双曲线方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－2＝0，,\f(x2,a2)－\f(y2,2a2)＝1，))化简得7y2－16y＋8－2a2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a2)＝32＋56a2>0，所以直线x＋2y－2＝0与双曲线有两个公共点，故D正确.故选ABD.10.答案ACD解析若q>0且q≠1，则an>0，an＋1>0且an＋1≠an，所以Cn表示椭圆，A正确；当Cn表示椭圆时，显然q>0且q≠1，若q>1，则an＋1>an，e＝eq\r(\f(an＋1－an,an＋1))＝eq\r(1－\f(an,an＋1))＝eq\r(1－\f(1,q))，令eq\r(1－\f(1,q))＝eq\f(1,2)，解得q＝eq\f(4,3)；若0<q<1，则an>an＋1，e＝eq\r(\f(an－an＋1,an))＝eq\r(1－\f(an＋1,an))＝eq\r(1－q)，令eq\r(1－q)＝eq\f(1,2)，解得q＝eq\f(3,4)，故B错误；若Cn表示双曲线，显然q<0，故双曲线Cn的一条渐近线方程为y＝eq\r(－\f(an＋1,an))x＝eq\r(－q)x，令eq\r(－q)＝eq\f(1,2)，解得q＝－eq\f(1,4)，C正确；若q＝－2，则当n为偶数时，an<0，an＋1>0，双曲线Cn的焦点在y轴上，则bn＝2eq\r(an＋1)；当n为奇数时，则an>0，an＋1<0，双曲线Cn的焦点在x轴上，则bn＝2eq\r(an).所以b1＋b2＋…＋b20＝2(eq\r(a1)＋eq\r(a3)＋…＋eq\r(a19))＋2(eq\r(a3)＋eq\r(a5)＋…＋eq\r(a21))＝4(eq\r(a1)＋eq\r(a3)＋…＋eq\r(a19))－2＋2eq\r(a21)＝4×eq\f(1－210,1－2)－2＋2×1×210＝3×211－6＝6138，D正确.11.答案ABD解析圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2)).若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2<r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0即a2＋b2＝r2，所以d＝eq\f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD.1