2023-2024学年广西南宁二中高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广西南宁二中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，则i1−iA.1−2i2 B.−1+2.已知a，b是两条不同的直线，α是平面，且a⊄α，b⊂α，则“a/​A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分又不必要条件 D.充要条件3.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则A.23BA+16BC

4.已知向量a=(2,0)，b=(λ,A.3 B.7 C.105.已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是(

)A.54 B.455 6.已知m，n为实数，1−i(i为虚数单位)是关于x的方程x2A.0 B.1 C.2 D.47.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)A.(0,16)

B.[0,8.在△ABC中，已知a+b=A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法错误的是(

)A.过三个点有且只有一个平面

B.已知直线l，m，平面α，β，l/​/β，m//β，l⊂α，m⊂α，则α/​/β

C.10.复数z=2+i1−A.|z|=5 B.z的共轭复数为32+1211.把函数f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(A.最小正周期为π B.在区间[−π3,π6]上的最大值为312.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BA.若A1，C，E，F四点共面，则BE=DF

B.存在点E，使得BD/​/平面A1CE

C.若A1，C，E，F四点共面，则四棱锥

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.半径为2cm，圆心角为2π3的扇形面积为14.已知向量AB=(−1,2)，AC=(2,3)15.在△ABC中，若a=1，cosA=16.如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知平面向量a,b满足|a|=2，|b|=4，a与b的夹角为2π3．

(18.(本小题12分)

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinBsinA+sinA19.(本小题12分)

如图，在正方体中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点．求证：

(1)平面EFG/​/平面DBB1D120.(本小题12分)

如图，现有一直径AB=2百米的半圆形广场，AB所在直线上存在两点C，D，满足OC=OD=2百米(O为AB的中点)，市政规划要求，从广场的半圆弧AB上选取一点E，各修建一条地下管道EC和ED通往C、D两点．

21.(本小题12分)

已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且3ccosA+csinA=3b．

(22.(本小题12分)

定义非零向量OM=(a,b)的“相伴函数”为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=答案和解析1.【答案】B

【解析】解：i1−i=i(1+2.【答案】B

【解析】解：依题意得，

当a⊄α，b⊂α，a/​/α时，直线a与直线b的位置关系为平行或者异面，

当a⊄α，b⊂α，a/​/b时，由线面平行的判定定理可得3.【答案】A

【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD4.【答案】D

【解析】解：由已知可得，b在a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=2λ2×2a=λ2a=(λ,0)，

5.【答案】B

【解析】解：设圆柱的底面半径为r，则高为2r，母线长为2r，

所以圆柱的侧面积为2πr⋅2r=4πr2，

由题意可知，圆锥的底面半径为r，高为2r，

所以圆锥的母线长为r2+(2r)2=5r，

6.【答案】D

【解析】解：由1−i是关于x的方程x2−mx+n=0的一个根，

则1+i是关于x的方程x2−mx+n=0的一个根，

则m=1−i+1+i=2，7.【答案】B

【解析】解：建立直角坐标系，如图所示：正方形ABCD的边长为4，

设：A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，D(4,4)，

取CD的中点E，连接PE，所以8.【答案】B

【解析】解：因为a+b=atanA+btanB，

所以sinA+sinB=sinAsinAcosA+s9.【答案】AB【解析】解：对于A，过不共线的三个点有且只有一个平面，故A错误；

对于B，如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，故B错误；

对于C，若m/​/l，l/​/α，则m/​/α或m⊂α，故C错误；

对于D，由平面相交公理，可知10.【答案】CD【解析】解：z=2+i1−i=(2+i)(1+i)(1+i)(1−i)=12+32i，

对于A，|z|=(12)11.【答案】AD【解析】解：f(x)=sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)得到函数g(x)=sin(2x+π312.【答案】BC【解析】解：对于A，若A1、C、E、F共面，根据长方体相对的侧面互相平行，可得A1E与CF平行、A1F与CE平行，

所以四边形A1CEF是平行四边形，可得到A1E与CF平行且相等，由此可得Rt△A1B1E≌Rt△CDF，

所以B1E=DF，可知BE=DF不成立，故A项不正确；

对于B，当点E为BB1中点时，可得BD/​/平面A1CE，证明如下：

设A1C与B1D的交点为O，则O为B1D的中点，连接OE，则OE是△BB1D的中位线，

由OE/​/BD，OE⊂平面A1CE，BD⊄平面A1CE，可得BD/​/平面A1CE，故B项正确；

对于C，若A1，C，E，F四点共面，则四棱锥C1−A1ECF的体积等于三棱锥C1−A1EC的体积的2倍，13.【答案】4π【解析】解：因为半径为2cm，圆心角为2π3的扇形，弧长为4π3，

所以扇形面积为：12×14.【答案】−16【解析】解：由题意可得：BC=AC−AB=(3,1)，BD=AD−AB=(m+1,−15.【答案】1或4

【解析】解：如图：设h是AB边上的高，由三角形有唯一解的等价条件是a=h或a≥b，

由cosA=154⇒sinA=14，因为b=x，所以h=bsinA=x4，

又因为a=1，根据唯一解的条件可知：x4=116.【答案】16π【解析】解：设正四棱台ABCD−A1B1C1D1的上底面的中心为O1，下底面中心为O2，其外接球球心为O，

∵A1B1=2,AB=22，

∴S正方形A1B1C1D1=2，S正方形ABCD=8，

则17.【答案】解：(1)因为|a|=2,|b|=4,a与b的夹角为2π3，

所以a⋅b=|a|⋅|b|cos【解析】(1)由|a−b|=18.【答案】(1)证明：由正弦定理及条件可得ba+ab−4cosC=0，

由余弦定理可得b2+a2ab−4⋅a2+b2−c22a【解析】(1)借助正弦定理与余弦定理化简即可得；

(2)借助正弦定理与余弦定理化简后可得a2+c2=5b19.【答案】解：(1)证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG/​/SB，

由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG/​/平面BDD1B1；

由EF/​/DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂//平面BDD1B1，

可得E【解析】(1)连接SB，由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，线面平行和面面平行的判定定理，即可得证；

(2)取B1C1的中点N，连接A1N，NE20.【答案】解：(1)在△DOE中，由余弦定理得：

ED2=OD2+OE2−2OD⋅OE⋅cos∠EOD=4+1−2×2×1×cosθ=5−4cosθ，

在△COE中，由余弦定理得：

【解析】(1)由余弦定理得：ED2=OD2+OE2−2OD⋅OE⋅21.【答案】解：(1)因为3ccosA+csinA=3b，

由正弦定理，得3sinCcosA+sinCsinA=3sinB=3sin(A+C)，

整理可得：3sinCcosA+sinCsinA=3sinAcosC【解析】(1)利用正弦定理，将等式中的边化为角，根据和角公式以及同角三角函数的商式公式，可得答案；

(22