(5.6.11)-4.6 传染病模型-SIR模型

红色字体表示在屏幕上需要体现的文字内容，与语音同时出现黄底色红字表示用素材（图片、表格、公式等）展示并显示文字黄底色黑字表示用素材（图片、表格、公式等）展示，文字不用显示灰底色删除线表示删除的文字批注制作的意见或重点文字的提炼蓝色字体制作的意见或说明绿色字体表示讲稿存疑之处，需要与老师进行沟通如无特殊说明，上屏文字均为：思源宋体CNSemiBold脚本-传染病模型——SIR模型(ppt1，ppt2)同学，你好，这节课我们接着上节课的内容，继续讲解传染病模型的建模过程。(ppt3)首先，我们来回顾一下传染病模型中的SIS模型。(ppt4)（动画1）SIS模型的微分方程的形式为，感染者所占的比例i对t的导数等于λi(t)乘上[1-i(t)]，再减去μi(t)，（动画2）我们令sigama=μ分之λ，（动画3）可以得到i对t的导数等于负的λi(t)再乘以i(t)减去1-sigama分之一。其中（动画4），λ为病人每天有效接触的人数，μ为感染者的治愈率。（动画5）那么如果治愈的病人都产生了长期免疫力，又该怎样建立模型呢？(ppt5)下面我们来讲解对上面这个问题所提出的一个改进模型——SIR模型。(ppt6)在已学的SIS模型中，我们只把人分为两类。在今天学的模型中，把居民分为三类，：（动画1，2）第一类的比率𝑖(𝑡)表示为𝑡时刻已经感染人数占总人数的比例；（动画3，4）第二类的比例𝑠(𝑡)表示为𝑡时刻未被感染人数（健康人）占总人数的比例；（动画5,6）第三类比例𝑟(𝑡)表示𝑡时刻移除者占总人数的比例。他们的关系是：（动画7）健康人被感染后变成病人，（动画8）病人治愈产生抗体变为移除者。（动画9）他们是一个动态过程，显然这3个比例加起来等于1即𝒊(𝒕)+𝒔(𝒕)+𝒓(𝒕)=𝟏。（动画10）我们记λ为日接触率，𝛾为移除率。(ppt7)接下来我们开始构建SIR模型。（动画1）在detat的时间内，感染者增加的数量与以前学过的SIS模型类似。一方面可可以表示为（动画2）N乘以i(t+detat)减去i(t)，另一方面也可以表示为（动画3）病人每天的有效接触人数λ乘以s(t)乘以病人数Ni(t)再乘以detat再减去从病人中移除的人数gama乘以Ni(t)乘以detat，（动画4）根据变化量相等可知，这两个式子相等。（动画5）在两边同除以Ndetat，得到（动画6）i对t的导数等于λs(t)i(t)减去gama乘以i(t)。（动画7，8）接下来我们看看健康人减少的量：健康人减少的量一方面可以表示为：N[s(t+∆t)-s(t)]，另一方面可以表示为健康人被病人感染的量的负值。类似根据变化量相等可知，这两个式子相等,（动画9）在两边同除以Ndetat，得到s(t)对t的导数等于负的λs(t)i(t)。最后考虑移除者的量：（动画10，11）一方面与从病人中移除的人数gama乘以Ni(t)乘以detat相同，另一方面可以表示为N[r(t+Δt)-r(t)]。类似他们是相等的，两边同除以Ndetat，（动画12）得到r对t的导数等于gama乘以i(t)。（动画13）联立上面3个方面，我们得到传染病的微分方程组，即SIR模型。(ppt8)下面我们对方程进行化简，（动画1）由于i(t)加s(t)再加r(t)等于1，只要知道了i(t)和s(t)，就可以求出r(t)。我们看到上面那个方程组中前两个方程与r(t)无关，只与i(t)和s(t)有关，（动画2）因此我们考虑前两个方程，即s(t)对t的导数等于负的λs(t)i(t)，i对t的导数等于λs(t)i(t)减去gama乘以i(t)。仔细分析，我们发现这是非线性微分方程组，求不出真解。下面我们采用相平面分析法。（动画3，4）什么是相平面呢？i(t)和s(t)所构成平面称为相平面。利用下面方程除以上面方程，我们可以得到可以得到i(t)关于s(t)的微分方程，即：i(t)对s(t)的导数等于负的λs(t)i(t)分之λs(t)i(t)减去gama乘以i(t)，也就等于λs(t)分之gama再减去1。我们把i(t)看出因变量，s(t)看成自变量。利用分离变量法，（动画5，6）可以解得通解为：i(s)等于负的s(t)加上λ分之gama乘以lns(t)再加上C。（动画7）当t等于0时，s等于s_0，i等于i_0，把他们代入上面的通解，我们可以把C求解出来。记ρ等于λ分之gama，可得特解，即相轨线方程：（动画8）i(s)等于i_0加s_0减去s(t)再加上ρ乘以lns_0分之s(t)。（动画9）特解的图像即为相轨线，相应的相轨线的定义域D为：s大于等于0，i大于等于0，由于i(t)加s(t)再加r(t)等于1，这里r(t)大于等于零，因此s加i小于等于1。（动画10）如右图所示。(ppt9)接下来我们对SIR模型的结果进行分析。（动画1）首先我们根据相轨线的定义域可以得到这样一个坐标系。（动画2），我们可以得到如下结论：（动画3）第一、当t趋于无穷时，i在t趋于无穷时等于0，也就是说病人终将在系统中消失。（动画4）如左图中的相轨线轨迹所示。（动画5，6））第二、令t趋于无穷，因为i趋于无穷时等于0，我们可以发现s无穷满足方程：1减去s无穷加ρlns_0分之s无穷等于0。其中s无穷是相轨线与s轴交点的横坐标。（动画7）第三、对相轨线方程求导，可以得到i在s星等于ρ时达到最大值，且i(s星)等于1减ρ加ρ乘以lns_0分之ρ。（动画8）如左图相轨线所示。（动画9，10）根据上一条我们可以得出第四条结论，当健康人比例初值s_0大于ρ时，i(t)先升后降至0，此时传染病蔓延。（动画11，12）当健康人比例初值s_0小于等于ρ时，i(t)单调减少到0，此时传染病不蔓延。因此传染病是否蔓延与ρ的值有关。我们需要增加ρ的值才能减少传染病蔓延。(ppt10)接下来我们来了SIR模型提供的决策依据。(ppt11)（动画1）我们分析ρ值，（动画2，3）ρ等于移除率gama除以有效接触率λ。（动画4，5）前面我们得到增加ρ的值才能减少传染病蔓延。因此我们必须减少有效接触率λ和提升移除率gama。(ppt12)（动画1）减少有效接触率λ最有效的措施是把感染者隔离。这一点我们国家做的非常好，及时的封城，在当地快速隔离疑似病例以及从高发地区返程的人员，并且号召全国人民没有事情尽量少出门，出门也要带好口罩，做好防护。(ppt13)（动画1）提升移除率gama的一个方法是：国家还要