2020-2021学年广东省梅州市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广东省梅州市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分)

1.己知全集U=R,A={y|y=后=1}，则C〃1=()

A.[0,+oo)B.(-co,0)C.(0,+co)D.(-oo,0]

2.下列有关命题的说法正确的是()

A.命题“若/=1,则％=1”的否命题为：“若/=1,则x*1”.

B.若非零向量落方的夹角为仇则'宝7>0”是“。为锐角”的充要条件.

e

C.命题p：“Vx€R,sinx+cos<>/2">则~是：3x0>sinx+cos<V2"

D.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题.

3.如图，48是半圆。的直径，点C在半圆上，CD于点D,且4。=30B,/'vf

设4COD=0,则tan2g=()//\

,11LAO

A.~B.-C.4—2V3D.3

34

4.已知函数/(x)=|xe*+i],若函数y=产(无)++2恰有四个不同的零点，则实数b的取值

范围是()

A.(—co,—2V2)B.(―3,—2)C.(-00,-3)D.(—3,—2V2]

5.设｛a7a为等差数列，｛%｝为等比数列，且的=瓦>0,a9=b9,则下列关系正确的是()

A.Q$>b$B.曲Vb$C.他-D.Q5—b$

6.设油电啜是定义在意上的奇函数，当室空电时，翅&磁=方斓一富，则,黄既=()

A.一岁B.C.JD.缪

3x,x<1

7.己知函数/(力=«-若存在三个互不相同的实数a,b,c使得伏。)|=|7。)|=|/©|,则

Inxx>1

a+b+c的取值范围是

A.(0,B.[0M)

C.(1,D.(1M)

8.已知三个力月=(一2,-1),f2=(-3,2),%=(4,一3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持

平衡，再加上一个力启，则启=()

A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.下列4个函数中，在定义域内是减函数的有()

1-1

A.y=-B.y=-2x+1C.y=In-D.y=

10.下列结论正确的是()

12

--

A.右a>b>0,a匕

B.右a,h>0,4b+a=ab,则a+b的最小值为10

C.函数/0)=六+》的最小值是3

D.若Q>b>c,a+b+c=0,则a-cb-c

11.已知函数f(x)=4cos®1无+0)Q4>0,31>0,-]V9<]),

g(x)=加比(32、+以32>0)，且函数f(%)的图象如图所示，则()

,_.It

A.4=2,co1=1,(p=--

B.若M=侬1，则/(X)=gQ)

C.已知32=2,若g(x—a)为偶函数，则a=/+kzr(k€Z)

D.若g(x)在©，兀)上单调递减，则32的取值范围为［|怖］

12.如图，菱形4BCD边长为2,^BAD=60°,E为边28的中点,将△ADE沿。E折起，使4到4,且平

面4DE1平面BCOE,连接4'B,A'C.则下列结论中正确的是()

A.BD1A'C

B.四面体A'CDE的外接球表面积为87r

C.BC与4D所成角的余弦值为:

4

D.直线AB与平面ACO所成角的正弦值为它

4

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知10。=2,b=lg5,则Q+b=.

14.方程5sinx=44-2cos2%的解集为.

15.

(1)若1E{x,x2},则％=•

(2)集合{-1,0,1}共有个子集.

1

(3)不等式产2+2=-4<的解集为.

(4)新函数/(x)的图象经过(4,2),那么/(I)的值为.

8

(5)定义在R上的函数/"(X)满足/(%+y)=f(x)+/(y)+2xy(x,y6R),/(I)=2,则

/(-3)=-

16.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x6(-1,4］,/(x)=x2-2X,则函数/(x)的

在［0,2014］上的零点个数是.

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.已知p：|x-4|<6,q：x2—2x+1-m2<0,若->p是->q的充分不必要条件，求实数ni的取

值范围.

18.己知角a的终边经过点P(l,l).

(1)求tana的值；

(2)求史竺弛竺的值.

(V4ab-1)3

19.(1)化简：(62r

0.1-2(a3Z?--3)2

(2)设炉+*=2,求x+：的值.

20.已知函数f(x)=急+。是奇函数.

(1)求实数a的值；

(2)判断f(x)在R上的单调性并用函数单调性的定义证明；

(3)对任意的实数为,不等式＞2TH-1恒成立，求实数TH的取值范围.

21.设sina=_|,sinp=且ae(n涔)，口€&兀),求sin(a-O),cos2a,tan§的值.

22.(1)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度化(单位：冤)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718...

为自然对数的底数，入b为常数).若该食品在0冤的保鲜时间是192小时，在22。(2的保鲜时间是48

小时，求该食品在33。(：的保鲜时间；

(2)某药厂生产一种口服液，按药品标准要求，其杂质含量不能超过0.01%,若初始时含杂质0.2%,

每次过滤可使杂质含量减少三分之一，问至少应过滤几次才能使得这种液体达到要求？(已知

lg2«0.3010,lg3«0.4771)

参考答案及解析

I.答案：B

解析：解：：V2X-1>0.

A={y\y-y/2x—1]-[0,+oo),且全集U=R,

•••Cyi4-(-00,0).

故选：B.

求解函数的值域化简集合4,然后直接利用补集运算求解.

本题考查了函数的值域，考查了补集及其运算，是基础的计算题.

2.答案：D

解析：解：4命题“若/=1,则X=1”的否命题为“若久2H1,则X*1”，故4错；

B.若非零向量落石的夹角为仇则“造方>0”,a,石可同向，推不出“。为锐角”，但“。为锐角”

可推出

“五不>0"，故，不>0”是“。为锐角”的必要不充分条件.故8错；

u

C.命题p：VxG/?,sinx+cosx<V2">则”是：3x0GR,sinx0+cosx0>Vz",故C错；

。命题“若x=y,则sinx=siny”是真命题，故它的逆否命题也为真命题，故。正确.

故选D

运用否命题既要对条件否定，又要对结论否定，从而判断4根据充分必要条件定义判断B；由全称

性命题的否定是存在性命题，从而判断C；根据原命题与逆否命题等价，从而判断D.

本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题和充分必要条件，以及命题的否定方法，同时考查平面向

量数量积的定义及夹角概念，注意命题的否定和否命题的区别，是一道基础题.

3.答案：A

解析：解：设半径为R，

则40=|/?,BD=1,

由射影定理得：

CD2=ADBD

则CD=—R，

2

从而。=p

故tan23=%

故选A.

由已知中4B是半圆0的直径，点C在半圆上，CD1AB于点D,且4D=3DB,我们可以设出圆的半

径为R,进而根据射影定理求出C。的长，解三角形C。。即可求出。角，进而得到答案.

本题考查的知识点是直角三角形的射影定理，其中根据射影定理求出CD的长，解三角形COD即可求

出。角，是解答本题的关键

4.答案：C

解析：

本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，属于较难

题.

函数"X)=|xe*+i|是分段函数，通过求导分析得到函数/'(x)在(0,+8)上为增函数，在(-8,-1)上

为增函数，在(一1,0)上为减函数，求得函数/Q)在(-8,0)上，当％=-1时有一个最大值1,所以，

要使方程f2Q)+bf(x)+2=O(teR)有四个实数根，f(x)的值一个要在(0,1)内，一个在(1,+8)内,

然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解b的取值范围.

解：左)=叱+】|=匕。；：；爹：0,

当x>。时，f(x)=ex+1+xex+1>0恒成立，所以f(x)在［0,+8)上为增函数；

当x<0时，/'(x)=—ex+1-xex+1=—ex+1(x+1),

由(。)=0,得％=-1,当X6(-8,-1)时，f(x)=-ex+1(%+1)>0,f(x)为增函数,

当xe(一1,0)时，/'(X)=-ex+1(x+1)<0,f(x)为减函数，

所以函数f(x)=|%靖+1|的极大值为/(—1)=|(-l)e°|=1,

极小值为：/(。)=0，

令=m,由韦达定理得：nii-m2=1,m1+m2=-b,

此时若b>0,则当Tn1<0,且Tn2<0,

此时方程严(x)+b/(x)+2=0(tGR)至多有两个实根，

若b<0,则当mi>0,且Hi2>。，

要使方程产(乃+h/(x)+2=O(teR)有四个实数根，

则方程小2+。血+2=0应有两个不等根，

且一个根在(0,1)内，一个根在(1,+8)内，

再令g(zn)=m2+bm+2,

因为g(o)=i>o,

则只需g(l)<o，即b+3<0,解得：b<-3.

所以，使得函数/(x)=|xeX+i|,方程/2(%)+。/0)+2=0«€/?)有四个实数根的£的取值范围是

(-00,-3).

故选：C

5.答案：C

解析:解：设等差数列｛an｝公差为d,等比数列｛%｝的公比为q,且的=瓦>0,。9=为，

8

则与=b1q>0,a9—b<)>0.

a11

s=2'b5~J瓦d=yja^agi

由基本不等式的性质可得：&券2师;，

a5>b5.

故选：C.

利用等差数列与等比数列的性质可得：。5=弩，既=，砾=再；，再利用基本不等式的性质

即可得出.

本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其性质、基本不等式的性质，考查运算求解等数

学能力，属于基础题.

6.答案：A

解析：试题分析：思路一、因为己知室空电时，函数的解析式，故求正数的函数值应转化为求负数的

函数值.

由建=一竟=鬻一上物=出故选4

思路二、由条件求出案⑦您时的解析式，然后将1代入求解.

本题极易错在符号上，运算过程中应小心.如果对函数理解不深，也极易出错.

考点：函数的奇偶性，分段函数的函数值的计算.

7.答案：D

解析：解：不妨令a<b<c,

作出"》)的图象，如图：

若有伊⑷卜=|7©|，则易得a+b=0，0c<3,

即1<c，

故选。.

8.答案：D

解析：【思路点拨】物体平衡，则所受合力为0.

解：由物理知识知：A+A+A=0,

故病=一(71+%+/3)=(1，2).

9.答案：BCD

解析：解：根据题意，依次分析选项：

对于a,y=工，是反比例函数，在其定义域上不具有单调性，不符合题意；

X

对于B,y=-2x+l,是一次函数，在定义域内是减函数，符合题意；

对于C,y=Ini=-Inx,在定义域(0,+8)内是减函数，符合题意；

对于D,y=^-ex,其导数丫，=一卷-〃<0,在定义域R内是减函数，符合题意;

故选：BCD.

根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案.

本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题.

10.答案：AD

解析：解：对于4由a>b>0,则0<工<工故工正确，故A正确，

abab

对于B,由a,b>0,4b+a=ab=3+3=1,a+b=(a+b)(+》=5+?+£25+4=9,

故B错误，

对于C,当％<0时，/(x)<0,故C错误，

对于。，由。>力>。=。一。>0,8—。>0,。一。>6一的所以—<--,由Q>b>c,a+b+c=

a-cb-c

0=>c<0,所以故。正确.

a—cb-c

故选：AD.

力利用不等式的基本性质可判断，B利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出，C利用特殊值可判

断，。利用不等式的基本性质可判断.

本题考查了基本不等式的性质，不等式的基本性质，属于基础题.

11.答案：ABD

解析：解：对于选项A,由函数/(乃的图象可得其周期7=2《-9=2n=%，解得硒=1,

由于点©,4)在/(x)上，可得f©)=Acos©+乃=4

可得g+8=2/OT,kez,解得W=2/OT*,kez,由于一可得3=-g，

又由于点(0,1)在/(x)上，可得/(0)=/lcos(-1)==1,解得4=2,

故A正确；

对于选项B,由于/(无)=2cos(x-0g(x)=2sin(x+》可知/(x)=2sin碎-(x-割=2sin(x+

5=g。)，故B正确;

对于选项C,g(x)=2sin(2x+g),

o

可得g(x—a)=2sin(2x-2Q+，)=±2cos2xf

所以Q=-g+：k7T,kEZf故C错误；

oz

x

对于选项D,g(x)=2sin(w2+g)，

o

匚匕j、I兀।7TTCft37r

所以732+2Ng,7rto+-<—,

ZOZo2Z

可得IW32W%故O正确；

故选：ABD.

对于选项A,根据图象求出4,3i和仍即可判断；

对于选项B,由题意利用诱导公式即可求解;

对于选项C,由题意利用余弦函数的奇偶性可得g(x-a)=2sin(2x-2a+£)=±2cos2x,可得a=

o

—262+彳k.7i，k£Z,即可判断C；

对于选项。，利用正弦函数的单调性即可求解.

本题考查三角函数的解析式的求法和图象变换，考查了三角函数的图象和性质，考查数形结合思想

和函数思想，属于中档题.

12.答案：BC

解析：解：将AADE沿0E折起，使4到4',且平面A0E1平

面8coE,连接A'B,A'C.

.■.EB,ED,E4两两垂直，以E为坐标原点，建立空间直角坐

标系，

对于力，B(1,0,0),£)(0,V3,0).A'(0,0,l)，C(2,g,0),

~BD=(-l,V3,0).A^C=(2,V3,-1)>

•••丽・彳"=一2+3=1M0,二80与AC不垂直，故A错误；

对于8,取CE中点F,连接DF,

「DE1DC,.•”=『。="=2=|由/,

过F作F。，平面CDE,四面体4CDE的外接球球心。在直线。尸上,

设0F=3由0D=04=R,得［+/=：+(1—解得x=?,；.R=/^+i=V2.

.•・四面体4CDE的外接球表面积为：S=4TIR2=8n,故8正确;

对于C,BC=(l,V3,0).TJD=(0,V3,-l)>

设BC与AD所成角的为氏

则cos。="吧=不产=

BC与4D所成角的余弦值为：，故C正确；

对于D，TB=(1,0,-1)'莉=(2,百,0)，WD=(0,V3,-l)>

设平面ACO的法向量记=(x,y,z),

则取/'得—2T殓

直线4'B与平面ACD所成角的正弦值为:

5讥。=黑胃=黑=噌，故。错误.

|X/B|-|n|x(2-V1938

故选：BC.

将△40E沿DE折起,使4到4,且平面4'DE1平面BCDE,连接4'B,A'C,则EB,ED,E4'两两垂

直，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，主要考查数学运

算、逻辑推理等能力，是中档题.

13.答案：1

解析：解：：10。=2,..a=lg2,

■■a+b=lg2+lg5—1,

故答案为：1.

把指数式化为对数式，利用对数的运算性质即可得出.

本题考查了指数式化为对数式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

14.答案：｛x|x=arcsiri1+2々兀，或％=兀-arcsin1+2/CTT,fc6Z｝

解析：解：方程5s出％=4+2cos2x可化为5sinx=44-2(1—2sin2%),

RP4sin2x+Ssinx-6=0,

解得sinx=京或sinx=-2(不合题意，舍去)；

所以该方程的解集为｛x|%=arcsin]+2/CTT,或％=TT—arcsin3+2/CTT,k6Z].

故答案为：｛%|%=arcsin：+2/c7r,或X=TT—arcsin,+2/CTT,kGZ].

方程化为关于s勿工的一元二次方程，求出sinx的值，再写出方程的解集.

本题考查了三角函数方程的求解与应用问题，是基础题.

15.答案：(1产=-1(2)8.(3)[74].(4)].(5)6.

解析：解：(I)'--1G｛^x2｝,

当*=1时，集合｛KX2｝不满足元素的互异性，不合题意：

当工=1时，工=1(舍去)或x=-l,满足题意,

故答案为：K=-1

(2)因为集合｛一LO4),

所以集合1-10,1}的子集有{-4,{0},Q},[-10},{-U},{0,1},{-10,1},，共8个.

故答案为：8.

(3)由题意知产=287是增函数，所以2片》《《2劣,

所以丁+如一4《-1,即J+2X-3W0,

解得一34KW1.

故答案为：［一341.

(4)设'幕函数为：，

-■事函数F8的图象经过(4.2),

-.2=4"

二a=一

2

…、&

故答案为：--

4

(5)-'f(x+y)=+/(y)+2jgreK),/CD=2,

二令K=，=I,得/Q)=/o)+m+2=6

再令K=2,尸T,得/。一。=/(2)+/(—。-4=2,

二f(-D=o

.-./(-2)=A-D+A-D+2=2

---/(-3)=yi(-2)+(-l)］=A-2)+A-I)+4=2+0+4=6

二f(-3)=6.

故答案为：6.

16.答案:605

解析：解：y=M与y=2工的函数曲线在区间(0,4］有两个交点，在区间(一1,0］区间有一个交点，

但当xG(—1,4］时,/(x)=x2-2X=16无根

即当x6(-1,4］时，f(x)=%2-2才有3个零点

由/(X)+f(x+5)=16,

即当(-6,-1］时，/(x)=/一2工无零点

又••"(X+5)+f(x+10)=/(x)+/(x+5)=16,

/(x+10)=f(x),即/(%)是周期为10的周期函数,

在x6［0,2014］,分为二段xe［0,4］,xe(4,2014］,

在xe［0,4］函数有两个零点，

在(4,2004］有201个完整周期，即有603个零点，

综上函数f(x)在［0,2014］上的零点个数是605.

故答案为：605

根据y=/与y=2、的函数曲线在区间(0,4］有两个交点，在区间(一1,0］区间有一个交点,/(无)=/一

2*=16无根，可得久€(-1,4］时，/(x)=/-2*有3个零点，且xe(-6,-1］时，f(x)=产一2才无

零点，进而分析出函数的周期性，分段讨论后，综合讨论结果可得答案.

本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的零点，其中熟练掌握对数函数和二次函数

的图象和性质，分析出一个周期上函数的零点个数是解答的关键.

17.答案:解:「由p：|x-4|<6=>-2<x<10；

命题q：得/—2x4-1—m2<0,得1—<x<1+|m|

因为「p是rq的充分不必要条件

所以q是p的充分不必要条件，

所以tf-3<m<3.

(1-\m\>-2

・・・优的范围为：-

解析：根据绝对值不等式及一元二次方程的解法，分别化简对应条件，若非p是非q的充分不必要条

件，则q是p的充分不必要条件，从而求出m的范围；

本题以集合的定义与子集的性质为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础

题.

18.答案：解：(1)由题意，由角a的终边经过点

所以：tana=^=1.

(2)由(1)知tana=1,

sin(a+}+cosacosa2。

-------------2---=----=2•

sin(7r-a)sinatana

解析：(1)直接利用三角函数的定义的应用求出结果.

(2)利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数的关系式的变换，诱导公式的应

用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.

3_3

19.答案：解：亚匚18d2b~21

773~~3

40.1-2(a3b-3)216100a2b~2200

(2)：/+点=2,

•••(x+i)(x2+2-1)=(x+i)[(x+,2_3]=2,

(x+—3(x+-)2=0,

•••[(x+;)3+l]-3[(x+i)+l]=0,

X+^=-1或(X+§2_Q+》_2=0,

解得％4--=-1或%+工=2.

XX

解析：(1)利用指数的性质、运算法则直接求解.

(2)利用指数的性质、运算法则直接求解.

本题考查根式的化筒、求值，考查有理数指数基、根式的性质、运算法则直接等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

20.答案：解:(1)由/(%)=熹+a是奇函数，有f(-x)=_/(%),

・合+。=-(昌+必

2X1

・•・2a=---------------=-1,

2X+12X+1

(2)/(%)在R上是增函数.

/(%)=喜一冷一六

设%1、%2ER且

1111

/3)一/(xi)=q-2初+1)-q-2右+1)

2X2-2X1

(2X2+1)(2X1+1)>

v%1<x2f•*-2必>2"i,

2X2-2X1

>0,即/。2)>/。1)，

(2%2+1)(2叼+1)

•••f(x)在R上是增函数.

(3)对任意的实数x,不等式/Xx)>2m-1恒成立,

则只要2m-1<

•••2X+1>1,0<-^-<