第八章 立体几何专题训练（三）-异面直线所成的角-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册专项训练

第八章立体几何专题训练（三）—异面直线所成的角一．单选题1．已知正四面体，为中点，则与所成角的余弦值为A． B． C． D．2．如图，在四棱锥中，底面为矩形．底面，，．为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．3．如图，在正方体中，为线段上不含端点的动点，则直线与所成的角的余弦值不可能是A． B． C． D．4．如图，在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的大小为A． B．或 C． D．或5．在直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．6．在四棱锥中，平面，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．7．已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形，其外接球球的表面积为，且点到平面的距离小于球的半径，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．8．矩形中，，，点为中点，沿把折起，点到达点，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．二．多选题9．如图，棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是A． B．三棱锥的体积不变，为 C．平面 D．与所成角的范围是10．在直三棱柱中，各棱长均为2，，分别为线段，的中点，则A．平面平面 B． C．直线和所成角的余弦值为 D．该棱柱外接球的表面积为11．如图，正方形的边长为1，、分别为、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是A．异面直线与所成的角为定值 B．存在某个位置，使得直线与直线垂直 C．三棱锥与体积之比值为定值 D．四面体的外接球体积为12．如图，在边长为4的正三角形中，，，分别为各边的中点，，分别为，的中点，将沿，，折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是A．与所成的角的正弦值为 B．与成角 C．与所成的角为 D．与所成角余弦值为三．填空题13．已知正三棱锥中，是的中点，若三个侧面是直角三角形，则直线与直线所成的角的大小为．14．在四面体中，，，，则、所成的角的余弦值为．15．已知长方体中，，是的中点，且异面直线与所成的角是．则在此长方体的表面上从到的路径中，最短路径的长度为．16．如图，已知棱长为2的正方体中，点在线段上运动，给出下列结论：①异面直线与所成的角范围为；②平面平面；③点到平面的距离为定值；④存在一点，使得直线与平面所成的角为．其中正确的结论是．四．解答题17．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，，，三棱锥的体积为．（1）求圆柱的表面积；（2）求异面直线与所成角的余弦值．18．正三棱柱中，是的中点，，．（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面；（3）求异面直线、所成的角的正弦值．19．如图直三棱柱，在底面中，，，棱，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）求异面直线、所成角的余弦值．20．如图，在四棱锥中，面，，，，，为线段上的点．（1）证明：平面；（2）若是的中点，求与所成的角的正切值；（3）在（2）的条件下，求异面直线与所成角的余弦值．

第八章立体几何专题训练（三）—异面直线所成的角答案1．解：为中点，取中点，连结，，设正四面体的棱长为2，则，，且，是异面直线与所成角（或所成角的补角），故异面直线与所成角的余弦值为：．故选：．2解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，4，，，0，，，4，，，2，，，4，，，2，，，，异面直线与所成角的余弦值为．故选：．3．解：建立空间直角坐标系，如图所示；设正方体的棱长为1，则，0，，设，，，所以，，，，0，，，；令，，则；所以在单调递减，易知，所以，则直线与所成的角的余弦值的范围为．故选：．4．解：以为坐标原点，，为轴，轴建立空间直角坐标系，因为，，，，则，所以，设异面直线与所成角为，则，又，所以，故异面直线与所成角的大小为．故选：．5．解：如图所示，不妨设．，．．设异面直线与所成的角为，则．故异面直线与所成角的余弦值为．故选：．6．解：以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，0，，，3，，，1，，，0，，，，，，，异面直线夹角的取值范围为，，异面直线与所成角的余弦值为．故选：．7．解：因为外接球球的表面积为，设其半径为，则有，解得，设点到平面的距离为，则有，解得或（舍，取的中点，则，所以异面直线与所成角为或它的补角，，即，所以，而，故，所以，所以，所以，故异面直线与所成角的余弦值为．故选：．8．解：如右图，因为，异面直线与所成角就是或其补角，在中，，，在左图中作，垂足为，则，，所以，所以．故选：．9．解：棱长为2的正方体中，在线段（含端点）上运动，对于，，，，、平面，平面，平面，，同理，，，、平面，平面，平面，，故正确；对于，在线段（含端点）上运动，，平面，平面，平面，到的距离是定值，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，，2，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，到平面的距离，三棱锥的体积为：，故错误；对于，，，，，平面平面，平面，平面，故正确；对于，在线段（含端点）上运动，当与重合时，与所成角为0，当与重合时，与所成角为，故错误．故选：．10．解：在直三棱柱中，各棱长均为2，，分别为线段，的中点，对于，，，，，平面平面，故正确；对于，，，，，平面，平面，平面，，故正确；对于，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，，，，0，，，0，，，，，设直线和所成角为，则，直线和所成角的余弦值为，故错误；对于，过的重心作平面的垂线，在上取，则是该棱柱外接球的球心，连接，，球半径，该棱柱外接球的表面积为，故正确．故选：．11．解：对于，取中点，连接，，则，且，平面，，异面直线与所成的角为，又，异面直线与所成的角为定值，故正确；对于，若直线与直线垂直，直线与直线也垂直，则直线平面，直线直线，又，平面，，而是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故错误；对于，，分别为正方形的边、的中点，与面积比为，到面的距离与到面的距离之比为，三棱锥与体积之比值为定值，故正确；对于，外接球球心在中点，由题意解得外接球半径，四面体的外接球体积为，故正确．故选：．12．解：对于，的边长为4，折成正四面体后，如图，，，分别为各边的中点，，分别为，的中点，，，连结，取中点，则，异面直线与所成角为，，，连结，得，，，与所成的角的正弦值为：，故错误；对于，正四面体中，取中点，连结，，则，，平面，，与成角，故正确；对于，连结，，则，异面直线与所成的角为，，，，，与所成的角为，故正确；对于，异面直线与所成角为，，故正确．故选：．13．解：取中点，连接、，设，则，，且，是直线与直线所成的角（或所成角的补角），，，，是等边三角形，．直线与直线所成的角的大小为．故答案为：．14．解：作出四面体的外接长方体，如图所示，设长，宽，高，则由勾股定理可得，，解得，连结交于点，则异面直线、所成的角为（或补角），在△中，由余弦定理可得，，所以、所成的角的余弦值为．故答案为：．15．解：如图，取中点，连接，可得，异面直线与所成的角是，，设，，，则，且，又，，求得．可得长方体中，，则在此长方体的表面上，从到的路径中，最短路径是沿剪开，绕把平面翻折至与所在面重合，连接所得线段长度，大小为（另外两种情况长度相等为，不是最小值）．故答案为：．16．解：对于①，当在点时，，异面直线与所成的角最大为，当在点时，异面直线与所成的角最小为，异面直线与所成的角的范围为，故①错误；对于②，因为平面，所以平面平面，故②正确；对于③，平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的，即，故③正确；对于④，直线与平面所成的角为，，当时，最小，最大，最大值为，故④不正确，故答案为：②③．17．解：（1）由题意，在中，，，所以，在中，，，所以，因为三棱锥的体积为．所以，解得，故圆柱的表面积为．（2）取中点，连接，，则，得或它的补角为异面直线与所成的角，又，，得，，由余弦定理得，异面直线与所成角的余弦值为．18．解：（1）正三棱柱中，是的中点，，．三棱锥的体积为：．（2）证明：连接，交于点，连接，是矩形，是的中点，是的中点，，平面，平面，平面．（3），是异面直线、所成的角，，，，，异面直线、所成的角的正弦值为：．19．（1）证明：在直三棱柱中，为的中点，，，平面，平面，，，，，为的中点，易得，连接，得，，则，即．平面，平面，，平面．（6分）（2）连接交于点，作，的中点分别为，，连接，，，则即为异面直线、所成的角，易求得，则在中，．（12分）20．解：（1）在四棱锥中，面，平面，所以，因为，设，