辽宁省沈阳市皇姑区重点达标名校2024年中考四模数学试题含解析

辽宁省沈阳市皇姑区重点达标名校2024年中考四模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x≠0 D．x≠12．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数45678人数36542每天加工零件数的中位数和众数为()A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，63．函数中，x的取值范围是（）A．x≠0 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≠﹣24．如图，l1、l2、l3两两相交于A、B、C三点，它们与y轴正半轴分别交于点D、E、F，若A、B、C三点的横坐标分别为1、2、3，且OD=DE=1，则下列结论正确的个数是（）①，②S△ABC=1，③OF=5，④点B的坐标为（2，2.5）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C． D．6．若不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m≤2 B．m≥2 C．m＜2 D．m＞27．计算36÷（﹣6）的结果等于（）A．﹣6 B．﹣9 C．﹣30 D．68．已知x2+mx+25是完全平方式，则m的值为（）A．10 B．±10 C．20 D．±209．如图，在中，、分别为、边上的点，，与相交于点，则下列结论一定正确的是()A． B．C． D．10．下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．分解因式：4a3b﹣ab＝_____．12．关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则x2+bx+c分解因式的结果为_____．13．因式分解：（a+1）（a﹣1）﹣2a+2＝_____．14．有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________．15．某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%,若该书的进价为21元,则标价为___________元.16．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线L的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是_____．17．将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数表达式为_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）丁老师为了解所任教的两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个班的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①A、B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如下（数据分成5组：x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）：②A、B两班学生测试成绩在80≤x<90这一组的数据如下：A班：80808283858586878787888989B班：80808181828283848485858686868787878787888889③A、B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如下：平均数中位数方差A班80.6m96.9B班80.8n153.3根据以上信息，回答下列问题：补全数学成绩频数分布直方图；写出表中m、n的值；请你对比分析A、B两班学生的数学学习情况（至少从两个不同的角度分析）．19．（5分）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；…请解答下列问题：按以上规律列出第5个等式：a5==；用含有n的代数式表示第n个等式：an==（n为正整数）；求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．20．（8分）已知关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1．（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=2x2，求m的值．21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，线段BC与抛物线的对称轴交于点E、P为线段BC上的一点（不与点B、C重合），过点P作PF∥y轴交抛物线于点F，连结DF．设点P的横坐标为m．（1）求此抛物线所对应的函数表达式．（2）求PF的长度，用含m的代数式表示．（3）当四边形PEDF为平行四边形时，求m的值．22．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．23．（12分）先化简再求值：÷（a﹣），其中a＝2cos30°+1，b＝tan45°．24．（14分）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解析】试题解析：由题意可知：x-1≠0，

x≠1

故选D.2、A【解析】

根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．3、B【解析】要使有意义，所以x+1≥0且x+1≠0，

解得x＞-1．

故选B.4、C【解析】

①如图，由平行线等分线段定理（或分线段成比例定理）易得：；②设过点B且与y轴平行的直线交AC于点G，则S△ABC=S△AGB+S△BCG，易得：S△AED＝，△AED∽△AGB且相似比=1，所以，△AED≌△AGB，所以，S△AGB＝，又易得G为AC中点，所以，S△AGB=S△BGC=，从而得结论；③易知，BG=DE=1，又△BGC∽△FEC，列比例式可得结论；④易知，点B的位置会随着点A在直线x=1上的位置变化而相应的发生变化，所以④错误．【详解】解：①如图，∵OE∥AA'∥CC'，且OA'=1，OC'=1，∴，故①正确；②设过点B且与y轴平行的直线交AC于点G（如图），则S△ABC=S△AGB+S△BCG，∵DE=1，OA'=1，∴S△AED=×1×1=，∵OE∥AA'∥GB'，OA'=A'B'，∴AE=AG，∴△AED∽△AGB且相似比=1，∴△AED≌△AGB，∴S△ABG=，同理得：G为AC中点，∴S△ABG=S△BCG=，∴S△ABC=1，故②正确；③由②知：△AED≌△AGB，∴BG=DE=1，∵BG∥EF，∴△BGC∽△FEC，∴，∴EF=1．即OF=5，故③正确；④易知，点B的位置会随着点A在直线x=1上的位置变化而相应的发生变化，故④错误；故选C．【点睛】本题考查了图形与坐标的性质、三角形的面积求法、相似三角形的性质和判定、平行线等分线段定理、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．考查学生数形结合的数学思想方法．5、A【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A．考点：正多边形和圆．6、A【解析】

先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m的取值范围．【详解】由①得，x＜m，由②得，x＞1，又因为不等式组无解，所以m≤1．故选A．【点睛】此题的实质是考查不等式组的求法，求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．7、A【解析】分析：根据有理数的除法法则计算可得．详解：31÷（﹣1）=﹣（31÷1）=﹣1．故选A．点睛：本题主要考查了有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．2除以任何一个不等于2的数，都得2．8、B【解析】

根据完全平方式的特点求解：a2±2ab+b2.【详解】∵x2+mx+25是完全平方式，∴m=±10，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式:a2±2ab+b2,其特点是首平方，尾平方，首尾积的两倍在中央，这里首末两项是x和1的平方，那么中间项为加上或减去x和1的乘积的2倍．9、A【解析】

根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可.【详解】A.∵，∴，，∴，故A正确；B.∵，∴，故B不正确；C.∵，∴，故C不正确；D.∵，∴，故D不正确；故选A.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.10、C【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．故选C．【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、ab(2a+1)(2a-1)【解析】

先提取公因式再用公式法进行因式分解即可.【详解】4a3b-ab=ab(4a2-1)=ab(2a+1)(2a-1)【点睛】此题主要考查因式分解单项式，解题的关键是熟知因式分解的方法.12、(x﹣1)(x﹣2)【解析】

根据方程的两根，可以将方程化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0）的形式，对比原方程即可得到所求代数式的因式分解的结果．【详解】解：已知方程的两根为：x1＝1，x2＝2，可得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x2+bx+c＝（x﹣1）（x﹣2），故答案为：（x﹣1）（x﹣2）.【点睛】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常数），若方程的两根是x1和x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）13、（a﹣1）1．【解析】

提取公因式（a−1），进而分解因式得出答案．【详解】解：（a+1）（a﹣1）﹣1a+1＝（a+1）（a﹣1）﹣1（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1﹣1）＝（a﹣1）1．故答案为：（a﹣1）1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，找出公因式是解题关键．14、25°或40°或10°【解析】【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形，对于△ABD可能有①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°，∠C=（180°-100°）=40°，②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°，∠C=（180°-130°）=25°，③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°，∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°，∠C=（180°-160°）=10°，综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10°故答案为25°或40°或10°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．15、28【解析】设标价为x元，那么0.9x-21=21×20%，x=28.16、相离【解析】

设圆O的半径是r，根据圆的面积公式求出半径，再和点0到直线l的距离π比较即可．【详解】设圆O的半径是r，则πr2=9π，∴r=3，∵点0到直线l的距离为π，∵3＜π，即：r＜d，∴直线l与⊙O的位置关系是相离，故答案为：相离.【点睛】本题主要考查对直线与圆的位置关系的理解和掌握，解此题的关键是知道当r＜d时相离；当r=d时相切；当r＞d时相交．17、y=2x+1【解析】分析：直接根据函数图象平移的法则进行解答即可．详解：将一次函数y=2x+4的图象向下平移3个单位长度，相应的函数是y=2x+4-3=2x+1；故答案为y=2x+1．点睛：本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）见解析；（2）m=81，n=85；（3）略.【解析】

（1）先求出B班人数，根据两班人数相同可求出A班70≤x<80组的人数，补全统计图即可；（2）根据中位数的定义求解即可；（3）可以从中位数和方差的角度分析，合理即可.【详解】解：（1）A、B两班学生人数=5+2+3+22+8=40人，A班70≤x<80组的人数=40-1-7-13-9=10人，A、B两班学生数学成绩频数分布直方图如下:（2）根据中位数的定义可得：m==81，n==85；（3）从中位数的角度看，B班学生的数学成绩比A班学生的数学成绩好；从方差的角度看，A班学生的数学成绩比B班学生的数学成绩稳定.【点睛】本题考查了条形统计图、求中位数以及利用平均数、中位数、方差作决策等知识，能够从统计图中获取有用信息是解题关键.19、（1）（2）（3）【解析】

（1）（2）观察知，找等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为：序号的2倍减1和序号的2倍加1．（3）运用变化规律计算【详解】解：（1）a5=；（2）an=；（3）a1+a2+a3+a4+…+a100.20、(1)见解析；（2）m=2【解析】

（1）根据一元二次方程根的判别式进行分析解答即可；（2）用“因式分解法”解原方程，求得其两根，再结合已知条件分析解答即可.【详解】（1）∵在方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1中，△=（﹣6m）2﹣4（9m2﹣9）=26m2﹣26m2+26=26＞1．∴方程有两个不相等的实数根；（2）关于x的方程：x2﹣6mx+9m2﹣9=1可化为：[x﹣（2m+2）][x﹣（2m﹣2）]=1，解得：x=2m+2和x=2m-2，∵2m+2＞2m﹣2，x1＞x2，∴x1=2m+2，x2=2m﹣2，又∵x1=2x2，∴2m+2=2（2m﹣2）解得：m=2．【点睛】（1）熟知“一元二次方程根的判别式：在一元二次方程中，当时，原方程有两个不相等的实数根，当时，原方程有两个相等的实数根，当时，原方程没有实数根”是解答第1小题的关键；（2）能用“因式分解法”求得关于x的方程x2﹣6mx+9m2﹣9=1的两个根是解答第2小题的关键.21、（1）y=-x2+2x+1；（2）-m2+1m．（1）2.【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得答案；（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据平行于y轴的直线上两点之间的距离是较大的纵坐标减较的纵坐标，可得DE的长，根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值．【详解】解：（1）∵点A（-1，0），点B（1，0）在抛物线y=-x2+bx+c上，∴，解得，此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+1；（2）∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+1，∴C（0，1）．设BC所在的直线的函数解析式为y=kx+b，将B、C点的坐标代入函数解析式，得，解得，即BC的函数解析式为y=-x+1．由P在BC上，F在抛物线上，得P（m，-m+1），F（m，-m2+2m+1）．PF=-m2+2m+1-（-m+1）=-m2+1m．（1）如图，∵此抛物线所对应的函数表达式y=-x2+2x+1，∴D（1，4）．∵线段BC与抛物线的对称轴交于点E，当x=1时，y=-x+1=2，∴E（1，2），∴DE=4-2=2．由四边形PEDF为平行四边形，得PF=DE，即-m2+1m=2，解得m1=1，m2=2．当m=1时，线段PF与DE重合，m=1（不符合题意，舍）．当m=