空间几何体及其表面积与体积课件 高考数学一轮复习

第48课时空间几何体及其表面积与体积第七单元立体几何01课前自学02课堂导学目录【课时目标】认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征；会用

斜二测画法画出空间几何体的直观图；了解球、棱柱、棱锥、台的表面

积和体积的计算公式.【考情概述】空间几何体及其表面积与体积是新高考考查的热点内容

之一，常以选择或填空题的形式进行考查，难度中等，属中频考点.

知识梳理1.多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

含义由一个平面多边形

沿某一方向平移形

成的空间几何体叫

做棱柱当棱柱的一个底面

收缩为一个点时，

得到的几何体叫做

棱锥用一个

⁠

⁠的平面去

截棱锥，得到两个

几何体，一个仍然

是棱锥，另一个我

们称之为棱台平行于棱

锥底面名称棱柱棱锥棱台侧棱平行且相等相交于

⁠，

但不一定相等延长线交于

⁠

⁠侧面

形状平行四边形三角形梯形平行且相等一点一

点平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相

等，

⁠于底

面相交于

⁠

⁠延长线交

于

⁠轴截

面全等的

⁠全等的

⁠

⁠全等的

⁠

⁠圆垂直一

点一点矩形等

腰三角形等

腰梯形圆名称圆柱圆锥圆台球侧面

展开

图矩形扇形扇环矩形扇形3.直观图（斜二测画法）（1）

原图形中

x

轴、

y

轴、

z

轴两两垂直，直观图中x'轴、y'轴的夹角

为

，z'轴与x'轴和y'轴所在平面

⁠.（2）

原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍

⁠，

平行于

x

轴和

z

轴的线段在直观图中保持原长度

，平行于

y

轴的

线段在直观图中长度为

⁠.4.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面

积之和，表面积是侧面积与底面积之和.45°或135°

垂直平行于坐标轴不变原来的一半5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展

开图

侧面积

公式

S

圆柱侧＝

⁠

S

圆锥侧＝

⁠

S

圆台侧＝

⁠

⁠2π

rl

π

rl

π（

r

1＋

r

2）

l

6.柱、锥、台、球的表面积和体积表面积体积柱体（棱柱和圆柱）

S

表面积＝

⁠⁠

V

＝

⁠锥体（棱锥和圆锥）

S

表面积＝

⁠

V

＝

⁠台体（棱台和圆台）

S

表面积＝

⁠

⁠

V

＝

⁠

⁠球

S

＝

⁠

V

＝

⁠S

侧＋2

S

底

Sh

S

侧＋

S

底

S

侧＋

S

上＋

S

下

4π

R

2

常用结论1.两个重要概念（1）

正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的

直棱柱叫做正棱柱.（2）

正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的

中心的棱锥叫做正棱锥.特别地，各棱均相等的正三棱锥叫做正四面体.2.柱体、锥体、台体体积之间的关系：3.特殊的四棱柱：上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}⫋{正四棱柱}⫋{长方体}⫋{直平

行六面体}⫋{平行六面体}⫋{四棱柱}.

✕✕√√2.（RA二P106习题8.1第8题改编）如图，长方体

ABCD

－A'B'C'D'被截

去一小部分，其中

EH

∥B'C'∥

FG

，则剩下的几何体是（

C

）A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱3.（RA二P119练习第1题改编）用一张长为8、宽为4的矩形硬纸卷成圆

柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是（

D

）A.2B.2πC.

或

D.

或

CD4.（多选）（RA二P99定义改编）下列四个命题中，假命题是

（

ABC

）A.有两个侧面是矩形的几何体是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱ABC5.（RA二P119练习第2题改编）若一个球的体积和表面积的数值相等，

则其半径是

.

3

考点一

空间几何体的结构特征与直观图例1（1）

给出下列命题：①

在圆柱的上、下底面的圆周上各取一

点，则这两点的连线是圆柱的母线；②

直角三角形绕其任一边所在直

线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③

棱台的上、下底面可以不相

似，但侧棱长一定相等.其中，真命题的个数是（

A

）A.0B.1C.2D.3A解：只有当这两点的连线平行于轴时才是母线.故①是假命题.当绕斜边

所在直线旋转一周时，形成的几何体是两个同底圆锥组成的几何体.故

②是假命题.棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱

延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故③是假命题.综上所述，真

命题的个数是0.（2）

给出下列说法：①

棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边

形；②

在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四

棱柱为直四棱柱；③

存在每个面都是直角三角形的四面体；④

棱台的

侧棱延长后交于一点.其中，正确的是（

C

）A.②③B.①③④C.②③④D.①④C（3）

已知正三角形

ABC

的边长为

a

，则△

ABC

的平面直观图△A'B'C'

的面积为（

D

）A.

a

2B.

a

2C.

a

2D.

a

2D（4）

如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径

为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点

P

出发，绕圆锥侧面爬行一周后

回到点

P

，则小虫爬行的最短路程为（

A

）A.12

B.16C.24D.24

A总结提炼

1.关于空间几何体的结构特征辨析，关键是紧扣各种空间几何体的概

念，善于通过举反例对概念进行辨析.2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时注意用好

轴截面中各元素的关系.3.斜二测画法画直观图（1）

“斜”指两坐标轴成45°或135°；“二测”指平行于

y

轴的线

段长度减半，平行于

x

轴的线段长度不变.（2）

按斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积

的关系为

S

直观图＝

S

原图形.4.多面体表面展开图可以有不同的形状，一定要先观察立体图形的每

一个面的形状.

A.3，

B.4，

C.4，

D.3，

C[对点训练]

（2）

如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一

个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是该圆柱的上底面圆心，则圆柱的

表面积是

⁠.12

总结提炼

1.求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图

形平面化.2.求不规则几何体的表面积时，先求常见柱、锥、台体的表面积，再

通过求和或作差求得所求几何体的表面积.[对点训练]2.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，其高为3，则此圆锥的表面积

为

⁠.9π

CA.1.0×109m3B.1.2×109m3C.1.4×109m3D.1.6×109m3

总结提炼

1.对于规则几何体，直接利用相应体积公式计算即可.2.注意数据的处理，加强计算能力的训练.考向2

割补法、等积法求体积例4（1）

如图，在多面体

ABCDEF

中，四边形

ABCD

是边长为1的正

方形，且△

ADE

，△

BCF

均为正三角形，

EF

∥

AB

，

EF

＝2，则该多

面体的体积为

⁠.（2）

在棱长为2的正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

M

，

N

分别为棱

BB

1，

AB

的中点，则三棱锥

A

1－

D

1

MN

的体积为

.

1

总结提炼

1.不规则几何体（割补法）：当一个几何体的形状不规则时，常通过

分割或补形，将此几何体变成一个或几个规则的、体积易求的几何

体，然后再计算.2.三棱锥（等积法）：利用三棱锥的“等积性”，可将任意一个面作

为三棱锥的底面，关键是这个底面对应的高易求.3.（2023·日照三模）祖暅，南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基

础上提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平

面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得

的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.请同学们借

助图①运用祖暅原理解决如下问题：如图②，有一个倒圆锥形容器，它

的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为2的球，再注入水，

使水面与球正好相切（球与倒圆锥相切效果很好，水不能流到倒圆锥容

器底部），则容器中水的体积为

⁠.12π

[对点训练]解：如图①，圆柱、圆锥的底面半径、高与半球的半径相等.设半球的

截面圆（涂色部分）