全国高中数学题库-圆锥曲线

第，•幸辅圆、领曲钱与就物铁

考点综述

椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，可与代数、

三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容.纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，主

要体现出以下几个特点:1.基本问题，主要考查以下内容：①椭圆、双曲线与抛物线的两种定义、

标准方程及a&c8夕五个参数的求解，②几何性质的应用；入求动点轨迹方程或轨迹图形

（高频），此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法.3.有关

直线与它们的位置关系问题（高频），这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段

中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和"设而不求”的方法、对称的方法

及韦达定理，多以解答题的形式出现.4.求与椭圆、双曲线及抛物线有关的参数或参数范围问题

（高频），这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等

式的综合，特别值得注意的是近年出现的解析几何与平面向量结合的问题（高频）.

其实，高考数学只有35个核心考点仅有122种典型考法每种考法只需1道例题和3道练习题每

次1小时，学会必杀技确保高考120分！

考点1椭圆

典型考法1椭圆的最值问题

22

典型例题：已知椭圆二+二=1,常数机、n&R+,且”>〃.（1）当〃2=25,〃=21时，过椭圆左焦点产

mn

的直线交椭圆于点P,与y轴交于点。，若9=2而，求直线P。的斜率；（2）过原点且斜率分别为Z和-攵

尤2V2

（Z21）的两条直线与椭圆二+2-=1的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限

mn

内），试用火表示四边形ABCD的面积S,并求S的最大值.

22

解析：（1）•••/«=25,"=21.•.二+2-=1的左焦点为尸（一2,0）,设满足题意的点为「（%,%）、Q（0，。.又

---*x=-39y4A/21

QF=2FP./.(-2,-t)=2(%+2,%)，即<°由点在椭圆上，得二+匕==1,得九=±二—，

t=-2yo25215

Kp°=K°F=；=—笫=土^^⑵Q过原点且斜率分别为人和一HO1)的直线4：y=丘，4：y=-kx

邑+匚1mn

关于龙轴和y轴对称，四边形ABC1)是矩形.设点A(z，/).联立方程组I”?n得1=——F于

,n+mk

1y=kx

口口”4e弘ec/“，24nmk、.、人4mnk4mn、口

是天是此方程的解，故S=4xy=4",~=---------(Zkf>1),O即1IS=---------彳=-------.设

°°"°n+mk2n+mk?.

I

n

g(k)=mk+—(kNl),则g/)在U+8)上是单调函数.理由：对任意两个实数匕也£口，+8)，且自<)2,

k

nnII

g(左)-g(k2)=mki+—~(mk2+—)=m(k]-k2)+n(~——)

k[k2k]k2

=(k[-k2)—----\(占-%2)—H-----<0，即g(KAg(左2)<°・

KYK2

...g(Z)在U，+8)上是单调函数，于是g(Qmin=g(l)=〃什〃，S=:2L<3L,当且仅当％=1等号

与〃汰机+〃

k

4/72/1

成立..•.Snm=二丝.注：也可利用求导法证明g(6在[1，+8)上是单调函数.

m+n

必杀技：利用求函数最值的方法+椭圆性质解决与椭圆有关的最值问题须注意：

1.最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值.

2.最值问题的求解策略：(1)总方针：建立目标函数(或目标不等式)(2)具体方法：①转化为二次函数(或双

钩函数、三次函数等常用函数)的最值问题②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题③结合椭圆的定义，

利用图形的几何特征求最值④利用基本不等式求最值

还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多

种方法的综合运用.以下给出椭圆最值问题的几个性质，便于快速地求解决相关问题.

性质1设E，F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上任一点，则当且仅当P为椭圆短轴顶点时

/BPF2最大.

性质2设A】，Az是椭圆的长轴顶点，P为椭圆上任一点，则当且仅当P为椭圆短轴顶点时

NAiPAz最大.

性质3设E,FZ是长轴长为2a的椭圆的两个焦点，P为椭圆上任一点,M为椭圆内定点，则

PM+PF,的最大值为2a+MFz，最小值为2a-MFz.

读者自行完成上述性质的证明.这些性质均与椭圆的焦点位置无关，对任意位置的椭圆都成立，可用于求

解一些选择题和填空题.

实战演练:

fy2

1.F是椭圆=1的右焦点A(1,1)为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，则|E4|+|所|的最小值为.

2.设椭圆中心在坐标原点，A(a,0),8(0,b)是它的两个顶点，直线y=依(%>0)与46相交于点〃，与椭圆

相交于E、尸两点，若。=2,0=1.(1)己知丽=6而，求&的值；

(2)求四边形AEBF面积的最大值；

3.若椭圆片:-k+二-=1和椭圆：「r+二-=1满足二'=二=机。”>0),则称这两个椭圆相似，m

4%4a\b、

22

称为其相似比.(1)求经过点(2,、%),且与椭圆亍+'=1相似的椭圆方程；(2)设过原点的一条射线/分别与

(1)中的两个椭圆交于A、B两点(其中点A在线段0B上)，求|OA|+上的最大值和最小值；

11\OB\

2222

(3)对于真命题”过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆G：=+7^=1和C2：]+一^行=1

22

2网24(2物2

交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若|。4|、|OP|、|。叫成等差数列，则点P的轨迹方程为

斗+=1”.请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明.

2

3,3以2

2

参考答案：1.4-垂.2.(1)%=2或攵=3.(2)272.提示：设点E,尸到AB的距离分别为4,h2,

38

故AEB尸的面积为S=；|AB|(4+4)=2^^^^W2J5,易得当后=；时，S取最大值2挺.

注：通过对(2)的求解，我们进一步探究还可以得到关于椭圆所对应的四边形/面积的若干结论.

22

结论一：已知A(a,0),8(0,b)是椭圆与+2=1(。>。>0)的两个顶点，直线尸依仗>0)与相交

a~b

于点〃，与椭圆相交于E、E两点，则四边形AEB尸面积的最大值为0a人

22

结论二：以椭圆5+3=l(a>b>0)的一条定弦AB为对角线的椭圆内接四边形AEBF面积取最大值

ab

时，另一条对角线£尸必过原点与A3的中点。.

x2y2

推论1：若以4伙HO)为斜率的直线与椭圆/十万=1(。＞。＞0)相切，则两切点的连线必过原点，且其斜率

攵o满足：k0-k=--.

a

推论2：以攵伏。0)为斜率的椭圆二+与=1伍＞人＞0)两切线间的距离为引里士口(如图8-1-8).

a-b-Jl+%2

推论3：若。是椭圆=+与=l(a＞b＞0)不过原点。且不垂直于对称轴的弦AB上一点，则点D是弦AB中

CTb-

点的充要条件是攵8/.二一4•

a

结论三：椭圆「+写=1仅＞方＞0)内接四边形AE3F面积的最大值为2必.

ab

X2y2

结论四：后尸是椭圆=+==1(。＞匕＞0)的过原点的一条定弦，A8是椭圆的过弦E/上定点0(%,%)的

ab

动弦，则当弦A8被点。平分时，椭圆内接四边形AEBF面积取最大值的充要条件是：4+4^[°'-]

a2b22

3.(1)二+汇=1(2)①当射线与y轴重合时，|。4|+」=行+」产=辿.②当射线不与坐标轴重合

16811\0B\2V24

时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形.设其方程为y=(A:＞0,x＞0),设A(X”H),

B(x2,y2),由‘V、2解得|0川=坐上,同理可得|0网=4,父+1,令+1则由

v+v=1Jl+2%2g2k2g2k2

4I正知、回＜r＜2,于是|。4|+赢=,+，在(、22]上是增函数，.・.：五＜|。4|+赢《；,

由①②知，|。4|+占的最大值为2,|。山+占的最小值为2.

।1\OB\411\OB\4

(3)该题的答案不唯一，现给出其中的两个.

2222

命题：过原点的一条射线分别与双曲线a：A-与•=1和。2：/7一一J=1(机〉o)交于A、B两点,

a'b2(ma)-("⑼

x2y2

P为线段AB上的一点，若|。4|、|0P]、|0可成等差数列，则点P的轨迹方程为——=1.

1+m、l+m

2zb¥

22

证明：射线/与双曲线有交点，不妨设其斜率为女，显然网＜2.设射线/的方程为＞=依，设点A（F，M）、

y=kxaby=Qc

例々，为）、（，）由（2得项=『=।22加mab.

Pxyx?y由＜________y___=1得々=/.,由

[靛一记=1J/"/(ma)2(mb)2\b—ak

ab(\4-m)

*_内x-/=2

+42即＜2y]b2-a2k~y

P点在射线/上，且2\0P\=|0A|+\0B\得＜一2=1.

y=kxk=y

X

命题：过原点的一条射线分别与两条抛物线G：V=2px（p＞0）和G：产=2mpx（加＞0）相交于异

于原点的A、B两点,P为线段AB上的一点，若、|。",\OB\成等差数列，则点P的轨迹方程为/=（1+m）px.

（证略）.

典型考法2与椭圆有关的定点与定值问题

典型例题：已知椭圆0+[=1（。＞。＞0）的左右焦点分别为月，居，短轴两个端点为A,8,且四边形

ab

%A与8是边长为2的正方形.（1）求椭圆方程；（2）若C,。分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足

MDLCD,连接CM,交椭圆于点P.证明：丽•所为定值；（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存

在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线£＞P,MQ的交点，若存在，求出点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

22

解析：（1）。=28=。,。2=/；2+©2,.•.从=2,.•.椭圆方程为二+2-=1.（2）。（一2,0）,0（2,0）,设

42

M(2,y0),P(X1,y),则。＞=(x”y),向=(2,九).直线CM：三2=2二&,即^=粤彳+\凡，代

4yo42

入椭圆八2丁=4得（1++；曲+"一4=。「』（-2）=畸4.寸-甘

4(北-8)18)：_4%+32

金焉，加-黄，用・•丽研-4（定值）.（3）

y；+8＞；+8＞0+8

设存在。（〃2,0）满足条件，则MQ1DP.MQ=（m-2,-y0）,DP=（—半二，半」），则由凝•万h=0

'''¥+8/+8'

得一学一（机一2）一学」=0,从而得加=0..•.存在。（0,0）满足条件.

才+8＞；+8

必杀技：遵循"一选、二求、三定点”的原则：一般地，解决动曲线（包括动直线）过定点的问题，其解题步

骤可归纳为：一选、二求、三定点.具体操作程序为：“一选”：选择参变量.需要证明过定点的动曲线往往随

某一个量的变化而变化，可选择这个量为参变量（当动直线涉及的量较多时，也可选取多个参变量）.“二求”:

求出动曲线的方程.求出只含上述参变量的动曲线方程，并由其它辅助条件减少参变量的个数，最终使动曲线

方程的系数中只含有一个参变量.“三定点”：求出定点的坐标.不妨设动曲线方程中所含的参变量为2,把曲

.f（x»y）=0

线方程写成形如/（力丁）+/^（力①=0的形式，然后解关于，丁的方程组1，'-得到定点的坐标.

g（x,y）=O

实战演练

1.已知椭圆C经过点A（l3,：）,两个焦点为（—1,0）,（1,0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的

两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

2.设椭圆C：三+卓=1（。＞。＞。）过点M（0，1），且左焦点为£（一五，0）（1）求椭圆。的方程;

（2）当过点P（4,l）的动直线/与椭圆C相交于两不同点A,8时，在线段AB上取点Q,满足

|丽,2同=|而,而'证明：点Q总在某定直线上.

3.若椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点（2,0）到左焦点距离为3.

（1）求椭圆。的标准方程.（2）若直线/：丫=依+加与椭圆C相交于A,8两点（A,B不是左、右顶点）,

且以A3为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.

（3）将（2）推广到一般情形，使得（2）为其特例，并给出解答过程.

fy23X2V2

参考答案：I.（1）上+21=1.⑵设直线AE：y=Z（x-l）+L代入上+21=1得

43243

（3+422）》2+4灯3—2»x+4（3—左）2-12=0,设夙4，人）,/（与，力），易得=）*一"=1（定值）•

2XF~XE

注：本题可推广为（证明略）：

命题1已知人工。,’0）。。中0）是椭圆与+《=1上的一点，过点P作斜率互为相反数的两条直线，分别

ao

交椭圆于A,B两点，则直线AB的斜率为定值萼.

Q?o

22

命题2已知P是椭圆会+方=1上的任意一点（异于长轴端点），PA,PB和PC分别是椭圆的两条割线

和切线.若割线PA,PB的斜率互为相反数,则切线PC的斜率与割线AB的斜率也互为相反数.

命题3已知尸（死，“）（夕0片0）是双曲线£一£=1上的一点，过点P作斜率互为相反数的两条直线，

分别交双曲线于A,B两点，则直线AB的斜率为定值一萼.

aVo

命题4已知PCr。，?。〉^。W0）是抛物线y=2拉（/>0）上的定点，过点P作斜率互为相

反数的两条直线，分别交抛物线于A,B两点，则直线AB的斜率为定值一2.

y<>

2y2

2.（1）—X+^-=1.（2）提示：利用线段的定比分点，关注4.

42

设点Q、A、B的坐标分别为（工，“、（皿,》1）、（了2,5»2），

由题可知：|酢1,1屈I"旗IJ旗I均不为零，记/=摆=阍|,

则>0且;IWL又A、P、B、Q四点共线，故蓊=-XPB,芭=入旗,

于是，八门，…黄，，=转户黄，从而,

年誓=4工①才-学=»②又点A、B在椭圆C上,即呼4®

1-A21-A2）I於+2立=4④

①+2X②并结合③④得：4工+2、=4,即点Q（工,y）总在定直线2工+、-2=0上-

注：（一）本题的证明还有其它方法，这里从略.

（二）对于本题，我们还可将第（2）题的结论推广到一般椭圆，具体为：

22

命题一：设椭圆C「+当=l（a>〃>0）,过椭圆外一点P（加，〃）的动直线/与椭圆C相交于两不同点AB,

ab

在线段AB上取点Q,满足网口诙卜屈口国，则点。在定直线加x+〃/y—/〃为上.

我们可将命题一推广到其它的圆锥曲线，具体为：

命题二：设圆Gx2+y2=r2（r>0）,过圆外一点P（〃z,〃）的动直线/与圆。相交于两不同点A,3,在线段

A3上取点Q,满足|而°诙|=|而°而则点Q在定直线/nx+0——=0上.

22

命题三：设双曲线。：三一与=1伍>0,h>0）,过双曲线外一点P（机，〃）的动直线,与双曲线。相交于两

ab

不同点A,8,在线段AB上取点Q,满足网L|丽=|闷回卜则点。在定直线”仍2九一〃人一片从功上.

命题四：设抛物线。：尸=20M0>0）,过抛物线外一点P。%〃）的动直线/与抛物线C相交于两不同点

A,B,在线段AB上取点Q,满足|丽4=|而卜忸回，则点Q在定直线px-町+p相=0上.

以上命题的证明从略.

3.⑴?+事=1.⑵直线/过定点，定点坐标为停°）⑶⑵的推广（一）：过椭圆鼻+六=1伍>。>0）

上的右顶点M（a,0）作两直线AM与交椭圆于A、B两点,当时，直线AB恒过定点

x=ty+p

“2

父V得

二---tz,0).提示：可设直线AB：x="+p且A(M,乂)、B(X2,y2),由《

a+力L瓦一1

2mb2

y+%

/+*产---►

2222222&十",，由已知得A"-3M=0,即

(a+ht)y+2Ptay+b\p-a)=0,则<

b2(p2-a2)

必.必=

a2+b2t2

(%-a)(x「a)+M%=。n"加犷…^P=^a=>直线

4n—/?2..Cl—b^八、

AB：x=ty+----•”恒过定点(F-----7，。，。)•

a+ba

22

(2)的推广(二)：过椭圆5+3=1(。＞°)上的任意定点M(x。，%)作两直线AM与8M交椭圆于A、

a2-h2a2-h2、

B两点,当AM_L8M时，直线AB恒过定点(二~x

a+b70

典型考法3椭圆与直线

典型例题

已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴，焦点耳，F2

轴上，长轴的长与焦距之比为2：1.(如图8-1-1)

(1)求椭圆£的方程；

(2)求ZF}AF2的角平分线所在直线1的方程；

(3)在椭圆E上是否存在关于直线/对称的相异两点？若存

请找出；若不存在，说明理由.

22

解析(1)设椭圆E的方程为0+与=1,由已知得@=2,a=2c,故〃=/_。2=3,2,从而椭圆方

ab-c

v-2213v-22

程为—+与v=1,将A(2,3)代入上式，得4+三=1,解得c=2,.•.椭圆E的方程为二+幺v=1.

4c23c2c2c21612

(2)方法一:

由(1)知K(-2,0),尸2(2,0),所以

直线g的方程为:尸］(32),即3A纣+6=0,

直线4尸2的方程为：%=2.

由点，4在椭圆E上的位置知，直线I的斜率为正数.

设P(孙y)为/上任一点，则

I3x-4y+6l...

-----y---=lx-21.

若3x-4y+6=5工-10,得*+2广8=0(因其斜率为负，舍去).

所以直线I的方程为：2%-广1=0.

注方法一的主要解题依据是:角平分线上的点到角两边所在直线的距离相等.

方法二：

•••4(2,3)阳(-2,0),尸2(2,0),甫=(-4,-3),沉=(0,-3).

=春(-4,-3)+。(0,-3)=-*(1,2).

53

\AF\\\AF2\5

：.kx=2,.\Z：y--3=2(x-2),2x-y-l=0.

AFk

注了士+尸、表示的向量与乙尸小尸2的角平分线蛤灯因此可以作为角平分线所在直线的方向向量.

\AF2\

方法三：

设角平分线与X轴交于。(*0),易知-2。＜2,由角平分线性质有毒鼻=*|j,

搭=声匕解之工=:,心=工？'=2,直线4C的方程为y-3=2(%-2),即尸2%-1.

32-x2-1

2~2~

注方法三主要用到角平分线的性质用三角形面积等容易证明,请读者尝试.

方法四：

过c（x,o）作CAUK交月居于乩则由

角平分线性质知CH=CF2

S^C4K二y\cFr\\AF2\=~\AFl\\CH\

414Klic尸21,

-^-x（x+2）x3=-^-x5（2-x）.

解之下同方法三.

注方法四巧妙运用“计算两次”的技巧，对三角形面积计算两次，并在计算过程中运用角平分线性质对高

进行转化.

方法五：

设角平分线与X轴交于C（%,0）,易知

-2。<2,易知直线力工的方程为3%-4y+6=0.

而由角平分线性质有d=CH=CF2,

即d=g^^=2r;,解之％=-，下同方法三

注方法四和方法五的主要解题依据相同，但细节处理略有差别・

方法六：

易知K（-2,0）关于角平分线的对称点D

在直线4瓦，即卢=2上

可设D（2㈤，则FW的中点（0与在角平分线

（记为40上，

3--

,t-0_i>____2_6-t

k^=2-（-2）=T，AC=2-0~~4~'

又因为和口•4c=T，

4••竽=-1,解之t=-2或£=8（舍）（注意:“>

44

0）,以下从略.

注方法六从一个新的角度运用了角平分线的性

质,角所在直线关于角平分线所在直线对称♦

方法七:

易知K（-2,0）关于角平分线的对称点D

在直线AK，即,4=2上，

可设。（2,。，则入。的中点在角平分

线（记为4C）上，

.f-0t

•••坛产丈药=不

又因为人人。•k《c=-1,

4c=‘"，直线”C的方程为y=~~~x+^~-

又•.Y（2,3）在直线4c上，

/.3=-—-2+彳•，解之力=-2或£=8（舍）（注意出c

t，

>0）,以下从略.

注方法七和方法六的主要解题依据相同,但细节

处理略有差异.

方法八：

设角平分线（记为AC）的斜率为k,易知k>0

贝］tanZ.G4F2=tan^y-Z.ACF2j=/

ih-Ti

由夹角公式4=J4.-,解之及=2或2=-右

（舍），以下从略.

注设两直线的斜率分别为自，心，且自•自关T,

k-k

两直线的夹角为仇则tan”{2

1+4]•k2

（3）方法一:

假设存在这样的两个不同的点3（%,九）和C（x2,y2）,

'/BC±Z,k=%-%1

BC42fl2

加+出力+力

BC的中点”（比，），二

0%&2>/0=-2-^»

由于M在，上,故2%-%-1=0.①

222

又B,C在椭圆上，所以有会卷=1与段+*=L

10121O12

2222

两式相减,得今看/当于二。，

口式与+3）（&-巧）（力+力）（%一九）

即-16-------+----------12--------=0.

将该式写为9空+汉•小•空町

8242Tl62

并将直线BC的斜率怎c和线段BC的中点,表示代

入该表达式中，

得-捍o=0,即3%-2yo=0.②

①x2-②得g=2,%=3,即BC的中点为点4,而这

是不可能的.

/.不存在满足题设条件的点8和C.

注与弦中点有关的问题，通常可以考虑“点差法”.

方法二：

假设存在B（x,,7l）,C（x2，力）两点关于直

线Z对称，则以%=-/

设直线BC的方程为“-枭+必将其代入椭圆方

程,+台=1,得一元二次方程3/+4（-会+翦=48,

即x2~mx+m2-12=0,

则孙与去是该方程的两个根，

由韦达定理得々+x2=m,

于是Yj+y2=_y（xl+x2）+2m=^.

8C的中点坐标为停咨）•

又线段8C的中点在直线y=2%-l上，

/.——=7H—1，得01=4.

4

即SC的中点坐标为（2,3）,与点A重合，矛盾•

不存在满足题设条件的相异两点•

方法三：同上，一方面，因为BC的中点坐标为（彳，彳），且该中点在椭圆的内部，所以，有

停了（―）22

-1—--<1,解得m2<16（X）.另一方面，的中点在直线y=2x—l上，所以一〔=2•彳—1,

161242

解得〃?=4,这与（X）矛盾.所以不存在满足题设条件的相异两点.

注：存在性问题的一般经解决思路是先假设满足条件的数学对象存在，然后通过数学“操作”肯定或否定

假设.

必杀技：综合运用基础知识与基本方法

本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的方程以及点关于直线的对称等基础知

识；并以对这些基础知识的考查为依托，考查了考生对解析几何的基本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、

探究意识与创新意识.本题的探索思路宽，且解法多种多样，

数学解题的根本目的在于巩固解题者的

数学知识，提升其数学能力.在解决问题时应将题目中

的题设、结论与已经学过的相关知识点予以整合，让知

识成网络，方法成体系，才能源源不断地开发出解题智

慧.通过解题学解题的根本要义就是把一道道题目当成

研究对象，而解题的过程就是对其进行全方位、多角度

的研究的过程.

本题可推广为：

22>2

已知椭圆E*+3=1（。>6>0），点«为，焦点

为K（一%0）,F2（C,O），则—的角平分线所在直

线方程为『%-叼"3=0,且在椭圆E上不存在关于该直

线对称的相异两点.（由此可见本例研究的情形具有一

般性）

对于本题的（3）还可推广为：

设椭圆r：。+卷=1(a>6>0)，直线l：y=kx+

ab

加(狂0)，则椭圆「上存在不同的两点8(9，力),

C(犯，力)关于直线I对称的充分必要条件是

(,a-b2)I加(a2-62)出

----------—<-——.

dd+廿I)2[^+必力

注：以上的证明均可仿照本题的求解方法，读者可自行完成，这里不再赘述.

实战演练

1.已知椭圆工+乙=1,直线/：—+-=1.P是/上点，射线。尸交椭圆于点R,又点。在OP上且

2416128

满足100Hop|=|。衣「，当点P在/上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

2.已知7=(1,0),"=(0,、/5),若过定点4(0,血)、以7—R)为法向量的直线4与过点B(0,—正)以

c+Xi为法向量的直线4相交于动点P.

(1)求直线4和4的方程；

(2)求直线/,和i2的斜率之积k七的值，并证明必存在两个定点E,b，使得|A目+1A可恒为定值；

(3)在(2)的条件下，若M,N是/:x=2近上的两个动点，且丽・丽=0,试问当|MN|取最小值时，

向量前+丽与方是否平行，并说明理由.

22

3.已知椭圆C：下泊叱"°)的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+6和2-6

(1)求椭圆的方程；

(2)设过定点M(0,2)的直线/与椭圆C交于不同的两点A、B,且NAOB

为锐角(其中0为坐标原点)，求直线/的斜率出的取值范围.

2?

⑶如图8-1-2,过原点0任意作两条互相垂直的直线与椭圆靛+5一1

(a>。>O)相交于P,S,R,Q四点，设原点0到四边形PQSR一边的距离为d,

试求d=l时”，人满足的条件.图8-1-2

参考答案：

L(1)2Jy-1)2

=1(Y+VHO),其轨迹是以(I,1)为中心,

55

23

长、短半轴分别为巫和垣且长轴与x轴平行的椭圆，且去掉坐标原点.

23

22

提不：(如图8-1-3)由已知得&+&=红+"(X)设

2416128

OP竺=-2S",利用已知条件可得加=翳国,便有号=晨,

Q(x，y).•

\OP\|OR|\OQ\\OQ\2

I函2|西%=理^》,将它们代入(X),得工+亡=

yP=—s,y»向理，xR=—•x,---F—，显然X与

|0。『\OQ\■K\IOOQOI\2416128

y均不为零.

2.(1)/|：x—'JT.A