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文档简介
甘肃省张掖市重点中学2024年高考数学四模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数满足当时,,且当时,;当时,且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对,则的取值范围是()A. B. C. D.2.若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象,则下列说法正确的是()A.函数在上单调递增 B.函数的周期是C.函数的图象关于点对称 D.函数在上最大值是13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是()A. B. C. D.4.已知三棱锥中,是等边三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.5.已知,是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题中错误的是()A.若,,则或B.若,,,则C.若,,,则D.若,,则6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为()A. B.C. D.7.若sin(α+3π2A.-12 B.-138.如图,在正方体中,已知、、分别是线段上的点,且.则下列直线与平面平行的是()A. B. C. D.9.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值10.已知,若对任意,关于x的不等式(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.11.已知数列满足,(),则数列的通项公式()A. B. C. D.12.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.现有5人要排成一排照相,其中甲与乙两人不相邻,且甲不站在两端,则不同的排法有____种.(用数字作答)14.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了”.丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是__________.15.已知,,,则的最小值是__.16.在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中A(0,1)为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为,则实数a的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜(FAST)是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来,已发现132颗优质的脉冲星候选体,其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星,脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一,脉冲星就是正在快速自转的中子星,每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间(脉冲星的自转周期)是-定的,最小小到0.0014秒,最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期,绘制了如图的频率分布直方图.(1)在93颗新发现的脉冲星中,自转周期在2至10秒的大约有多少颗?(2)根据频率分布直方图,求新发现脉冲星自转周期的平均值.18.(12分)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求B;(2)若,求的面积的最大值.19.(12分)已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.20.(12分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,直线过点,且与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)求的最大值.21.(12分)某市计划在一片空地上建一个集购物、餐饮、娱乐为一体的大型综合园区,如图,已知两个购物广场的占地都呈正方形,它们的面积分别为13公顷和8公顷;美食城和欢乐大世界的占地也都呈正方形,分别记它们的面积为公顷和公顷;由购物广场、美食城和欢乐大世界围成的两块公共绿地都呈三角形,分别记它们的面积为公顷和公顷.(1)设,用关于的函数表示,并求在区间上的最大值的近似值(精确到0.001公顷);(2)如果,并且,试分别求出、、、的值.22.(10分)已知(1)当时,判断函数的极值点的个数;(2)记,若存在实数,使直线与函数的图象交于不同的两点,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,分类利用图像列出有3个交点时满足的条件,解之即可.【详解】先作出函数在上的部分图象,再作出关于原点对称的图象,如图所示,当时,对称后的图象不可能与在的图象有3个交点;当时,要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点,则,解得.故选:C.【点睛】本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题,考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想,是一道中档题.2、A【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式;利用整体对应的方式可判断出在上单调递增,正确;关于点对称,错误;根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误;根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得,错误.【详解】将横坐标缩短到原来的得:当时,在上单调递增在上单调递增,正确;的最小正周期为:不是的周期,错误;当时,,关于点对称,错误;当时,此时没有最大值,错误.本题正确选项:【点睛】本题考查正弦型函数的性质,涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解;关键是能够灵活应用整体对应的方式,通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.3、D【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥,由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知,该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为,所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选:D【点睛】本小题主要考查由三视图判断原图,考查锥体表面积的计算,属于基础题.4、D【解析】
根据底面为等边三角形,取中点,可证明平面,从而,即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为,可求得到平面的距离,画出几何关系,设球心为,即可由球的性质和勾股定理求得球的半径,进而得球的表面积.【详解】设为中点,是等边三角形,所以,又因为,且,所以平面,则,由三线合一性质可知所以三棱锥为正三棱锥,设底面等边的重心为,可得,,所以三棱锥的外接球球心在面下方,设为,如下图所示:由球的性质可知,平面,且在同一直线上,设球的半径为,在中,,即,解得,所以三棱锥的外接球表面积为,故选:D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算,正三棱锥的外接球半径求法,球的表面积求法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.5、D【解析】
根据线面平行和面面平行的性质,可判定A;由线面平行的判定定理,可判断B;C中可判断,所成的二面角为;D中有可能,即得解.【详解】选项A:若,,根据线面平行和面面平行的性质,有或,故A正确;选项B:若,,,由线面平行的判定定理,有,故B正确;选项C:若,,,故,所成的二面角为,则,故C正确;选项D,若,,有可能,故D不正确.故选:D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断,考查了学生逻辑推理,空间想象能力,属于中档题.6、B【解析】
还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体,分别求解两个部分的体积,加和得到结果.【详解】由三视图还原可知,原几何体下半部分为半个圆柱,上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为:四棱锥体积为:原几何体体积为:本题正确选项:【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题,关键在于能够准确还原几何体,从而分别求解各部分的体积.7、B【解析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为sinα+3π2=3故选B【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式,灵活掌握公式是关键,属于基础题.8、B【解析】
连接,使交于点,连接、,可证四边形为平行四边形,可得,利用线面平行的判定定理即可得解.【详解】如图,连接,使交于点,连接、,则为的中点,在正方体中,且,则四边形为平行四边形,且,、分别为、的中点,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,因此,平面.故选:B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定,考查了推理论证能力和空间想象能力,属于中档题.9、C【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义,体积公式分别进行判断.【详解】对于,设平面与直线交于点,连接、,则为的中点分别取、的中点、,连接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面内的相交直线平面平面,由此结合平面,可得直线平面,即点是线段上上的动点.正确.对于,平面平面,和平面相交,与是异面直线,正确.对于,由知,平面平面,与不可能平行,错误.对于,因为,则到平面的距离是定值,三棱锥的体积为定值,所以正确;故选:.【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10、B【解析】
构造函数(),求导可得在上单调递增,则,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知,要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.【详解】构造函数(),则(),所以在上单调递增,所以,故问题转化为至少存在两个正整数x,使得成立,设,,则,当时,单调递增;当时,单调递增.,整理得.故选:B.【点睛】本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.11、A【解析】
利用数列的递推关系式,通过累加法求解即可.【详解】数列满足:,,可得以上各式相加可得:,故选:.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用,数列累加法以及通项公式的求法,考查计算能力.12、A【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、36【解析】
先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法,在此条件下,计算甲不排在两端的排法,最后相减即可得到结果.【详解】由题意得5人排成一排,甲、乙两人不相邻,有种排法,其中甲排在两端,有种排法,则6人排成一排,甲、乙两人不相邻,且甲不排在两端,共有(种)排法.所以本题答案为36.【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特,计算量庞大,对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则,如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全,这样才能做到不重不漏,正确解题.14、丙【解析】若甲获奖,则甲、乙、丙、丁说的都是错的,同理可推知乙、丙、丁获奖的情况,可知获奖的歌手是丙.考点:反证法在推理中的应用.15、.【解析】
因为,展开后利用基本不等式,即可得到本题答案.【详解】由,得,所以,当且仅当,取等号.故答案为:【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值,考查学生的转化能力和运算求解能力.16、3【解析】
设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0),联立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【详解】设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x∵A的坐标(0,1),∴B的坐标为(,k•1),即B(,),因此AB•,同理可得:AC•.∴Rt△ABC的面积为SAB•AC•令t,得S.∵t2,∴S△ABC.当且仅当,即t时,△ABC的面积S有最大值为.解之得a=3或a.∵a时,t2不符合题意,∴a=3.故答案为:3.【点睛】本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题,意在考查学生的计算能力和转化能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)79颗;(2)5.5秒.【解析】
(1)利用各小矩形的面积和为1可得,进而得到脉冲星自转周期在2至10秒的频率,从而得到频数;(2)平均值的估计值为各小矩形组中值与频率的乘积的和得到.【详解】(1)第一到第六组的频率依次为0.1,0.2,0.3,0.2,,0.05,其和为1所以,,所以,自转周期在2至10秒的大约有(颗).(2)新发现的脉冲星自转周期平均值为(秒).故新发现的脉冲星自转周期平均值为5.5秒.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用,涉及到平均数的估计值等知识,是一道容易题.18、(1)(2)【解析】
(1)由正弦定理边化角化简已知条件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面积的最大值.【详解】(1),,所以,所以,,,,.(2)由余弦定理得.,,当且仅当时取等,.所以的面积的最大值为.【点睛】本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积的最值问题,难度较易.19、(1);(2)证明见解析.【解析】
(1),分,,三种情况推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到证明.【详解】(1)由,得.当时,方程的,因此在区间上恒为负数.所以时,,函数在区间上单调递减.又,所以函数在区间上恒成立;当时,方程有两个不等实根,且满足,所以函数的导函数在区间上大于零,函数在区间上单增,又,所以函数在区间上恒大于零,不满足题意;当时,在区间上,函数在区间上恒为正数,所以在区间上恒为正数,不满足题意;综上可知:若时,不等式恒成立,的最小值为.(2)由第(1)知:若时,.若,则,即成立.将换成,得成立,即,以此类推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题,考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力,是一道难题.20、(1),;(2)1.【解析】
(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,可得p值,即可求抛物线C的方程从而可得解;(2)设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【详解】(1)∵点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P(2,y0)是抛物线上一点,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,∵点P(2,n)(n>0)在抛物线C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是y2+4my﹣4=0的两个不同实根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2
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