2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷

第1页（共1页）2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷一、选择题（共8小题）1．（3分）2的相反数是（）A． B． C．﹣2 D．22．（3分）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，点C在直线b上，且AC＝BC，则∠1的度数为（）A．112° B．102° C．107° D．117°3．（3分）下列运算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．6a4b5÷（﹣3a2b5）＝﹣2a4b2 C．（2a2b3）3＝6a6b9 D．3a2b•（﹣2a3b2）＝﹣6a5b34．（3分）如图，直线y＝ax+b经过A，B两点，D两点，则a，b，c（）A．a＜c＜d＜b B．c＜a＜d＜b C．a＜c＜b＜d D．c＜a＜b＜d5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A． B．2 C． D．36．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于D点，F边BC上一动点，当四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等时，DF的长度为（）A． B． C． D．7．（3分）如图，点B，C在⊙O上，∠A＝∠B＝60°，AB＝6，⊙O的半径长为（）A．2 B．5 C． D．8．（3分）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣12，n），则n的值为（）A．48 B．36 C．24 D．12二、填空题（共5小题）9．（3分）比较大小，（”＜”，“＞”或“＝”）．10．（3分）把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的边AB重合，按照如图的方式叠放在一起，连接EB交HI于点K．11．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为a，E为对角线AC边上一点，若EB＝EC＝ED＝2，则a的值为．12．（3分）如图，直线AB与双曲线交于A，交x轴于点C，若AB＝2BC．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，∠BAC＝30°，若，则AC的长为．三、解答题（共13小题，解答题应写出必要过程）14．计算：．15．解不等式组：．16．解分式方程：．17．如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，在射线AD上找一点E，使得∠AEC＝60°．（保留作图痕迹，不写作法）18．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，G为DF的中点，分别延长AE，求证：CG⊥DF．19．在一个不透明的袋子中装有2个红球、2个白球，这些球除颜色外都相同．（1）从袋子中随机摸出1个球，则摸出的这个球是红球的概率为．（2）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球都是白球的概率．20．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？21．某校组织全校学生进行了一场数学竞赛，根据竞赛结果，随机抽取了若干名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀），绘制了如图所示尚不完整的统计图表．数学竞赛成绩频数统计表组别频数频率A组（60.5～70.5）a0.3B组（70.5～80.5）300.15C组（80.5～90.5）50bD组（90.5～100.5）600.3请结合图表解决下列问题：（1）请将频数分布直方图补充完整；（2）抽取的若干名学生竞赛成绩的中位数落在组；（3）若该校共有1500名学生，请估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数．22．小明与小亮要测量一建筑物CE的高度，如图，小明在点A处测得此建筑物最高点C的仰角∠CAE＝45°（即AB＝10m），测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，小亮在点G处竖立标杆FG，标杆顶F，最高点C在一条直线上时，GD＝2m．（1）求此建筑物的高度CE；（2）求小亮与建筑物CE之间的距离ED．（注：结果精确到1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈）23．一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度（单层部分与双层部分长度相同，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，经测量，得到下表中数据：双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求y与x的函数关系式；（2）按小华的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳，请计算此时双层部分的长度．24．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交△ABC外接圆⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC延长线上点D．（1）求证：AC∥DE；（2）若CE＝6，DE＝8，求AF的长．25．公园里，一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置OA，喷水口A距离水面的距离OA＝1.25米，以O为坐标原点，OA方向为y轴正方向，同时经过距OA水平距离为2米，距水面的高度为0.75米的C点．（1）若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，此时水流的最大高度应达到多少米？26．提出问题如图①，⊙O与∠ABC的两边BA，BC相切于点P，Q，BQ的数量关系为．探究问题如图②，矩形ABCD的边，AB＝3，连接BP，CP问题解决如图③，小明和小亮在学习圆的相关知识后进行了如下的探究活动：先在桌面上固定一根笔直的木条AB，让一圆盘在木条AB上做无滑动的滚动，再紧绷在圆盘边上，此时，BD，AB分别与圆盘相切于点C，D，E（即AC++DB的长度会发生变化）．已知，圆盘直径为4dm+DB的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值，请说明理由．

2024年陕西省西安市碑林区铁一中学中考数学四模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1．（3分）2的相反数是（）A． B． C．﹣2 D．2【解答】解：2的相反数是﹣2，故选：C．2．（3分）如图，直线a∥b，直线l分别交直线a、b于A，点C在直线b上，且AC＝BC，则∠1的度数为（）A．112° B．102° C．107° D．117°【解答】解：如图，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∵a∥b，∴∠DAB+∠CBA＝∠2+∠CAB+∠CBA＝180°，∵∠2＝34°，∴∠CAB＝73°，∴∠DAB＝34°+73°＝107°，∴∠8＝∠DAB＝107°，故选：C．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2 B．6a4b5÷（﹣3a2b5）＝﹣2a4b2 C．（2a2b3）3＝6a6b9 D．3a2b•（﹣2a3b2）＝﹣6a5b3【解答】解：A、（a+b）2＝a2+6ab+b2，故A不符合题意；B、6a4b5÷（﹣3a8b5）＝﹣2a3，故B不符合题意；C、（2a2b4）3＝8a4b9，故C不符合题意；D、3a5b•（﹣2a3b5）＝﹣6a5b7，故D符合题意；故选：D．4．（3分）如图，直线y＝ax+b经过A，B两点，D两点，则a，b，c（）A．a＜c＜d＜b B．c＜a＜d＜b C．a＜c＜b＜d D．c＜a＜b＜d【解答】解：由图可得：a＜c＜0，d＞b＞0，∴c＜a＜b＜d，故选：D．5．（3分）如图，在△ABC中，AC＝8，∠C＝45°，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（）A． B．2 C． D．3【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，在Rt△ADC中，AC＝8，∴∠C＝∠DAC＝45°，∴AD＝DC＝ACsin45°＝AC＝4，在Rt△ADB中，AD＝5，∴BD＝ADtan30°＝AD＝，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBD＝30°，在Rt△EBD中，BD＝，∴DE＝BDtan30°＝BD＝，∴AE＝AD﹣DE＝．故选：C．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，AD⊥BC于D点，F边BC上一动点，当四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等时，DF的长度为（）A． B． C． D．【解答】解：∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴CD＝5÷2＝3，AD⊥CB，∵EF⊥CB，∴AD∥EF，∴△CAD∽△CEF，∵四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等，∴△CAD与△CEF面积比＝6：3，∴CD：CF＝1：，即CD：DF＝1：（），∵CD＝3，∴DF＝3﹣3．故选：D．7．（3分）如图，点B，C在⊙O上，∠A＝∠B＝60°，AB＝6，⊙O的半径长为（）A．2 B．5 C． D．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，∵BC＝10，OE⊥BC于E，∴BE＝BC＝3，∵∠A＝∠B＝60°，∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AB＝6，∠ADB＝60°，∴DE＝BD﹣BE＝1，∵tan∠ODE＝＝，∴OE＝，∴OB＝＝2，∴⊙O的半径长为5，故选：A．8．（3分）在平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣12，n），则n的值为（）A．48 B．36 C．24 D．12【解答】解：由题意b2﹣4c＝3，∴b2＝4c，又∵抛物线过点A（m，n），n），∴A、B关于直线x＝﹣，∴A（﹣+6，B（﹣，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，n＝（﹣+6）2+b（﹣+5）+c＝﹣b8+36+c，∵b2＝4c，∴n＝36．故选：B．二、填空题（共5小题）9．（3分）比较大小，＞（”＜”，“＞”或“＝”）．【解答】解：＞2，，∴＞．故答案为：＞．10．（3分）把边长相等的正五边形ABGHI和正六边形ABCDEF的边AB重合，按照如图的方式叠放在一起，连接EB交HI于点K96°．【解答】解：由正五边形内角，得∠I＝∠BAI＝，由正六边形内角得，∠ABC＝＝120°，BE平分∠ABC，∠ABK＝60°，由四边形的内角和得，∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK＝360°﹣108°﹣108°﹣60°＝84°，∴∠BKH＝180°﹣84°＝96°．故答案为：96°．11．（3分）如图，已知菱形ABCD的边长为a，E为对角线AC边上一点，若EB＝EC＝ED＝2，则a的值为1+．【解答】解：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，连接BD，∴AD＝AB＝BC＝CD＝a，AC⊥BD，∵EA＝a，EB＝EC＝ED＝2，在Rt△AOD中，DO2＝AD8﹣OA2，在Rt△DEO中，DO2＝DE4﹣OE2，即AD2﹣OA3＝DE2﹣OE2，即，解得：（舍去），故答案为：1+．12．（3分）如图，直线AB与双曲线交于A，交x轴于点C，若AB＝2BC．【解答】解：如图，作AH⊥OC于H．设A（a，）．∵AH⊥OC于H，BT⊥OC于T，∴AH∥BT，∴，∵AB＝2BC，∴，∴AH＝3BT，∵AH＝∴BT＝，∴B（3a，），∵OH＝a，OT＝2a，∴TH＝2a，∵S△AOB＝S△AOH+S梯形AHTB﹣S△OBT，S△AOH＝S△BOT，∴S△AOB＝S梯形AHTB＝（+）•2a＝，故答案为：．13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，∠BAC＝30°，若，则AC的长为2．【解答】解：过点B作BE⊥CA，交CA于点E，∵∠BCA＝45°，BE⊥CA，∴CE＝BE，，∴点E为△CBD外接圆圆心，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，∵BE⊥CA，AD⊥BD，∴EBAD四点共圆，∴∠EDB＝∠EAB＝30°，∴∠EBD＝∠EDB＝30°，∴△EBD为顶角120°的等腰三角形，∴，在Rt△CBE中，，在Rt△EBA中，，∴，故答案为：．三、解答题（共13小题，解答题应写出必要过程）14．计算：．【解答】解：原式＝﹣5+2﹣﹣××（﹣×）＝﹣5+2﹣+4＝3﹣4．15．解不等式组：．【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤，∴原不等式组的解集是﹣＜x．16．解分式方程：．【解答】解：，＝﹣，方程两边都乘（1+x）（5﹣x），得（2x﹣1）（8﹣x）＝5﹣2x（2+x），2x﹣2x7﹣1+x＝5﹣6x﹣2x2，2x﹣2x2+x+4x+2x2＝4+1，5x＝6，x＝，检验：当x＝时，（1+x）（2﹣x）≠0，所以分式方程的解是x＝．17．如图，已知等边△ABC，D为BC边上一点，在射线AD上找一点E，使得∠AEC＝60°．（保留作图痕迹，不写作法）【解答】解：如图，作∠DCE＝∠BAD，∵∠ADB＝∠CDE，∴∠AEC＝∠B．∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°．∴∠AEC＝60°．则点E即为所求．18．如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边的中点，G为DF的中点，分别延长AE，求证：CG⊥DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠B＝∠HCE，∵点E为BC边的中点，∴BE＝EC，在△ABE与△HCE中，，∴△ABE≌△HCE（ASA），∴AB＝CH，∴DC＝CH，∵G为DF的中点，∴CG是△DFH的中位线，∴CG∥EH，∵DF⊥AE，∴CG⊥DF．19．在一个不透明的袋子中装有2个红球、2个白球，这些球除颜色外都相同．（1）从袋子中随机摸出1个球，则摸出的这个球是红球的概率为．（2）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球，求两次摸出的球都是白球的概率．【解答】解：（1）由题意得，摸出的这个球是红球的概率为＝．故答案为：．（2）列表如下：红红白白红（红，红）（红，白）（红，白）红（红，红）（红，白）（红，白）白（白，红）（白，红）（白，白）白（白，红）（白，红）（白，白）共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球的结果有2种，∴两次摸出的球都是白球的概率为＝．20．我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？【解答】解：设共有x人，y辆车，，解得，，答：有39人，15辆车．21．某校组织全校学生进行了一场数学竞赛，根据竞赛结果，随机抽取了若干名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100分，大于80分的为优秀），绘制了如图所示尚不完整的统计图表．数学竞赛成绩频数统计表组别频数频率A组（60.5～70.5）a0.3B组（70.5～80.5）300.15C组（80.5～90.5）50bD组（90.5～100.5）600.3请结合图表解决下列问题：（1）请将频数分布直方图补充完整；（2）抽取的若干名学生竞赛成绩的中位数落在C组；（3）若该校共有1500名学生，请估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数．【解答】解：（1）∵30÷0.15＝200，∴a＝200×0.5＝60，补全频数分布直方图如下：（2）抽取的200名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是C组；故答案为：C；（3）b＝50÷200＝0.25，1500×（0.25+7.3）＝1000×0.55＝825（人），答：估计本次数学竞赛成绩为“优秀”的学生人数有825人．22．小明与小亮要测量一建筑物CE的高度，如图，小明在点A处测得此建筑物最高点C的仰角∠CAE＝45°（即AB＝10m），测得最高点C的仰角∠CBE＝53°，小亮在点G处竖立标杆FG，标杆顶F，最高点C在一条直线上时，GD＝2m．（1）求此建筑物的高度CE；（2）求小亮与建筑物CE之间的距离ED．（注：结果精确到1m，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈）【解答】解：（1）在Rt△CAE中，∵∠CAE＝45°，∴CE＝AE，∵AB＝10m，∴BE＝AE﹣10＝CE﹣10，在Rt△CEB中，tan∠CBE＝tan53°＝＝，∴≈，解得CE≈40（m）；答：此建筑物的高度CE约为40m；（2）由题意知：∠CED＝90°＝∠FGD，∠FDG＝∠CDE，∴△FGD∽△CED，∴＝，即＝，解得ED≈53（m），答：小亮与建筑物CE之间的距离ED约是53m．23．一种单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小华购买时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度（单层部分与双层部分长度相同，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短，设双层部分的长度为x厘米，经测量，得到下表中数据：双层部分长度x（cm）281420单层部分长度y（cm）148136124112（1）根据表中数据规律，求y与x的函数关系式；（2）按小华的身高和习惯，背带的长度调为130cm时为最佳，请计算此时双层部分的长度．【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，把双层部分长度为2cm，单层部分长度为148cm和双层部分长度为8cm，解得，∴y与x的函数关系式为y＝﹣8x+152；（2）根据题意得：x+y＝130，∴x+（﹣2x+152）＝130，解得x＝22，∴双层部分的长度为22cm．24．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，交△ABC外接圆⊙O于点E，过点E作⊙O的切线交BC延长线上点D．（1）求证：AC∥DE；（2）若CE＝6，DE＝8，求AF的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴，∴OE⊥AC．∵DE为⊙O的切线，∴OE⊥DE．∴AC∥DE；（2）解：由（1）知：，∴AE＝EC＝6，∠EAC＝∠ECA，∵AC∥DE，∴∠DEC＝∠ECA，∴∠EAC＝∠DEC．∵AC∥DE，∴∠D＝∠ACB．∵∠ACB＝∠AEB，∴∠AEB＝∠D，∴△EAF∽△DEC，∴，∴，∴AF＝．25．公园里，一个圆形喷水池的中央竖直安装一个柱形喷水装置OA，喷水口A距离水面的距离OA＝1.25米，以O为坐标原点，OA方向为y轴正方向，同时经过距OA水平距离为2米，距水面的高度为0.75米的C点．（1）若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落到池外？（2）如果水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3米，此时水流的最大高度应达到多少米？【解答】解：（1）由题意，顶点的横坐标为0.75，∴可设解析式为y＝a（x﹣0.75）7+k．又过A（0，1.25），7.75），∴．∴．∴抛物线为y＝﹣（x﹣5.75）2+．令y＝0，∴4＝﹣（x﹣5.75）2+．∴x＝2.3或x＝﹣1（舍去）．∴水池的半径至少为2.4米．（2）由题意，可设y＝﹣3+n，把点（0，1.25），5）代入抛物线解析式得，∴．∴．∴y＝﹣（x﹣）7+．∴水池的半径为3m，要使水流不落到池外米．26．提出问题如图①，⊙O与∠ABC的两边BA，BC相切于点P，Q，BQ的数量关系为