初二秋季同步讲义设计-学生版

平方根和开平方（基础）

【学习目标】

1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方

根.

【要点梳理】

要点一、平方根和算术平方根的概念

1.平方根的定义

如果f=a,那么x叫做。的平方根.求一个数。的平方根的运算，叫做开平方.。叫

做被开方数.平方与开平方互为逆运算.

2.算术平方根的定义

正数。的两个平方根可以用"±8"表示，其中&表示。的正平方根（又叫算术平

方根），读作“根号。”；表示。的负平方根，读作“负根号。.

要点诠释：当式子&有意义时，。一定表示一个非负数，即a20.

要点二、平方根和算术平方根的区别与联系

1.区别：（1）定义不同；（2）结果不同：土和

2.联系：（1）平方根包含算术平方根：

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0.

要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方

根；负数没有平方根.

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的

另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

要点三、平方根的性质

a。>0

=|a|=<0a=0

-aa<0

（6）=a>0）

要点四、平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位,它的算术平方根的小数点就相应地向右或者

向左移动1位.例如：762500=250,7625=25,J港=2.5,700625=0.25.

【典型例题】

类型一、平方根和算术平方根的概念

“1、下列说法错误的是（）

A.5是25的算术平方根B.1是1的一个平方根

C.（-4）2的平方根是一4D.0的平方根与算术平方根都是0

举一反三：

【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：

（1）—9没有平方根.（）

（2）Vj~6=±4.（）

11

（3）（一记了9的平方根是土布.（）

（4）是之的算术平方根.（）

525

▼2、填空：

（1）-4•是的负平方根.

（2）J］表示的算术平方根，=.

（3）后的算术平方根为.

（4）若J7=3,则》=,若=3,则^=.

举一反三：

【变式1】下列说法中正确的有（）：

①3是9的平方根.②9的平方根是3.

③4是8的正的平方根.④-8是64的负的平方根.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2】（2015•凉山州）aI的平方根是.

V3、（2016•古冶区二模）如果一个正数的平方根为2a+l和3a-ll,则a=（）

A.±1B.1C.2D.9

举一反三：

【变式】代数式y=77^3有意义，则x的取值范围是

类型二、利用平方根解方程

“4、(2015春•鄂州校级期中)求下列各式中的x值,

(1)169X2=144

(2)(x-2)2-36=0.

类型三、平方根的应用

5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米.求

长和宽各是多少米？

立方根

【学习目标】

1.了解立方根的含义；

2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

【要点梳理】

要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做。的立方根或三次方根.这就是说，如果

x3=a,那么x叫做”的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

要点诠释：一个数。的立方根，用而表示，其中a是被开方数，3是根指数.开立方

和立方互为逆运算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个

非零数的符号相同.两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

y/-a=-y[a

=a

要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左

移动]位.例如，70.000216=0.06,^0.216=0.6,^216=6,第216000=60.

【典型例题】

类型一、立方根的概念

31、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（）

A.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0

B.一个数的立方根不是正数就是负数

C.负数没有立方根

D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0

举一反三：

【变式】下列结论正确的是（）

A.64的立方根是±4B.是一1的立方根

26

C.立方根等于本身的数只有0和1D.在方=一历

类型二、立方根的计算

(2)V11X43+52

(4)^27+7(-3)2—\/-1

(5)—游可一同+卜1严

举一反三：

【变式】计算：⑴1―0.008=_____；(2)J1—=

V64

类型三、利用立方根解方程

3、(2015春•北京校级期中)(x-2)3=-125.

举一反三：

【变式】求出下列各式中的a：

(1)若a?=0.343,则。=；(2)若3=213,则4=；

(3)若/+125=0,贝ija=；(4)若(4-1丫=8,贝ija=.

类型四、立方根实际应用

▼4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱

体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64c7小，小明又将铁块从水中提

起，量得烧杯中的水位下降了包■.请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是

9乃

多少？

举一反三：

【变式】将棱长分别为ac活和儿幽的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个

大正方体的棱长为CM.(不计损耗)

无理数与实数（基础）

【学习目标】

1.了解无理数和实数的意义；

2.了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用.

【要点梳理】

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环,

不能表示成分数的形式.

（2）常见的无理数有三种形式：①含”类.②看似循环而实质不循环的数,

!10：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽,

如下.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集一一实数集，实数集

通常用字母R表示.

1.实数的分类

按定义分：

'正有理数'

有理数零有限小数或无限循环小数

实数,［负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

按与0的大小关系分：

［丁物/正有理数

正数V

I正无理数

实数＜0

（负有理数

［负无理数

2.实数与数轴上的点——对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之

对应.

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0,负实数小于0,两个负数，绝对值大的反而小.

要点四、实数的运算

有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.

当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、

乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行

实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

【典型例题】

类型一、实数概念

1、指出下列各数中的有理数和无理数：

£—,兀,_也,疯莎0,1->/2,5技0.1010010001

73

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

常见的无理数有三种形式:①含71类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001

③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5番，啊,五，1一五.

举一反三：

【变式】下列说法错误的是（）

①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数；

③带根号的数一定是无理数：④不带根号的数一定是有理数.

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

类型二、实数大小的比较

2、（2014秋•新华区校级期中）比较迫。和1的大小.

2

【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出依-1的取值范围是解题关键.

举一反三：

【变式】比较大小

314

-"---"一百I2币—3屈2-3_。

-3-y/16I-4上|__-（-7）

3、（2016♦通州区二模）如图，数轴上的A,B,C,D四点中，与表示数的点数

接近的点是（）

ABCD

•・；---!---1---«二•

-2-10123456

A,点AB.点BC.点CD.点D

类型三、实数的运算

4、化简：

⑴|我一1.4|(2)|J7—4||(3)|1-^|+|A/2-^|+|^-2|

举一反三：

【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（-2）2+|盛-1|-晒.

5、若|a—21+J/?—3+(C—4)2=0,则a—Z?+c=.

【总结升华】初中阶段所学的非负数有I。I,a2,^,非负数的和为0,只能每个非负数

分别为0.

举一反三：

【变式】已知（x+16）2+|y+3|+JT3=0,求J它的值.

二次根式一知识讲解（基础）

【学习目标】

1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.

2、理解并掌握下列结论：6》0,（。20）,（加/=4（a>0）,白7=a（a20）,

并利用它们进行计算和化简.

【要点梳理】

要点一、二次根式的概念

一般地，我们把形如/（a20）•的式子叫做二次根式，“、/■”称为二次根号.

要点诠释：

“二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

要点二、二次根式的性质

1.Ja20，》0）;

2

2.(a20)；

3=|a|=f（吟°）.

3<0）

4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即J拓』M（a》o,bNO）.

5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，

即jt=坐（或“与=”+扬）（。一°’.

要点诠释：

（1）二次根式点（a20）的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即a=（^/^"）2（420）.

（2）而与（、7）2要注意区别与联系：

①。的取值范围不同，（JI）?中a》o,中。为任意值。

②时，（J3）2=J/=a；a<0时，（JZ）?无意义，J户=一。.

要点三、最简二次根式

（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；

（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：

（1）被开放数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念

0i.当x为实数时，下列各式G',^/^T,洞,^/7,,五,士，

斤5属二次根式的有一个.

【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“J-"；第二，被开方数是

正数或0.

举一反三：

【变式】下列式子中二次根式的个数有（）.

(l)Jg；(2)Q；(3)_&+1；(4)唬;(5)

；（6）Vi=7（尤>1）

A.2B.3C.4D.5

C>2.x取何值时，下列函数在实数范围内有意义？

(1)y=Jx-l；(2)y=Jx+2—j3-2x；

举一反三：

【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（）.

A."B.卜.3）2c./D.&

类型二、二次根式的性质

计算下列各式:

⑴—2x⑵J(3.14--)2

举一反三:

【变式】（1）（一2'|）2=

(2)|<7—2|—(A/2-^Z)2=

▼4.（2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简:

7（a+l）2+2^/（b-1）2-la-bl-

-5-4-3-2-1012345

举一反三:

,口2

【变式】若整数满足条件JO+1）2m+1,且加〈存，则加的值是

类型三、最简二次根式

C5.（2016•滩溪县校级月考）下列根式

J4a2+13，QSx+9,-2再，二，y>

“7?，余中，最简二次根式共有.个.

举一反三：

【变式】（2015•东莞二模）下列各式中，是最简二次根式的是（）

A.出B.y/OAC.y/15D.2V12

二次根式的乘除运算一知识讲解(基础)

【学习目标】

1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运

算.

2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.

【要点梳理】

要点一、二次根式的乘法

1.乘法法则：

小小病(“2°，，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数

相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；

(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

瓜•瓜如，....M=业「％%......%(的20,a220,…％》

0).

(3)若二次根式相乘的结果能写成白a的形式，则应化简，如麻=小

要点二、二次根式的除法

1.除法法则：

奈=《(或&十扬=(。20,匕＞0),即两个二次根式相除，根指数不变，

把被开方数相除.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，«

》0,b〉0,因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，

最后结果中分母不能带根号.

要点三、分母有理化

1.分母有理化

把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.

2.有理化因式

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互

为有理化因式.有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用•&=a来确定，如：与+b与Ja+b,Na-b

与JR等分别互为有理化因式.

②两项二次根式:利用平方差公式来确定.如扬与扬，&+/与«_瓜,

小「+久万'与-久万分别互为有理化因式.

要点诠释:

分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都

乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除运算

.⑴石X万；(2)X«;⑶曾;

举一反三：

【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正:

(1)J(-4)x(-9)=y/-4x5/-9；

⑵X而=4X义标=4X岳=4旅=8栏.

(2016春•德州校级月考)计算:

已知0<a<"化简—b忙-2a〃+J.

a-b\a'b2+«2Z?3

类型二、分母有理化

.把下列各式分母有理化:

1⑶-^―

(1)Q)—■五

V2-1V5+2

举一反三：

【变式】（2015•科左中旗校级一模）观察下列等式:

①]-心]_______=72-1

版+1（扬D（&-1）

②厂:广f厂*-*■-7=^-=73-72

V3+V2（V3+V2）（V3-V2）

③行后,厂修一淮_厂、鹏-圾

V4+V3（V4+V3）（V4~V3）

回答下列问题:

（1）化简：_1—=；（n为正整数）

Vn+1+7n

（2）利用上面所揭示的规律计算：/厂+•••+/1/------+

1+V2V2+V3V3+V4V2008+V2009

1

V2009+V2010-

二次根式的加减一知识讲解(基础)

【学习目标】

1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根

式，进行简单的二次根式加减运算；

2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.

【要点梳理】

要点一、同类二次根式

1.定义：凡个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根

式就叫做同类二次根式.

要点诠释：

(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式,

再看被开方数是否相同；

(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外

的因式无关.

2.合并同类二次根式

合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根

式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)

要点诠释：

(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；

(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.

要点二、二次根式的加减

1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简

二次根式，再把其

中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添

括号法则仍然适用.

(2)二次根式加减运算的步骤：

1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；

2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组：

3)合并同类二次根式.

要点三、二次根式的混合运算

二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.

要点诠释：

(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算

加减，有括号要先算括号里面的：

(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；

(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.

【典型例题】

类型一、同类二次根式

C1.(2016♦巴中)下列二次根式中，与我是同类二次根式的是()

A.718B.eC.V24D.VO73

举一反三：

【变式】如果两个最简二次根式%噂物+比和侬-8+6是同类二次根式，那么。％

的值是（）

A.。=2,b=lB.b=2C.=1,h=-lD.b-\

类型二、二次根式的加减运算

©K计算

（1）（2015春•建湖县期末）4^J1-V18+V8.

（2）（2015春•文安县期末）倔+唔-2*.

举一反三：

【变式】计算：（万一1）。+§尸+|5—&7卜26

类型三、二次根式的混合运算

^^3.计算：

⑴（&+应）X招；⑵（30+2扬2_（3痣一2扬2

^^^4、计算：已知a=5+=5-2#,则ab=,a+b-_______.

举一反三：

【变式】已知x=V^+&,y=后一&，求］?-孙+V的值。

《实数和二次根式》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运

算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面

上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性

及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.

6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.

7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.

【知识网络】

无理数

I-!

次

根

式

的

运

算

与

化

殖

【要点梳理】

要点一、平方根和立方根

平方根立方根

项目

被开方数非负数任意实数

符号表示±y[a\[a

一个正数有两个平方根，且互为一个正数有一个正的立方根；

相反数；一个负数有一个负的立方根；

性质

零的平方根为零；零的立方根是零；

负数没有平方根；

(y[a)2=a{a>0)(V«)3=a

重要结论0=同=卜/°)

11

[-a(a<0)N-a=-y[a

要点二、无理数与实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

'正有理数'

有理数零,有限小数或无限循环小数

实数［负有理数

无理数虐嚣｝无限不循环小数

要点诠释：(1)所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其

中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.

(2)无理数分成三类：①开方开不尽的数，如下,血等;

②有特殊意义的数，如“；

③有特定结构的数，如0.1010010001…

(3)凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形

式.

2.实数与数轴上的点——对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之

对应.

3.实数的三个非负性及性质

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们己经学习过的非负数有如下三种形式：

(1)任何一个实数。的绝对值是非负数，即Ia|>0；

(2)任何一个实数a的平方是非负数，即/》0；

(3)任何非负数的算术平方根是非负数，即620(«>0).

非负数具有以下性质：

(1)非负数有最小值零；

(2)有限个非负数之和仍是非负数；

(3)几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.

4.实数的运算

数。的相反数是一a；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相

反数；0的绝对值是0.

有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、

开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数

大；

法则2.正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反

而小；

法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

要点三、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如&(a20)的式子叫做二次根式，如6,4，8^,、历等式子，都叫做二次根式.

要点诠释：二次根式、「有意义的条件是a2(),即只有被开方数。》()时，式子而才

是二次根式，〃■才有意义.

2.二次根式的性质

(1)>0(a>0)；

(2)(点)=a(a>0)；

⑶"平|=『Q").

(a<0)

要点诠释：(1)一个非负数a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a=(8¥

(a>0),如2=(应)2;g=(J)2；x=(«)2(x>0).

(2)中a的取值范围可以是任意实数，即不论。取何值，值一定

有意义.

(3)化简时，先将它化成|a|,再根据绝对值的意义来进行化简.

(4)与(JI)2的异同

不同点：中a可以取任何实数，而(夜y中的a必须取非负数；

>(&¥=a(a>0).

相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时，"=(、石

3.最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如0,瓢,3瓜正”等都是最简

二次根式.

要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因

式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否

相同，再判断.如应与应,由于m=2拒，、历与血显然是同类二次

根式.

要点四、二次根式的运算

1.乘除法

（1）乘除法法则：

类型法贝IJ逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法\[ax4b=yfah(a>(),/?>0)

•Jab=\[ax>fh（a>0,b>0）

商的算术平方根化简公式:

4书aNO,b>Q)

二次根式的除法[a_yfa

(a>0,/?>0)

要点诠释：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如

a\[b-c4d=ac>Jbd-

（2）被开方数a、方一定是非负数（在分母上时只能为正数）.

如正4）x（-9）#Cx".

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不

变，即合并同类二次根式.

要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二

次根式，最后合并同类二次根式.如0+3挺-5夜=（1+3-5）五=-应.

【典型例题】

类型一、有关方根的问题

C1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正

数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是

1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数是1或0，其中错误的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

举一反三：

【变式】下列运算正确的是（）

A.4=±2B.6+币=小C.O=-2D.-|-2|=2

©，2、（2015春•桃园县校级期末）己知x-2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求

x'y?的平方根.

类型二、与实数有关的问题

C3、把下列各数填入相应的集合：

—1、V3n、—3.14、、V6—V2>—'0-7.

（1）有理数集合｛）；

（2）无理数集合｛｝；

（3）正实数集合｛）;

（4）负实数集合｛）.

（3）

旨+H）（»）

举一反三:

||-1-V-0.008-V0.000216

【变式】计算⑴？

（2）（_2八而存+将护x（g）2_而示

、若a<0,cib<0,化简-匕-4-x/sl—|z>—<2+V3|

举一反三：

【变式】实数a、。在数轴上所对应的点的位置如图所示：

化简正+Ia—b\=.

-------■-----------------------1-------►

a----------ob

类型三、二次根式概念与运算

6、(2016•阳泉模拟)已知5+与5-J目的小数部分分别是a和b,求(a+b)(a-b)

的值.

举一反三

C^7、化简(石+加严。.(有一0严|.

@8、已知x=上+1,求J—的值.

\l-2x+x2

举一反三

【变式】已知a+b=~3,

9,已知。、b、c为AABC的三边长，化简

J(a+♦+c)2+^(a+b-c'f+-b-c)"+-a-4。

【巩固练习】

选择题

1.下列说法正确的是（）

A.数轴上任一点表示唯一的有理数

B.数轴上任一点表示唯一的无理数

C.两个无理数之和一定是无理数

D.数轴上任意两点之间都有无数个点

2.下列说法中，正确的是（）.

A.0.4的算术平方根是0.2B.16的平方根是4

C.764的立方根是4D.（-2>的立方根是一2

3.（2015•八步区一模）下列运算正确的是（）

A.。-9)X(-4)X-9X、-4=6B-7(-3)2="3

C.(如)=3D.&+后代

4.则a的值是（

77343

A.B.

88M2

5.若式子岳二T+五二有意义，则x的取值范围是（）.

A.x>-B.x<lC.-<x<1D.以上答案都不对.

22

6.下列说法中错误的是（）

A.小中的a可以是正数、负数或零.B.石中的a不可能是负数.

C.数a的平方根有两个.D.数a的立方根有一个.

7.数轴上A,B两点表示实数a,b,则下列选择正确的是（）

A.〃+/?>()B.ab>0C.a-h>0D.|«|-|Z?|>0

BA

boa

8.（2016•河北）关于g的叙述，错误的是（）

A.后是有理数_

B.面积为12的正方形边长是5/适

C.712=273_

D.在数轴上可以找到表示仍受的点

二.填空题

9.若痴而的整数部分是a,则其小数部分用a表示为

10.当x时，Ux-2有意义.

11.（2015•庆阳）若-2xn7y2与3x"y"“n是同类项，则m-3n的立方根是.

12.已知最简二次根式倔言与一j2a-b+6是同类二次根式，则。+人的值为

13.我石的平方根是.

14.若7102.01=10.1,则±71.0201=.

15.比较大小：-V2-1,-V5%—企

2T-

16.（2016•黄冈）计算：|1-V3|-V12=.

三.解答题

17.（2015•新疆模拟）计算：（V2）2+|2-V3l.

2

18.已知:求V-x+l的值.

V3—1

19.已知：表示a、b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简|…+&+b）2

ba0

20.阅读题：阅读下面的文字，解答问题.

大家知道0是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此行的小数部分我们不可能

全部写出来，于是小明用痣-1表示值的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为血的整数部分是1,将这个数减去其整数

部分，差就是小数部分.

请解答：已知：10+石=%+>,其中x是整数，且0<y<l,求x—y的相反数.

《平面直角坐标系》全章复习与巩固(基础)知识讲解

【学习目标】

1.理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点

的位置写出它的坐标；

2.掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；

3.通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对

应关系,进而培养数形结合的数学思想.

【知识网络】

确定直线.二点的位置

一条数轴

四个象限

各象限的坐标符号

第一象限(+,+)

x轴上(x,0)第二象限(-,+)

y轴上(<b0第三象限(一,-)

第四象限(+,-)

表示地理位置

形

(1)建立直角坐标系状

(2)确定比例尺•大

小

(3)按题意确定各地位置不

(4)写出各地的坐标变

【要点梳理】

要点一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活

中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入,

可用(13,2000),(17,190),(21,330)-,表示，其中前一数表示日期，后一数表示收

入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4,5),(20,12),(13,2),…，用来

表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

要点二、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

II3,I

第二象限2-第一象限

-3-2TO123x

III~2IV

第三象限_3第四象限

要点诠释：

(1)坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、

第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点(原点)外，其他区域之间均没有

公共点.

(2)在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对(x,y)之间建立了一

一对应关系，这样就将‘形‘与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

(3)要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

①x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零.

②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等.

③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数.

④象限角平分线上的点的坐标特征：

一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数.

注：反之亦成立.

(4)理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

①坐标平面内点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|.

②x轴上两点A(xi,0)>B(X2,0)的距离为AB=|XI-x2|;

y轴上两点C(0,y。、D(0,yj的距离为CD上yi-y2|.

③平行于x轴的直线上两点A(xi,y)、B(X2,y)的距离为AB=|XI-x2|；

平行于y轴的直线上两点C(x,y)、D(x,y?)的距离为CD=|y「y?|.

(5)利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.

要点三、坐标方法的简单应用

1.用坐标表示地理位置

(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.

要点诠释：

(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点

的位置.

(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度.

2.用坐标表示平移

(1)点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x,y)向右(或左)平移a个单

位长度，可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y))；将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度，

可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).

要点诠释：

上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换.

(2)图形的平移

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应

的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或

减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.

要点诠释：

平移是图形的