高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第1讲 几何证明选讲专题强化训练 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题十三选考部分第1讲几何证明选讲专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)1．如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB，同理∠ACB＝∠DAB，所以△ACB∽△DAB.从而eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,BD)，即AC·BD＝AD·AB.(2)由AD与⊙O相切于点A，得∠AED＝∠BAD.又∠ADE＝∠BDA，得△EAD∽△ABD.从而eq\f(AE,AB)＝eq\f(AD,BD)，即AE·BD＝AD·AB.结合(1)的结论知，AC＝AE.2.如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝eq\f(1,2)AD·AE，求∠BAC的大小．解：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC)，即AB·AC＝AD·AE.又S＝eq\f(1,2)AB·ACsin∠BAC，且S＝eq\f(1,2)AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1.又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.3.如图，圆O的直径AB＝d，P是AB延长线上一点，BP＝a，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F.(1)求证：∠PEC＝∠PDF；(2)求PE·PF的值．解：(1)证明：连接BC，易知∠ACB＝∠APE＝90°，即P，B，C，E四点共圆．所以∠PEC＝∠CBA.又A，B，C，D四点共圆，所以∠CBA＝∠PDF.所以∠PEC＝∠PDF.(2)由(1)，知∠PEC＝∠PDF，所以F，E，C，D四点共圆．所以PE·PF＝PC·PD＝PB·PA＝a(a＋d)．4.如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P.(1)求证：PM2＝PA·PC；(2)若⊙O的半径为2eq\r(3)，OA＝eq\r(3)OM，求MN的长．解：(1)证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN＝∠ONB，∵∠PMN＝∠OMB＝90°－∠OBN，∠PNM＝90°－∠ONB，∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN.根据切割线定理，有PN2＝PA·PC，∴PM2＝PA·PC.(2)∵OA＝eq\r(3)OM，∴OM＝2，在Rt△BOM中，BM＝eq\r(OB2＋OM2)＝4.延长BO交⊙O于点D，连接DN.由条件易知△BOM∽△BND，于是eq\f(BO,BN)＝eq\f(BM,BD)，即eq\f(2\r(3),BN)＝eq\f(4,4\r(3))，∴BN＝6.∴MN＝BN－BM＝6－4＝2.5．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．解：(1)证明：连接DE，因为ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△BDE∽△BCA，即有eq\f(BE,BA)＝eq\f(DE,CA)，而AB＝2AC，所以BE＝2DE.又CD是∠ACB的平分线，所以AD＝DE，从而BE＝2AD.(2)由条件得AB＝2AC＝2，设AD＝t，根据割线定理得BD·BA＝BE·BC，即(AB－AD)·BA＝2AD·(2AD＋CE)，所以(2－t)×2＝2t(2t＋2)，即2t2＋3t－2＝0，解得t＝eq\f(1,2)或t＝－2(舍去)，所以AD＝eq\f(1,2).6．如图，BA是⊙O的直径，延长BA至E，使得AE＝AO，过E点作⊙O的割线交⊙O于D、C，使得AD＝DC.(1)求证：OD∥BC；(2)若ED＝2，求⊙O的内接四边形ABCD的周长．解：(1)证明：连接AC，因为OD是⊙O的半径，AD＝DC，所以OD⊥AC，又因为∠BCA＝90°，所以BC⊥AC，所以OD∥BC.(2)由(1)及EA＝AO，ED＝2，知eq\f(OD,BC)＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(EO,EB)＝eq\f(2,3)，所以EC＝3.因为ED·EC＝EA·EB＝3EA2，所以3EA2＝2×3，即EA＝eq\r(2)