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文档简介
天津市蓟州等部分区2024年高考考前提分数学仿真卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示,已知双曲线的右焦点为,双曲线的右支上一点,它关于原点的对称点为,满足,且,则双曲线的离心率是().A. B. C. D.2.已知复数,则()A. B. C. D.3.若(),,则()A.0或2 B.0 C.1或2 D.14.设函数,则函数的图像可能为()A. B. C. D.5.已知三棱锥中,为的中点,平面,,,则有下列四个结论:①若为的外心,则;②若为等边三角形,则;③当时,与平面所成的角的范围为;④当时,为平面内一动点,若OM∥平面,则在内轨迹的长度为1.其中正确的个数是().A.1 B.1 C.3 D.46.下列选项中,说法正确的是()A.“”的否定是“”B.若向量满足,则与的夹角为钝角C.若,则D.“”是“”的必要条件7.若函数有两个极值点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.若函数(其中,图象的一个对称中心为,,其相邻一条对称轴方程为,该对称轴处所对应的函数值为,为了得到的图象,则只要将的图象()A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度9.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求积术”,即:以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边长,,求三角形面积,即.若的面积,,,则等于()A. B. C.或 D.或10.已知中,,则()A.1 B. C. D.11.在中,分别为所对的边,若函数有极值点,则的范围是()A. B.C. D.12.已知双曲线与双曲线没有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,则双曲线C的离心率为________.14.若复数(是虚数单位),则________15.已知三棱锥中,,,,且二面角的大小为,则三棱锥外接球的表面积为__________.16.如图,在平面四边形中,点,是椭圆短轴的两个端点,点在椭圆上,,记和的面积分别为,,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:于点P,点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线与曲线E相切于点,过Q且垂直于的直线为,直线,分别与y轴相交于点A,当线段AB的长度最小时,求s的值.18.(12分)某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示,该封闭区域由以为圆心的半圆及直径围成.在此区域内原有一个以为直径、为圆心的半圆形展示区,该广告商欲在此基础上,将其改建成一个凸四边形的展示区,其中、分别在半圆与半圆的圆弧上,且与半圆相切于点.已知长为40米,设为.(上述图形均视作在同一平面内)(1)记四边形的周长为,求的表达式;(2)要使改建成的展示区的面积最大,求的值.19.(12分)已知在多面体中,平面平面,且四边形为正方形,且//,,,点,分别是,的中点.(1)求证:平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.(12分)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度.现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”.(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”的人数,求的分布列及.21.(12分)已知是递增的等比数列,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,,求数列的前项和.22.(10分)如图,在多面体中,四边形是菱形,,,,平面,,,是的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(ⅠⅠ)求直线与平面所成的角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
易得,,又,平方计算即可得到答案.【详解】设双曲线C的左焦点为E,易得为平行四边形,所以,又,故,,,所以,即,故离心率为.故选:C.【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题,关键是建立的方程或不等关系,是一道中档题.2、B【解析】
利用复数除法、加法运算,化简求得,再求得【详解】,故.故选:B【点睛】本小题主要考查复数的除法运算、加法运算,考查复数的模,属于基础题.3、A【解析】
利用复数的模的运算列方程,解方程求得的值.【详解】由于(),,所以,解得或.故选:A【点睛】本小题主要考查复数模的运算,属于基础题.4、B【解析】
根据函数为偶函数排除,再计算排除得到答案.【详解】定义域为:,函数为偶函数,排除,排除故选【点睛】本题考查了函数图像,通过函数的单调性,奇偶性,特殊值排除选项是常用的技巧.5、C【解析】
由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确;反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确.【详解】画出图形:若为的外心,则,平面,可得,即,①正确;若为等边三角形,,又可得平面,即,由可得,矛盾,②错误;若,设与平面所成角为可得,设到平面的距离为由可得即有,当且仅当取等号.可得的最大值为,即的范围为,③正确;取中点,的中点,连接由中位线定理可得平面平面可得在线段上,而,可得④正确;所以正确的是:①③④故选:C【点睛】此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断,处理这类问题,可以用已知的定理或性质来证明,也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目.6、D【解析】
对于A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,即可判断出;对于B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角;对于C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;对于D根据元素与集合的关系即可做出判断.【详解】选项A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,因此A不正确;选项B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角,因此不正确.选项C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正确;选项D若“”,则且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要条件,故正确.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等,属于简单题.7、A【解析】试题分析:由题意得有两个不相等的实数根,所以必有解,则,且,∴.考点:利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.(2)已知函数求极值.求f′(x)―→求方程f′(x)=0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)=0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f′(x0)=0,且在该点左、右两侧的导数值符号相反.8、B【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,可得的解析式,再根据函数的图象变换规律,诱导公式,得出结论.【详解】根据已知函数其中,的图象过点,,可得,,解得:.再根据五点法作图可得,可得:,可得函数解析式为:故把的图象向左平移个单位长度,可得的图象,故选B.【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式,由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出,由五点法作图求出的值,函数的图象变换规律,诱导公式的应用,属于中档题.9、C【解析】
将,,,代入,解得,再分类讨论,利用余弦弦定理求,再用平方关系求解.【详解】已知,,,代入,得,即,解得,当时,由余弦弦定理得:,.当时,由余弦弦定理得:,.故选:C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系,还考查了对数学史的理解能力,属于基础题.10、C【解析】
以为基底,将用基底表示,根据向量数量积的运算律,即可求解.【详解】,,.故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理,考查向量数量积运算,属于中档题.11、D【解析】试题分析:由已知可得有两个不等实根.考点:1、余弦定理;2、函数的极值.【方法点晴】本题考查余弦定理,函数的极值,涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想,考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力,综合性较强,属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为有两个不等实根,从而可得.12、C【解析】
先求得的渐近线方程,根据没有公共点,判断出渐近线斜率的取值范围,由此求得离心率的取值范围.【详解】双曲线的渐近线方程为,由于双曲线与双曲线没有公共点,所以双曲线的渐近线的斜率,所以双曲线的离心率.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线,考查双曲线离心率的取值范围的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得(舍);当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.14、【解析】
直接根据复数的代数形式四则运算法则计算即可.【详解】,.【点睛】本题主要考查复数的代数形式四则运算法则的应用.15、【解析】
设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,将的长度求出或用球半径表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半径.【详解】设的中心为T,AB的中点为N,AC中点为M,分别过M,T做平面ABC,平面PAB的垂线,则垂线的交点为球心O,如图所示因为,,所以,,,又二面角的大小为,则,,所以,设外接球半径为R,则,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱锥外接球的表面积.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题,解决此类问题一定要数形结合,建立关于球的半径的方程,本题计算量较大,是一道难题.16、【解析】
依题意易得A、B、C、D四点共圆且圆心在x轴上,然后设出圆心,由圆的方程与椭圆方程联立得到B的横坐标,进一步得到D横坐标,再由计算比值即可.【详解】因为,所以A、B、C、D四点共圆,直径为,又A、C关于x轴对称,所以圆心E在x轴上,设圆心E为,则圆的方程为,联立椭圆方程消y得,解得,故B的横坐标为,又B、D中点是E,所以D的横坐标为,故.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中的四点共圆及三角形面积之比的问题,考查学生基本计算能力及转化与化归思想,本题关键是求出B、D横坐标,是一道有区分度的压轴填空题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2).【解析】
根据题意设,可得PF的方程,根据距离即可求出;点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,根据导数的几何意义和斜率公式,求,并构造函数,利用导数求出函数的最值.【详解】因为抛物线C的方程为,所以F的坐标为,设,因为圆M与x轴、直线l都相切,l平行于x轴,所以圆M的半径为,点,则直线PF的方程为,即,所以,又m,,所以,即,所以E的方程为,,设,,,由知,点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,由,所以,,所以,,所以,.令,,则,由得,由得,所以在区间单调递减,在单调递增,所以当时,取得极小值也是最小值,即AB取得最小值此时.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,以及利用导数求函数最值的关系,考查了运算能力和转化能力,属于难题.18、(1),.(2)【解析】
(1)由余弦定理的,然后根据直线与圆相切的性质求出,从而求出;(2)求得的表达式,通过求导研究函数的单调性求得最大值.【详解】解:(1)连.由条件得.在三角形中,,,,由余弦定理,得,因为与半圆相切于,所以,所以,所以.所以四边形的周长为,.(2)设四边形的面积为,则,.所以,.令,得列表:+0-增最大值减答:要使改建成的展示区的面积最大,的值为.【点睛】本题考查余弦定理、直线与圆的位置关系、导数与函数最值的关系,考查考生的逻辑思维能力,运算求解能力,以及函数与方程的思想.19、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)构造直线所在平面,由面面平行推证线面平行;(2)以为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,再由法向量之间的夹角,求得二面角的余弦值.【详解】(1)过点交于点,连接,如下图所示:因为平面平面,且交线为,又四边形为正方形,故可得,故可得平面,又平面,故可得.在三角形中,因为为中点,,故可得//,为中点;又因为四边形为等腰梯形,是的中点,故可得//;又,且平面,平面,故面面,又因为平面,故面.即证.(2)连接,,作交于点,由(1)可知平面,又因为//,故可得平面,则;又因为//,,故可得即,,两两垂直,则分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,设面的法向量为,则,,则,可取,设平面的法向量为,则,,则,可取,可知平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由面面平行推证线面平行,涉及用向量法求二面角的大小,属综合基础题.20、(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【解析】
(Ⅰ)人中很幸福的有人,可以先计算其逆事件,即人都认为不很幸福的概率,再用减去人都认为不很幸福的概率即可;(Ⅱ)根据题意,随机变量,列出分布列,根据公
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