练习题6三重积分练习题

PAGEPAGE1第九章练习题6：三重积分王克金三重积分的性质1.存在的充分条件是（）A（A）在有界闭区域上连续（B）在有界闭区域上有界（C）在区域上连续（D）在区域上有界答案：（A）解B、D有界不一定可积，C区域无界，连续不一定可积，故只有A2.有界闭区域由平面及三个坐标面围成，设，则利用三重积分性质知的关系为（）（A）（B）的大小不具体计算无法比较（C）（D）的值计算不出来，故无法比较它们的大小答案：（A）解被积函数均可视为的函数，在积分区域内，，，故A成立3.有界闭区域由平面及三个坐标面围成，设，则利用三重积分性质知的关系为__________答案：解在内，，，故三重积分的奇偶性1.设为中关于面的对称区域，为上的连续函数，为在面上方部分，则当为关于_____的奇函数时，则当为关于_____的偶函数时，。答案：解为中关于面的对称区域，考察关于变量的奇偶性即可。2.设空间区域,则下式（ ）成立C答案：（C）解关于面及面对称，故，A,B不成立，同理D也不成立。而为关于的偶函数，故选C65.计算其中是由球面x2y2z21所围成的闭区域解因为积分区域关于xOy面对称而被积函数为关于z的奇函数所以3设，则=______答案：解为关于的奇函数，故得结果。4.设，则=______答案：解积分区域为一柱体，该柱体体积为，采用先二后一法，固定，为一关于轴对称的区域，为一关于的奇函数，故=0，余下部分为3倍体积，为5设，则=______答案：解积分区域关于面对称，为关于的奇函数，故=6.设，则=（）D（A）0（B）（C）-3（D）答案：（D）解积分区域关于面对称，为关于的奇函数，积分值为0，余下为-3倍体积，球体体积为，故选D7.设，则=（）B（A）0（B）（C）（D）3答案：（B）解积分区域关于面对称，为关于的奇函数，积分值为0，余下为3倍体积，而积分区域为一体积为的圆柱体，结果为，选B直角坐标计算三重积分4.如果三重积分的被积函数f(x,y,z)是三个函数f1(x)、f2(y)、f3(z)的乘积,即f(x,y,z)=f1(x)×f2(y)×f3(z),积分区域W={(x,y,z)|a£x£b,c£y£d,l£z£m},证明这个三重积分等于三个单积分的乘积,即.证利用与积分变量无关的值对该定积分为常量.1.设，是由所围成的正方体，则I=（）D（A）（B）（C）（D）答案：（D）解积分区域关于三坐标面对称，而被积函数为关于的偶函数，故选D，A,B,C被积函数错。37.计算,其中W为平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的四面体.解积分区域可表示为W={(x,y,z)|0£z£1-x-y,0£y£1-x,0£x£1},于是.76.计算，其中是由及所围成的立体域。解的联立不等式组为所以2.已知是由所围成区域，按先后再的积分次序将化为三次积分，则答案：解由所给顺序，先定的取值范围，即，在确定的前提下，在面确定的取值范围，在三角形区域内，，顶在平面上，故，得结果。14.设为六个平面围成的区域，在上连续，则累次积分（）=答案：（D）解积分区域在面上的投影区域为，积分变量的取值为，故选D158.计算，其中为六个顶点组成的三棱锥台。解注意到均在面上，故可以以梯形为底，梯形与面垂直，以梯形为的顶。又梯形所在平面为，易得积分区域表示积分区域为：=168.,：及所围区域.解：，，39.计算,其中W是由平面z=0,z=y,y=1以及抛物柱面y=x2所围成的闭区域.解积分区域可表示为W={(x,y,z)|0£z£y,x2£y£1,-1£x£1},于是.4.设分别由双曲抛物面及平面所围成的闭区域.化三重积分为三次积分。则=_______.答案：解与轴平行，三面构成一个以为顶的曲三棱锥，故积分区域可表为，得结果。95.计算,其中W是由曲面z=xy,与平面y=x,x=1和z=0所围成的闭区域.解积分区域可表示为W={(x,y,z)|0£z£xy,0£y£x,0£x£1},于是.解曲积分区域可表示为,于是.34.化三重积分为三次积分,其中积分区域W是:由双曲抛物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所围成的闭区域;解积分区域可表示为W={(x,y,z)|0£z£xy,0£y£1-x,0£x£1},于是.94.化三重积分为三次积分,其中积分区域W是:由曲面cz=xy(c>0),,z=0所围成的在第一卦限内的闭区域.93.化三重积分为三次积分,其中积分区域W是:由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所围成的闭区域;提示:曲面z=x2+2y2与z=2-x2的交线在xOy面上的投影曲线为x2+y2=1.解曲积分区域可表示为,于是.3.设由曲面及所围成的闭区域.三重积分为三次积分。则=_______答案：解积分区域由抛物曲面与抛物柱面围成，以抛物柱面为顶，抛物曲面为底；二者交线在面的投影曲线为，故积分区域可表为，得三次积分。63.把积分化为三次积分其中积分区域是由曲面zx2y2yx2及平面y1z0所围成的闭区域解积分区域可表示为0zx2y2x2y11x1所以5.设由曲面及平面所围成的闭区域，把积分表为顺序的三次积分______答案：解的底在平面上，顶在曲面上，侧面由及构成，因此积分区域为，可得所求。35.化三重积分为三次积分,其中积分区域W是:由曲面z=x2+y2及平面z=1所围成的闭区域;解积分区域可表示为,于是.38.计算,其中W为球面x2+y2+z2=1及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解积分区域可表示为于是.107.求，由所围成在第一卦限的有界区域。解积分区域可表为易化为三次积分。6.将三次积分改换积分顺序为______答案：解三次积分对应三重积分区域为，可得由围成区域，故，得结果。143.计算积分解直接积分困难，改变积分顺序9.设在上连续，试证证利用连续函数一定有原函数，计算三次积分，求出结果即证令，于是左边====11.证明证要证等式成立，注意到左端为三次积分，积分变量t在最先，而右端为一关于t的定积分，故须交换积分顺序处理80.计算三重积分，其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域。解，（三角形的面积）故137.计算解积函数仅为z的函数，截面D(z)为圆域，故采用“先二后一”法极为方便7.设，则=______答案：解被积函数自变量只含，可考虑先二后一法8.设由与围成,则=_______答案：解积分区域及被积函数特征，可考虑先二后一或柱坐标。如采用先二后一，需积分区域特征分为两部分，即==12.设为连续函数，证明：证由积分区域及右端定积分形式，易想到采用先二后一法计算证明。64.计算下列三重积分其中是两个球x2y2z2R2和x2y2z22Rz(R0)的公共部分解两球面的公共部分在xOy面上的投影在柱面坐标下积分区域可表示为所以144.解由被积函数及积分区域特征，先利用奇偶性化简被积函数，在利用被积函数特征及积分区域情况，采用先二后一法计算有=164.计算，其中。解利用对称性及三重积分性质，采用先二后一法分开计算同理，故96.计算,其中W是由锥面与平面z=h(R>0,h>0)所围成的闭区域.解当0£z£h时,过(0,0,z)作平行于xOy面的平面,截得立体W的截面为圆Dz:,故Dz的半径为,面积为,于是=.53.一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成,求物体的体积;解由对称可知柱面坐标计算三重积分1.设是由曲面及所围成的闭区域，利用柱面坐标化三重积分为三次积分_______答案：解先求二曲面的交线，得，交线在面的投影曲线为，故柱坐标系下积分区域可表为，可得三次积分。2.计算三重积分:,其中W是由曲面及z=x2+y2所围成的闭区域;解在柱面坐标下积分区域W可表示为0£q£2p,0£r£1,,于是.3.计算由曲面及x2+y2=4z所围成的立体的体积:解在柱面坐标下积分区域W可表示为,于是.4.曲面之内及曲面之外所围成的立体的体积=（ ）D答案：（D）解易求得两曲面的交线为在柱坐标下，B积分限错误。由于旋转抛物面位于上方，的积分上限为，下限为球面，只有D符合。5.用三次积分表示由曲面所围成立体的体积____答案：解由方程对应的几何图形知，是以平面及抛物面为底，柱面为侧面的几何体，在面的投影区域为，在柱坐标下该立体范围可表为6.设所围区域在第一卦限部分，则（）B答案：（B）解A,D在直角坐标系下成立，C在柱坐标系下成立，B与D矛盾，选B7.计算三重积分，其中为所围闭区域解将投影到面得，即8.计算三重积分,其中W是由曲面x2+y2=2z及平面z=2所围成的闭区域.解在柱面坐标下积分区域W可表示为0£q£2p,0£r£2,,于是.9.计算，其中是由所围成的空间闭区域。解：；10.设为由绕轴旋转一周形成的曲面与所围成的区域，=_______.答案：解曲线旋转得到的曲面方程为，由被积函数结构及积分区域看，适用柱坐标，==11.计算三重积分其中是由xOy面上曲线y22x绕x轴旋转而成的曲面与平面x5所围成的闭区域解曲线y22x绕x轴旋转而成的曲面的方程为y2z22x由曲面y2z22x和平面x5所围成的闭区域在yOz面上的投影区域为在柱面坐标下此区域又可表示为所以12.计算，其中是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=2,z=8所围的立体。解一旋转体横截面为圆，可用柱坐标或“先二后一”法可选柱坐标系，这时需将分为两块进行积分。旋转曲面的方程为，即，解二若采用“先二后一”法较为简便D(z):x2+y2≤2z13.的曲面与平面所围成的空间区域，求。解旋转体横截面为圆，整个落在一圆柱体内，可用柱坐标计算由曲线绕z轴旋转一周所成的曲面为==14.计算，其中为所围闭区域解由被积函数及积分区域看，适用柱面坐标，上顶为平面，下底为锥面投影区域为=15.计算,其中W是由曲面4z2=25(x2+y2)及平面z=5所围成的闭区域;解在柱面坐标下积分区域W可表示为,于是.16.计算由曲面z=6-x2-y2及所围成的立体的体积:解在柱面坐标下积分区域W可表示为0£q£2p,0£r£2,r£z£6-r2,于是.17.计算，其中为及平面所围成的立体，则正确的解法为（ ）B答案：（B）解为一园面为底，柱面为侧面，顶为锥面的区域，在柱坐标系下，积分区域可表为，A，C，D均有积分限错误，选B18.计算由曲面及z=x2+y2所围成的立体的体积:解在柱面坐标下积分区域W可表示为0£q£2p,0£r£1,r2£z£r,于是.19.计算三重积分:,其中W为柱面x2+y2=1及平面z=1,z=0,x=0,y=0所围成的在第一卦限内的闭区域;解在柱面坐标下积分区域W可表示为,于是解法2:用直角坐标计算.20.计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.解选取柱面坐标系计算方便,所以==.21.计算，其中是由柱面与平面围成的闭区域。解积分区域为柱体一部分，被积函数用柱坐标简单，采用柱坐标计算22.设为连续函数，定义，其中，求。解在柱面坐标系中所以23设具有连续导数，，，（ ）B（A）0；（B）（C）（D）-答案：（B）解分子用柱坐标计算可化为，利用洛必达法则，化简得结果为，选B球面坐标计算三重积分1.计算,其中W是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域.解在球面坐标下积分区域W可表示为0£q£2p,0£j£p,0£r£1,于是.2.设空间区域，则=______答案：解，3.设，则=______答案：解：由对称性，4设，则()（A）（B）（C）（D）答案：（B）解积分区域为球心在原点的球体，关于三坐标面对称，而，二次交叉项积分值为0，利用球坐标计算易得结果为B5.设空间区域则=（ ）A；答案：（A）解由积分区域是球体，被积函数是球半径函数，故用球坐标计算，即，只有A6.设，则=()D答案：（D）解积分区域为上半球，投影区域为整个圆面，B,C不符合，A被积函数错误，故选D7.设是由曲面所围成的闭区域，利用球面坐标化三重积分为三次积分_______答案：解是球体在Ⅰ，Ⅴ象限，积分区域在球坐标下可表为，被积函数在用球坐标表示及体积微元表示即得。8.设：，则=_______答案：解积分区域为球环域，被积函数是的函数，适用球坐标计算。9.计算三重积分,其中闭区域W由不等式,z³0所确定.解在球面坐标下积分区域W可表示为,于是.10.,:由,,及(y0,a>0)所围成.解积分区域由球面及锥面围成，采用球坐标.令.则.于是===11.计算，其中。解利用对称性计算三重积分，设则.12.计算，其中。解+因为关于三个坐标轴都对称，而都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是：。13.设具有连续导数，，，______。答案：1解分子故该极限为一不定式极限，上下求导得结果为14.设为恒大于零的连续函数，，，其中，试讨论在区间内的单调性；证明当时，。解分别将函数表示为关于的变限函数，利用导数判断单调性分别在球坐标及极坐标下计算三重及二重积分。（1）在上，所以在区间内单调递增。（2）因，只需证时，即，令为左边函数，，在处连续，时从而时15.计算，其中。解锥面与球面为外表面区域适合采用球坐标16.计算三重积分,其中W是由球面x2+y2+z2=z所围成的闭区域;解在球面坐标下积分区域W可表示为,于是.17.计算，其中为和平面围成的立体，则以下不正确的解法为（ ）D答案：（D）解A为在柱坐标下的三次积分，正确，B为采用先二后一法得到，正确，C为球坐标下的三次积分，正确。D的半径积分限错误，故选D18.设是由球面与锥面所围成区域，则三重积分在球面坐标系下的三次积分表达式为答案：解积分区域由锥面与球面围成，投影区域包含原点，故，锥面半顶角为，故，球面半径为，自变量化为球坐标下自变量即得。19.计算，其中由与所围成。解注意到积分区域关于面均对称，被积函数关于的奇函数部分积分值为0，而锥面与球面围成区域采用球坐标计算有，利用球面坐标，有20.设由与围成，则=_______答案：解由球面及锥面围成，固定，为一关于轴对称的区域，故21半径为1的球面与半顶角为的内接锥面所围立体的体积为______答案：解由已知，以锥顶为原点，旋转轴为z轴建立坐标系，球坐标下积分区域为，=22.计算三重积分,其中闭区域W由不等式x2+y2+(z-a)2£a2,x2+y2£z2所确定.解在球面坐标下积分区域W可表示为,于是.23.计算由曲面x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2(含有z轴的部分);所围成的立体的体积:解在球面坐标下积分区域W可表示为,于是.24设由抛物面与平面所围区域，则三重积分在球面坐标系下的三次积分表达式为答案：解积分区域为旋转抛物面与平面围成，边界面在时为平面，在时，边界面为，即，得结果。26.计算，其中Ω是由曲面及所围成的所围立体解积分区域由锥面和平面围成，被积函数为球半径函数，采用球坐标计算在球面坐标系下，27.求，由所围成。解被积函数是球半径函数，边界曲面为锥面，可以采用球坐标计算，积分区域在球坐标下可表为28.设函数在上连续,若对任意的恒有其中,是在面上的投影区域,是的表面,是的边界曲线,证明满足,且证明题目涉及曲线曲面积分,二重三重积分,根据对应的积分范围,选择恰当的坐标进行积分.由已知,于是有即有,,三重积分的应用1.设有一物体,占有空间闭区域W={(x,y,z)|0£x£1,0£y£1,0£z£1},在点(x,y,z)处的密度为r(x,y,z)=x+y+z,计算该物体的质量.解.2.球心在原点、半径为的球体在其上任意一点的密度的大小为这点到球心的距离的倍，则该球体的质量为_______答案：解球面的方程为，密度函数为，质量.3.球心在原点、半径为R的球体,在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比,求这球体的质量.解密度函数为.在球面坐标下积分区域W可表示为0£q£2p,0£j£p,0£r£R,于是.4.设有一物体，占有空间区域，在点处密度为，计算该物体的质量。解有被积函数特殊性及积分区域特点，采用不同的先二后一法计算=5.求均匀半球体的重心解均匀物体重心为几何中心，利用对称性及球坐标计算设重心为，则，故重心为6.均匀半球体的重心坐标为______答案：解均匀由对称性知重心横、纵坐标为0，设竖坐标为，密度为，则有公式7.设球体占有闭区域={(x,y,z)|x2+y2+z2£2Rz},它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的质心.解球体密度为x2y2z2由对称性可知质心在z轴上,即在球面坐标下可表示为,于是故球体的质心为.8.设有一半径为R的球体，是此球表面上的一个定点，球体上各点的密度的大小等于该点到坐的距离的平方成正比（比例常数）,试求这球体的重心位置。.解建立合适坐标系，利用对称性及重心公式计算为解题方便，选球心在坐标原点，，则球面为，所围区域为，重心坐标为，由对称性；而，，故重心坐标为9.由曲线绕轴旋转得一曲面面，求该曲面与平面所围成密度为常数的均匀立体的重心坐标。解求出旋转曲面方程，利用对称性简化所求，积分区域旋转体适用先二后一或柱坐标曲面的方程为，设重心坐标为，由对称性知。，，，重心为10..利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度r=1):,(A>a>0),z=0;解由对称性可知,重心在z轴上,故(两个半球体体积的差)所求立体的质心为11.利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度r=1):z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解由空间物体质心公式，利用直角坐标计算即可所以立体的重心为12.利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度r=1):z2=x2+y2,z=1;解由对称性可知,重心在z轴上,故(圆锥的体积)所求立体的质心为.13.一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所围成,求物体的质心;解由对称性知14.一均匀物体(密度r为常量)占有的闭区域W由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y