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文档简介

考研数学二(解答题)模拟试卷64(题后含答案及解析)题型有:1.1.设矩阵A=可逆,向量α=是矩阵A*的一个特征向量,λ是α对应的特征值.其中A*是A的伴随矩阵.试求a、b和λ的值.正确答案:由A可逆知A*可逆,于是有λ≠0,|A|≠0.由题设,有A*α=λα,两端左乘A并利用AA*=|A|E,得|A|α=λAα,或Aα=,解得a=2,b=1或b=-2,将a=2代人矩阵A得|A|=4,于是得,所以,a=2,b=1,λ=1;或a=2,b=-2,λ=4.涉及知识点:矩阵的特征值和特征向量2.求下列函数的导数与微分:(Ⅰ)设y=,求dy;(Ⅱ)设y=(x-1),求y’与y’(1).正确答案:(Ⅰ)(Ⅱ)这是求连乘积的导数,用对数求导法方便.因函数可取负值,先取绝对值后再取对数得若只求y’(1),用定义最简单.利用y(1)=0可得涉及知识点:一元函数的导数与微分概念及其计算3.设n阶非零实方阵A的伴随矩阵为A*,且A*=AT.证明|A|≠0.正确答案:AAT=AA*=|A|E,若|A|=0,则得AAT=O,其(i,i)元素为aik=0(i,k=1,2,…,n)A=O,这与A≠O矛盾.涉及知识点:矩阵4.求证:x∈(0,1)时正确答案:令g(x)=,则当x>0时有故g(x)在(0,1)内单调下降.又g(x)在(0,1]连续,且g(1)=-1,g(x)在x=0无定义,但若补充定义g(0)=,则g(x)在[0,1]上连续.又g’(x)<0,0<x<1,因此g(x)在[0,1]单调下降.所以,当0<x<1时g(1)<g(x)<g(0),即成立.涉及知识点:微分中值定理及其应用5.设二阶常系数线性微分方程y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex.确定常数a,b,c,并求该方程的通解.正确答案:将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex,则有解得a=-3,b=2,c=-1,原方程为y’’-3y’+2y=-ex.原方程的特征方程为λ2-3λ+2=0,特征值为λ1=1,λ2=2,则y’’-3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x,于是原方程的通解为y=C1e2x+C2e2x+e2x+(1+x)ex.涉及知识点:高等数学6.正确答案:设x=tanu,则dx=sec2udu,涉及知识点:一元函数积分学7.设线性方程组已知(1,-1,1,-1)T是该方程组的一个解,试求(1)方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;(2)该方程组满足x2=x3的全部解.正确答案:(1)当时,方程组的全部解为+k(-2,1,-1,2)T;当时,全部解为+k1(1,-3,1,0)T+k2(-1,-2,0,2)T;(2)当时,方程组的解为(-1,0,0,1)T;当时,全部解为.涉及知识点:线性方程组8.设其中aj≠0,i=1,2,…,n,求A-1。正确答案:令由分块矩阵的逆可得涉及知识点:矩阵9.求微分方程y’’一a(y’)2=0(a>0)满足初始条件y|x=0=0,y’|x=0=一1的特解。正确答案:令y’=p,则将之代入原方程,得分离变量并积分由此得=ax+C1,由x=0,y=0,y’=p=一1,得C1=1,即,即故有由x=0,y=0,得C2=0,所以涉及知识点:常微分方程10.设u=,求du.正确答案:涉及知识点:多元函数微分学11.An×n(α1,α2,…,αn),Bn×n=(α1+α2,α2+α3,…,αn+α1),当r(A)=n时,方程组BX=0是否有非零解?正确答案:方法一B=(α1+α2,α2+α3,…,αn+α1)=(α1,α2,…,αn)由r(A)=n可知|A|≠0,而|B|=|A|=|A|[1+(-1)n+1],当n为奇数时,|B|≠0,方程组BX=0只有零解;当n为偶数时,|B|=0,方程组BX=0有非零解.方法二BX=0x1(α1+α2)+x2(α2+α3)+…+xn(αn+α1)=0(x1+xn)α1+(x1+x2)α2+…+(xn-1+xn)αn=0,因为α1,α2,…,αn线性无关,所以=1+(-1)n+1,当n为奇数时,|B|≠0,方程组BX=0只有零解;当n为偶数时,|B|=0,方程组BX=0有非零解.涉及知识点:线性方程组12.证明:方阵A是正交矩阵,即AAT=E的充分必要条件是:(1)A的列向量组组成标准正交向量组,即或(2)A的行向量组组成标准正交向量组,即正确答案:涉及知识点:线性代数13.设三元线性方程组有通解求原方程组.正确答案:设非齐次线性方程为ax1+bx2+cx3=d,由η1,η2是对应齐次解,代入对应齐次线性方程组得解[一9k,一5k,3k]T,即a=一9k,b=一5k,c=3k,k是任意常数,η=[1,一1,3]T是非齐次方程解,代入得d=一b=5k,故原方程是9x1+5x2一3x3=一5.涉及知识点:线性代数14.设A是正定矩阵,B是实对称矩阵,证明AB相似于对角矩阵.正确答案:A是正定矩阵,存在可逆实矩阵C,使得A=CCT,则AB=CCTB.于是C-1ABC=C-1CCTBC=CTBC.即AB相似于CTBC.而CTBC是实对称矩阵,相似于对角矩阵.由相似的传递性,AB也相似于对角矩阵.涉及知识点:二次型15.设矩阵A=,|A|=一1,A的伴随矩阵A*有一个特征值为λ0,属于λ0的一个特征向量为α=(一1,一1,1)T.求a,b,c和λ0的值.正确答案:已知A*α=λ0α,两端左乘A,并利用AA*=|A|E=一E,得一α=λ0Aα,即由此解得λ0=1,b=一3,a=c.再由|A|=一1和a=c,有=a一3=一1,a=c=2.因此a=2,b=一3,c=2,λ0=1.涉及知识点:线性代数16.设A=,且AX+|A|E=A*+X,求X.正确答案:由AX+|A|E=A*+X得(A-E)X=A*-|A|E=A*-AA*=(E-A)A*,因为|E-A|=-3≠0,所以E-A可逆,于是X=-A*,由|A|=6得X=-6A-1,涉及知识点:矩阵设(Ⅰ),α1,α2,α3,α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解,其中α1=,r(B)=2.17.求方程组(Ⅰ)的基础解系;正确答案:方程组(Ⅰ)的基础解系为ξ1=涉及知识点:线性方程组18.求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系;正确答案:因为r(B)=2,所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量,α4-α1=为方程组(Ⅱ)的基础解系.涉及知识点:线性方程组19.(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解

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