湖南省湘西土家族苗族自治州2021年中考数学真题卷（含答案与解析）

湖南湘西州2021年初中毕业生学业考试

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码贴在答

题卡指定位置。

2.答题时，选择题答案，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答案，用

0.5毫米黑色墨水签字笔，直接写在答题卡上对应的答题区域内。答案答在试题卷上无效。

3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正

确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）

1.2021的相反数是（）

11

A.2021B.-2021C.-------D.

20212021

2.计算-1+3的结果是（）

A.2B.-2C.4D.-4

3.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决

赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

4.下列计算结果正确是（）

,12

A(/)-=/B.(-be)4+(-儿)2=-b2c2C.1H—=-D.

aa

,1a

a-i-b—=—

bb2

5.工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（)

6.如图，在菱形ABC。中，E是AC的中点，EF//CD,交AD于息F，如果所=5.5,那么菱形A3CD

的周长是（）

«工

B/

A.HB.22C.33D.44

7.如图，在中，ZC=90°,AB工EC于点B，AB=1.2,EE；=1.6,BC=12.4,则CO的长

是（）

D

BC

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

8.如图，面积为18的正方形A8CO内接于（DO,则AB的长度为（)

Q）

937tr9

A.94B.-7tC.—D.一71

2

9.如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为y=——

%-1

的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（)

C.图象与y轴的交点是(o,-g)

D.y随x的增大而减小

10.已知点M(x,y)在第一象限，且x+y=12,点A(10,0)在x轴上，当AOMA为直角三角形时，点M的

坐标为()

A.(10,2),(8,4)或(6,6)B.(8,4),(9,3)或(5,7)

C(8,4),(9,3)或(10,2)D.(10,2),(9,3)或(7,5)

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横

线上)

11.计算：(-g)=.

12.北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动,

顺利进入近火点，高度约400000m,成为我国第一颗人造火星卫星.其中，400000用科学记数法可以表

示为.

13.因式分解：a2—2a=-

14.若二次根式后二I在实数范围内有意义，则X的取值范围是一.

15.实数加，〃是一元二次方程/一3工+2=0的两个根，则多项式“〃一帆一〃的值为__.

2,

16.若式子一^+1的值为零，则丁=一.

)'一2

17.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD,若CDHBE,Zl=20°,则

N2的度数是.

D

18.古希腊数学家把1，3,6,10,15,21，…这样数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表

示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为％=1,第二个图形表示的三角形数记为。2=3,…,

则第〃个图形表示的三角形数(用含〃的式子表达)

三、解答题(本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解

答或证明的主要步骤)

19.计算：(一2)°-及-卜5|+4sin45。.

3(x-1)>x

20.解不等式组：\x-3，并在数轴上表示它的解集.

l-2x>----

2

21.如图，在AABC中，点。在A3边上，CB=CD,将边C4绕点C旋转到CE的位置，使得

NECA=ZDCB,连接£)£与AC交于点F，且NB=70°,ZA=10°.

(1)求证：AB=ED；

(2)求Z4FE的度数.

E

BDA

22.为庆祝中国共产党成立1（）0周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号

如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行

问卷调查.根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

（1）该校此次调查共抽取了名学生；

（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；

（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动.

活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文

活动代号ABCDE

23.有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西

自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉

学校数学实践活动小组为测量“一心阁"C"的高度，在楼前的平地上4处，观测到楼顶。处的仰角为

30°,在平地上B处观测到楼顶。处的仰角为45°,并测得A、5两处相距20m,求“一心阁”C”的高

度.（结果保留小数点后一位，参考数据：72®1.41.6=1.73）

24.如图，AB为。。的直径，。为。。上一点，AO和过点C的切线互相垂直，垂足为。.

(1)求证：AC平分ND区4;

3

(2)若AD=8,tanZC4B=-,求：边AC及AB的长.

25.2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开

始组建团队，制作面向A、3两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个A类微课和5个5类微课

需要4600元成本，制作5个A类微课和1()个3类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某

视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个8类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微课

或者L5个B类微课，且团队每月制作的8类微课数不少于A类微课数的2倍(注：每月制作的A、B两

类微课的个数均为整数).假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课。天，制作A、8两类微课

的月利润为w元.

(1)求团队制作一个A类微课和一个3类微课的成本分别是多少元？

(2)求卬与。之间的函数关系式，并写出。的取值范围；

(3)每月制作A类微课多少个时，该团队月利润■最大，最大利润是多少元?

26.如图，已知抛物线>=公2+桁+4经过4—1,0),8(4,0)两点，交>轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接6C,求直线8c的解析式；

(3)请在抛物线对称轴上找一点尸，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最

小值；

(4)点/为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正

确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）

1.2021的相反数是（）

A.2021B.-2021C.—^―1

D.-----

20212021

【答案】B

【解析】

【分析】根据相反数的定义可直接进行排除选项.

【详解】解：2021的相反数是一2021；

故选B.

【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键.

2.计算-1+3的结果是（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】根据有理数的加法法则可直接进行求解.

【详解】解：-1+3=3-1=2；

故选A.

【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键.

3.在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决

赛.如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的()

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】B

【解析】

【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可.

【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，

故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了.

故选B.

【点睛】本题考查了中位数意义.解题的关键是正确的求出这组数据的中位数.

4.下列计算结果正确的是()

,12

A.B.(-Z?c)4-^(-hc)2=-b2c2C.1H——D.

aa

,1a

a+0-=r

bb2

【答案】D

【解析】

【分析】根据球的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可.

【详解】解：A.(。3)2=成，故A选项错误；

B.(-be)4^(-bc)2=b4c42c2=b2c2,故B选项错误；

C.1+1=-+1=-,故C选项错误；

aaaa

D.=d=故D选项正确.

故答案为D.

【点睛】本题考查了幕的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握

相关运算法则是解答本题的关键.

5.工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图()

A.B.

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项.

【详解】解：由题意得该几何体的俯视图为

故选B.

【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

6.如图，在菱形ABCD中，E是4C的中点，EF//CD,交AO于点/，如果跖=5.5,那么菱形ABCD

的周长是（）

A

B

A.11B.22C.33D.44

【答案】D

【解析】

【分析】由题意易得则有=然后可得8=11,进而根据菱形的性质可求

解.

【详解】解：；瓦7/8,

/.4AEFSAACD,

.AEEF

"~AC~~CD'

,/£是AC的中点，

笫=笥4即砂=到，

•••跖=5.5,

CD=U,

•••四边形ABC。是菱形,

C菱形ABCD=4co=44；

故选D.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形

的性质是解题的关键.

7.如图，在八£8中，NC=90。，4B_LEC于点3,AB=1.2,£8=1.6,BC=12A,则C。的长

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

【答案】C

【解析】

【分析】由题意易得NA3E=NC=90°,EC=14,则有AB〃CD,然后可得,然后根

据相似三角形的性质可求解.

【详解】解：；NC=90。，AB1EC,

：.ZABE=NC=90。，

AB//CD,

:•AABES^DCE»

.AB_EB

"^D~~EC

•.'AB=1.2,EB=\.6,BC=\2A,

EC=14,

1.21.6

CD-14

8=10.5；

故选C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

8.如图，面积为18的正方形A8CO内接于OO,则的长度为（)

9c9

A.9万B.—71CD.-H

2-T4

【答案】C

【解析】

【分析】连接8。、AC,由题意易得。8=3,ZAOB=90°,然后根据弧长计算公式可求解.

且面积为18,

：.ZAOJ5=90°,BZ)2=36,

BD=6,

・•・OB=-BD=3

2f

心、I〃万r90x3x〃34

・・・AB的长度为研

1oU1802

故选c.

【点睛】本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键.

2

9.如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为丁=

x-1

的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是()

c.图象与y轴的交点是(0,-工)

2

D.y随x的增大而减小

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数图象可直接进行排除选项.

【详解】解：由图象可得：X—1。()，即

A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；

B、当0<x<l时，y<0,错误，故不符合题意；

C、图象与)，轴的交点是(0,-2),错误，故不符合题意；

D、当x<l时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0,当x>l时，y随x的增大而减小，且y的值永

远大于0,错误，故不符合题意；

故选A.

【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.

10.已知点M(x,y)在第一象限，且x+y=12,点4(10,0)在x轴上，当AO的4为直角三角形时，点M的

坐标为()

A.(10,2),(8,4)或(6,6)B.(8,4),(9,3)或(5,7)

C.(8,4),(9,3)或(10,2)D.(10,2),(9,3)或(7,5)

【答案】C

【解析】

【分析】由题意可分当NOAM=90°时和当N0M4=90°时，然后根据题意进行分类求解即可.

【详解】解：由题意得：

当NQ4M=90°时，如图所示：

VA（10,0）,M（x,y）,

x=10,

Vx+y=\2,

y-2,

AM（10,2）；

当NOM4=90。时，过点M作MBLx轴于点8,如图所示:

ZMBO=ZMBA^ZOMA=90°,

：.AMBO^AABM,

.BMOB

即创

VA(10,0),M(x,y),

:.OB—x,BM—yyOA—10,

x+y=12,

:.OB—x,BM=12-x,AB=10-x,

•••(12-X)2=X-(10—X),解得：玉=8,%=9,

.•.当x=8时，则y=4；当x=9时，则y=3,

.•.M（8,4）或加（9,3）；

故选c.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质

与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键.

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横

线上）

11.计算：（一g）=.

【答案】-

4

【解析】

【分析】根据乘方运算的符号规律，即可得到结果.

【详解】解：--=士，

I2J4

故答案为：一.

4

【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟记乘方运算的符号规律.

12.北京时间2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天间一号”探测器实施近火捕获制动,

顺利进入近火点，高度约400000m,成为我国第一颗人造火星卫星.其中，4000（X）用科学记数法可以表

示为•

【答案】4x105

【解析】

【分析】根据科学记数法可直接进行求解.

【详解】解：把400000用科学记数法可以表示为4x105；

故答案为4xl()5.

【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键.

13.因式分解：/一2。=

【答案】a(a-2)

【解析】

【详解】原式=。(。-2)

14.若二次根式斤在实数范围内有意义，则x的取值范围是一.

【答案】x>-

2

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解.

【详解】解：由二次根式二T在实数范围内有意义可得：

2A*—1>0»解得：x—；

2

故答案为

2

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.

15.实数加，〃是一元二次方程*2一3%+2=0的两个根，则多项式〃皿一加一"的值为

【答案】-1

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得加+〃=3,加〃=2,然后代入求解即可.

【详解】解：："，"是一元二次方程f―3》+2=0的两个根，

/.根据一元二次方程根与系数的关系可得加+〃=3,加〃=2,

nm—m—n-+n)=2—3=—1；

故答案-1.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关

键.

2,

16.若式子一^+1的值为零，则丁=「.

y-2

【答案】0

【解析】

【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解.

2

【详解】解：由式子一^+1的值为零可得：

y-2

II:言皿

y=0且y—2*0,

y=°；

故答案为0.

【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键.

17.如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为AB、CD,若CD"BE,Zl=20°,则

N2的度数是一.

【答案】40°

【解析】

【分析】如图，由折叠的性质可得ZBA/=N1=2O。，进而可得NCHB=N〃45+NHa4=40°,然后易

得四边形C/73。是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解.

【详解】解：如图所示：

D

Zl=20°，

由折叠的性质可得ZBAF=Zl=20°,

•：CD//BE，

：.ZHBA=ZBAF=20°,

：.NCHB=AHAB+NHBA=40°,

'：CH//BD,

：.四边形CHB。是平行四边形，

NCHB=N2=4O°；

故答案为40°.

【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性

质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键.

18.古希腊数学家把1，3,6,10,15,21，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表

示.根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为4=1,第二个图形表示的三角形数记为的=3,…,

则第〃个图形表示的三角形数4=—.（用含〃的式子表达）

(1)(2)(3)(4)

(1+n

【答案】

【解析】

【分析】由题意易得6=1,%=1+2=3,a3=1+2+3=6,a4=1+2+3+4=10；…；然后由此规

律可得第"个图形表示的三角形数.

【详解】解：由图及题意可得：

4=1,a,=1+2=3,%=1+2+3=6,a4=1+2+3+4=10；..

（1+〃

...第〃个图形表示的三角形数a“=l+2+3+4+…=

…―，（1+〃）〃

故答案为^——

2

【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可.

三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解

答或证明的主要步骤）

19.计算：（―2）°—次一卜5|+4sin45。.

【答案】-4

【解析】

【分析】根据零次基、特殊三角函数值及算术平方根可直接进行求解.

【详解】解：原式=1一2夜一5+4x也=—4.

2

【点睛】本题主要考查零次幕、特殊三角函数值及算术平方根，熟练掌握零次幕、特殊三角函数值及算术

平方根是解题的关键.

3（x-1）>x

20.解不等式组：\x-3，并在数轴上表示它的解集.

l-2x>----

I2

IIIIIIIII.

-4-3-2-101234

【答案】无解，数轴见详解

【解析】

【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解，然后再数轴上表示出解集即可.

3（x-l）>XD

详解】解：，cx-3^

l-2x>----②

I2

3

由①得：x>—,

2

由②得：x<l.

，原方程无解，

在数轴上的表示如图所示:

-4-3-2-1013234

2

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.

21.如图，在AA3C中，点。在边上，CB=CD,将边C4绕点C旋转到CE的位置，使得

NECA=ZDCB,连接与AC交于点F，且NB=70°,ZA=10°.

(1)求证：AB=ED；

【解析】

【分析】（1）由题意易得N£8=NAC3,AC=EC，则有然后问题可求证；

（2）由（1）可得NE=NA=10。，然后可得NEC4=NDCB=40°,进而根据三角形外角的性质可进行

求解.

【详解】（1）证明：,:ZECA=ZDCB,

：.ZECA+ZACD=ZDCB+ZACD,即ZECD=ZACB,

VAC^EC,CB=CD，

：.AACB^AECD（SAS）,

•••AB=ED；

（2）解：•.•CB=C£>,ZB=70°,

•••ZCDB=ZB=70°,

.•.根据三角形内角和可得/BCD=180°-2NB=40°,

/.NEG4=Z£>CB=40。，

由（1）可得△AC3乌△ECD,

ZA=10°,

ZE=ZA=10°,

ZAFE=NE+ZACE=50。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等

三角形的性质与判定是解题的关键.

22.为庆祝中国共产党成立100周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号

如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目.为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行

问卷调查.根据统计数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.

（1）该校此次调查共抽取了名学生；

（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；

（3）若该校共有2000名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动.

活动名称朗诵合唱舞蹈绘画征文

活动代号ABCDE

【答案】（1）50；（2）图见详解；（3）该校有240名学生参加舞蹈活动.

【解析】

【分析】（1）由统计图及题意可直接进行求解；

（2）由（1）可得参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6名，然后补全条形统计图即可;

（3）由（2）及题意可直接进行求解.

【详解】解：（1）由题意得：

该校此次调查共抽取的学生人数为10+20%=50（名）；

故答案为50；

（2）由（1）及题意可得：

参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6（名）；

补全条形统计图如图所示：

2000x9=240（名）；

50

答：该校有240名学生参加舞蹈活动.

【点睛】本题主要考查条形统计图及扇形统计图，解题的关键是根据统计图得到基本信息，然后求解即可.

23.有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西

自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉

学校数学实践活动小组为测量“一心阁"C”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶。处的仰角为

30°,在平地上8处观测到楼顶。处的仰角为45°,并测得4、8两处相距20m,求“一心阁"C4的高

度.（结果保留小数点后一位，参考数据：V2«1.41.百=1.73）

HB

【答案】S=27.5m

【解析】

【分析】由题意易得C4=B”，设C4=B”=xm,则有AH=（20+x）m,进而根据三角函数可进行求解.

【详解】解：由题意得：ZC/M=90°,ZCBH=45°,ZA=30°,AB=20m,

CH=BH,

设CH=BH=xm,则有A"=（20+x）m,

ACH=AHtan30°,即x=q（20+x），

解得：x»27.5,

CH=27.5m.

【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键.

24.如图，AB为。。的直径，。为。。上一点，AO和过点C的切线互相垂直，垂足为£>.

（1）求证：AC平分NO84；

3

（2）若AD=8,tanZCAB=-,求：边AC及AB的长.

【答案】（1）见详解；（2）AC=10,AB=一

2

【解析】

【分析】（1）连接OC,由题意易得ZADC=ZOCD=90°,则有AD//OC,进而可得

ZACO=ZOAC=ADAC,然后问题可求证；

3

（2）连接BC,由题意及（1）=则有OC=6,然后可得

4

4

cosZCAB-cosZCAD--,然后问题可求解.

5

【详解】（1）证明：连接。C,如图所示:

：CD是。。的切线，

Z<9CD=90°,

'：AD±CD,

：.NADC=NO8=90。，

/.ADHOC,

：.ZDAC=ZACO,

OA=OC,

：.ZACO=ZOAC=ZDAC,

AC平分NO84；

(2)解：连接BC,如图所示：

3

VtanZCAJB=—,

4

3

/.tanZ.CAD-tanACAB=—,

4

AD=8,

CD=AD-tanZDAC-6,

AC=\jAD2+CD2=10-

An4

/.cosZCAB-cosZCAD=—,

AC5

AB为。。的直径,

/.ZACB=90°，

4A25

AB=

cosZCABT

【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键.

25.2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开

始组建团队，制作面向A、B两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个A类微课和5个8类微课

需要4600元成本，制作5个A类微课和10个3类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某

视频播放网站，每个A类微课售价1500元，每个3类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个A类微课

或者1.5个8类微课，且团队每月制作的8类微课数不少于A类微课数的2倍（注：每月制作的A、B两

类微课的个数均为整数）.假设团队每月有22天制作微课，其中制作A类微课a天，制作A、8两类微课

的月利润为卬元.

（1）求团队制作一个A类微课和一个3类微课的成本分别是多少元？

（2）求w与。之间的函数关系式，并写出。的取值范围：

（3）每月制作A类微课多少个时，该团队月利润川最大，最大利润是多少元？

【答案】（1）团队制作一个A类微课和一个B类微课的成本分别是700元、500元；（2）vv=50a+16500,

0<a<—；（3）每月制作A类微课8个时，该团队月利润卬最大，最大利润是16900元.

7

【解析】

【分析】（1）设团队制作一个A类微课成本为X元，制作一个B类微课的成本为y元，由题意得

3x+5y=4600

'5x+10y=8500然后求解即可;

（2）由（1）及题意可直接进行求解；

（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解.

【详解】解：（1）设团队制作一个A类微课的成本为x元，制作一个3类微课的成本为丁元，由题意得:

3x+5y=4600

5%+10y=8500

x=700

解得:

y=500

答：团队制作一个A类微课和一个3类微课的成本分别是700元、500元.

(2)由题意得制作8类微课(22—a)天，则有：

w=(1500-700)a+1.5x(1000-500)(22-«)=50«+16500,

•••团队每月制作的B类微课数不少于A类微课数的2倍，

.•.1.5(22—a)22a,且a>0,解得：0<a4竽，

(3)由(2)可得：卬=50a+16500,0<«<—,

7

w随a的增大而增大，

•••每月制作的A、8两类微课的个数均为整数，

...22—a为偶数，

.,.当a=8时，w取最大，最大值为w=50x8+16500=16900；

答：每月制作A类微课8个时，该团队月利润w最大，最大利润是16900元.

【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一

次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键.

26.如图，已知抛物线>=«?+笈+4经过A(-l,0),8(4,0)两点，交>轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接6C,求直线6C的解析式；

(3)请在抛物线的对称轴上找一点P,使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最

小值；

(4)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

y