专题6.3等比数列（原卷版）-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第六章数列专题6.3等比数列1.理解等比数列的概念.n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．考点一等比数列基本量的运算考点二等比数列的判定与证明考点三等比数列的性质知识梳理1．等比数列有关的概念(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即eq\f(an＋1,an)＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，即G2＝xy.2．等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3．等比数列性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝aeq\o\al(2,w)，其中m，n，w∈N+.(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(pan,qbn)))也是等比数列(b，p，q≠0)．(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)(5)若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))则等比数列{an}递增．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))则等比数列{an}递减．第一部分核心典例题型一等比数列基本量的运算1．若为实数，数列﹣1，，﹣25是等比数列，则的值为（

）A．5 B．﹣5 C． D．﹣102．已知等比数列的各项均为正数，若，，则（

）A． B． C．27 D．3．在等比数列中，，则其公比q的值为（

）A． B． C．1或 D．﹣1或4．在等比数列中，，，则（

）A．8 B．6 C．4 D．25．记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（

）A．126 B．128 C．254 D．256题型二等比数列的判定与证明满足，.给出下列四个结论：①存在，使得，，成等差数列；②存在，使得，，成等比数列；③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列；④存在正整数，且，使得.其中所有正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．数列的前n项和，则（

）A．是等差数列 B．是等差数列也是等比数列C．是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列8．已知数列的通项公式为，则数列是（

）A．以1为首项，为公比的等比数列 B．以3为首项，为公比的等比数列C．以1为首项，3为公比的等比数列 D．以3为首项，3为公比的等比数列9．已知数列的前n项和（，，q为非零常数），则数列为（）A．等差数列 B．等比数列C．既不是等差数列，也不是等比数列 D．既是等差数列，又是等比数列10．已知数列是等差数列，其前n项和为，则下列说法错误的是（

）A．数列一定是等比数列 B．数列一定是等差数列C．数列一定是等差数列 D．数列可能是常数数列题型三等比数列的性质11．已知等比数列中，，则（

）A．4 B．±4 C．8 D．±812．在各项均为正数的等比数列中，，则（

）A．有最小值12 B．有最大值12 C．有最大值6 D．有最小值613．已知数列是等差数列，是等比数列，且，，成等差数列，则（

）A． B． C．2 D．414．已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（

）A．1或 B．1或 C．2或 D．或15．已知等比数列的前n项和为，且，若，，则（

）A．90 B．135 C．150 D．180第二部分课堂达标一、单选题1．在等比数列中，，，则首项等于（

）A．2 B．1 C． D．2．设是等比数列，且，，则（

）A．24 B．36 C．48 D．643．设为公比为的等比数列的前项和，且，则（

）A． B．2 C．或 D．或24．已知等比数列的公比为2，前项和为.若，则（

）A．4 B．8 C．16 D．325．设为等比数列的前项和，且，则（

）A． B． C．或 D．或6．设为等比数列的前项和，且，则（

）A． B． C．或 D．或7．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A．8 B．9 C．16 D．178．已知等比数列的前n项和为．若，则等于（

）A． B．C． D．二、多选题9．在数列中，，，，则（

）A． B．C． D．10．已知为各项为正数的等比数列，，.记是数列的前项和，是数列的前项和，则下列说法正确的是（

）A．数列的公比为2 B．C．数列为等差数列 D．数列的前项和为三、填空题11．在数列中，，若成等差数列，成等比数列，则.12．已知数列满足以下规律：，，，，，，…，，…，，，，…，，…，数列的前n项和为，则．四、解答题13．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，试求的公比．14．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，(1)若，求数列的通项公式；(2)若