高中数学必修第一册期末复习基础过关练习六函数的零点与方程的解

期末复习(六)一一函数的零点与方程的解

—.单选题

1.直线y=l与函数/(x)=f_|x|+a的图象有4个交点，则。的取值范围是()

B.(1》C.3D.U,%

A.(-oo,l)

2.今有一组实验数据如图：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,

其中最接近的一个是()

X1.993.04.05.16.12

y1.54.047.51218.01

A.y=log,tB.y=logjc-尸2D.y=2t-2

5

3.函数f(x)=(g)，+x-2的零点一定位于下列哪个区间()

A.(i1)B.(1,|)C.(|,2)D.(2,1)

4.已知函数/*)=2"+*一1,g(x)=log2x-i-x-l,/z(x)=sinx+x-1的零点依次为玉，x2,

/，则以下大小关系正确的是()

A.x{<x2<x3B.xx<x3<x2C.xi<x2<xiD.x2<x3<x]

2—|x—21,X<4

5.设函数/(x)=h，则函数版幻=#(力-4的零点的个数为()

-/(x-4),x..4

A.6B.5C.4D.3

6.已知相>0,函数f(x)=x2+x—nz,实数不，w满足X>0，W>°，若f(Xi)=0,f(a)=0,

则()

A.xl+x2<m

B.玉+占=加

C.xl+x2>m

D.%+%与加的大小关系不能确定

7.已知函数f(x)°，则方程/(/(x))—f(x)=O的根个数为()

[X--2x+l,x>0

A.1B.2C.3D.4

log(y-x),x<-\

8.已知函数，(x)=2,若函数产(x)=/(x)-A恰有3个零点，则实数4的取

|2'-l|+2,x...-l

值范围是()

B.(2,3)C.(3,4]D.(2,+co)

二.多选题

9.已知/(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，/(x)=x(l-x),若关于x的方程=〃

有5个不相等的实数根，则实数。的可能取值是()

A.—B.—C.-D.-

321684

10.已知函数/(犬)=:^,则()

|x|+l

A.y=/(x)为偶函数

B./(x)的值域是(-1,1)

C.方程/(x)+d=0只有一个实根

D.对WX|,x2eR,x2,有_"上)<0

玉-x2

，L已知函数/⑶=*+4x+3,x,0'若函数g(x)="(x)『一"(x)+〃，+l恰有8个零点,

则()

A.机的最小值为1B.机的最小值为2C.，〃的最大值为3D.机无最大值

12.已知函数=，若方程f(x)=人有四个不同的零点4，x,,与，匕，

[-8x+13,x>2

且不<々，则下列结论正确的是()

A.0<々<1B.千天(鼻+孔)为定值

C.2x,+x,>3D.占+2x?的最小值为2女

三.填空题

J

13.函数“X)=4|log05x|-l的零点个数为.

14.已知函数-若关于x的方程f(x)=a|x+l|恰有两个实数根，则实数a

的取值范围是—.

15.已知玉，尤2是函数/(x)=/—(2A+l)x+二的两个零点且一个大于1，一个小于1,则

实数上的取值范围是—.

16.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+4),/(-x)-/(x)=O且/(0)=0.当xe(0,

2]时，/(x)=—-2.则函数g(x)=/(x)-—sin(2x)在区间[-6,2]上所有的零点之和为____.

x34

四.解答题

17.已知函数f(x)=x+-^-(%eR).

x-l

(1)当m=1时,解不等式，(x)+l>/(x+l)；

(2)设X£[3,4],且函数y=/*)+3存在零点，求实数机的取值范围.

18.已知函数/(x)=l+Y—(a为常数)是奇函数.

(1)求〃的值；

(2)函数g(x)=/(x)-log2A,若函数g(x)有零点,求参数T的取值范围.

19.已知aeR,函数f(x)=log,(2+a).

X

(1)当a=5时，解不等式/(x)>0；

(2)若函数g(x)=/(x)+21og2x只有一个零点，求实数a的值.

20.已知函数g(x)=x2-2ax+l且函数y=g(x+l)是偶函数，设/(0=史上.

X

(1)求/(X)的解析式；

(2)若不等式”》)-/次.0在区间［1,2］上有解，求实数机的取值范围.

2

（3）若方程/（|2，-1|）+&-2=0有三个不同的实数根，求实数k的取值范围.

期末复习(六)一一函数的零点与方程的解答案

1.解：原问题等价于函数与函数y=l-。有4个交点，绘制函数图象如图所示,

由于函数在x处取得最小值丫加=；-3=-；,故一;<1一〃<0,解得：

故选：B.

2.解：由表中数据可知，当x>0时，y随着x的增大而增大，且不是2倍递增，故8、D

错误；

再由增加速度越来越快，可知A错误，C正确.故选：C.

3.解：函数/(x)=(g)*+x-2是连续函数，

更(八1cc1八d/31V23V2—2

f(2)=—F2—2=—>0,f(一)=-x----12=----------<0,

4422224

可得/<2)/(|)<0,由零点判断定理可知函数的零点在§，2).故选：C.

V

4.解：函数f(x)=2'+工-1,2=l-x9^(x)=log2x+x-l,log2x=l-x,

〃(x)=sinx+x-l,sinx=l—x»

在同一个直角坐标系中画出y=2"y=log2x,y=sinx,y=l-x的图象，如图：

%2=1,可得$=0,Xye(O,l),所以x1V工3<%2.故选：B.

5.解:函数〃(工)=#(幻一4的零点，即方程对'(X)-4=0的根,

A

显然0不是方程对,(X)-4=0的根，即/。)=—的根，

x

2—|x—21,x<4

由/⑺八J得

]/(x-4),x..4

当xv2时，/(x)=x,当Z,x<4时，/(x)=4-x,

作出函数y=/(x)与y=3的图象如图：

X

两函数图象在y轴左侧有1个交点，

当工£[0,4)时，两函数图象有1个交点，

当工£[4,8)时，两函数图象有2个交点，

63

14?

当£[8,12)时，两函数图象有2个交点，

2105

14?

当以12,16)时，两函数图象无交点.

4147

二.函数〃(x)=4(x)-4的零点的个数为6.

故选：A.

6.解：tn>0,函数+x-，〃，

故函数在(0,MO)上单调递增，

实数看,々满足%>0,吃>0,且/a)=o,〃「)=(),

X：+与一〃?=0,x)==x；=x2,xt+x2=x：+再，

：.xi+x2=m成立，故选：B.

7.解:当％,0时,f(x)=-2-x<0,

当x>0时，/(X)=X2-2X+1=(X-1)2..O,当且仅当X=1时/(X)=0.

由/(1)=0,/(0)=-1,知x=l不是方程/(7(x))-/(x)=0的根，

.,.当x>0且XH1时，/(X)>0.

①当用,0时，/(/(%))=-2"，由/(/(x))-/(x)=0,

得-2L=-2-、，即2-'=-x,也就是§)'=一》，此方程无解；

当x>0且x*l时，/(/(x))=[(x-l)2-l]2,由/W)f(x)=0,

得[(x-l)2-lf=(x-l)2,

当(x-l)2-l=x-l时，得f_3x+l=0,解得x=满足x>0且xrl;

2

当(X-1)2-1=1-X时，得X?-X-1=O,得x="G或x=J__近(舍).

22

方程f(/(x))-/(x)=O的根个数为3个.

故选：C.

8.解：由题意，函数/(X)大致图象如下：

依据图象，可知

当函数F(x)=f{x}-%恰有3个零点时，

即函数y=f(x)的图象与y=k的图象有3个公共点，

实数氏的取值范围为2<七,3.故选：A.

2

9.解：因为〃x)是定义域为R的奇函数，

x>0时，f(x)=x(l_x)=_(x_g)2,贝!!/(；)=(,

画出函数〃x)的图象如下:

令/⑴“耳=1

当时，由图象可得y=a与y=/⑺有一个交点，且f<-l,

4

由图象可得/(x)=f只有一个根，不满足题意，

当4时，由图象可得y=a与y=f(r)有两个不同交点，

交点的横坐标分别记作4，公贝也<T，，2=；，

则/(x)=L与〃x)=r,共有两个根，不满足题意，

31

当

,<时

4-由图象可得丁=々与丁=f⑴有三个不同的交点,

16

记作％，t2,t3,不妨令4<G<，3，

由图象可得，<—1<一,,t<—<八<1,

14223

则/*)=4与/(幻=匕各有一个根或两个根，共三个或四个根，不满足题意,

当0,,。〈士时，由图象可得y=a与y=/Q)有三个不同的交点，

16

记作《,芍，小不妨令乙<，2<4，

由图象可得，6剜-l<0t2<-<-<z3?1,

则/(%)=乙与/(x)=J以及/(x)=L共有5个根，满足题意,

根据函数图象的对称性，当4<0时，为使关于X的方程/"(X)]=4有5个不相等的实数根，

只需要一3<4<0，

16

综上，满足条件的。的取值范围是(-』，-).

1616

故选：ABC.

10.解：对于A"(-尤)=―--=----=~/(x),可得f(x)的奇函数，二A错误；

|-x|+l|x|+l

—x—(x+1)+11八

----=---------=-1d-----,X..0

对于8"鱼)==二=x+lx+ix+]，力”)的值域是(-1,1),正

X+1-x-x+1-11IC

-----=--------=1-------,x<0

T+l-X+l-X+1

确；

对于C：由f(x)+V=0,显然x=0是方程的一个实数根，当xr0时，可得一!一=-x,

|x|+l

即T|X|-X—1=0,x..O时，显然方程没有实数根，当x<0时，即d—x-l=0方程有一个

实数根，，C错误；

对于。：当X..0时，可得f(x)=—1+—]—是单调递减函数，当x<0时，可得/*)=1-——

x+11-x

是单调递减函数，所以对x,eR,玉wx,,有小)一八会)<0,二。正确；

故选：BD.

11.解：设f(x)=t,

因为g(x)有8个零点，

所以方程/(x)=f有2个不同的实数根，

结合/(x)的图象

可得『-4f+m+l=0在(0,3]内有2个不同的实数根,

即机+1=-产+4/在(0,3]内有2个不同的实数根,

则3,,/%+1v4,故2,,m<3.

故选：BD.

12.解：函数”髻.

[X-8x4-13,x>2

作出了（幻的图象，如图，

由y=上有四个不同的零点玉，x2,%3，%，

且王<工2<工3<%4，从图可知：OvZ<l.「.A正确；

由%%=1，可得玉=2,刃|5么X+2%・.2,2西9=2拒.（当且仅当玉=2/取等号），

X1<x2C,。错误；

由毛+%关于％=4对称，那么毛+工4=8，玉工2（4+/）为定值8.「.8正确；

故选：AB.

13.解：函数的零点满足|log。：x|=

则零点的个数即函数y=|k>ga5x|与y=(；),交点的个数,

绘制函数图象如图所示，

观察可得，交点个数为2,故函数零点的个数为2.

故答案为：2.

14.解：由题意可知显然x=-1不是方程的实数根,

则a=l£二七」=|(x+l)+」_一3|,

\x+l\x+1

故关于x的方程f(x)=a|x+l|恰有两个实数根，

等价于y=a与y=|U+l)+———3|的图象恰有两个不同的交点，

x+1

画出

y=|(x+l)+—!——3|的大致图象，如图所示，

由图象可得实数”的取值范围(1,5){()}.

故答案为：(1,5)(()).

15.解：函数_/'(幻=/_(24+1»+%2的图象是开口向上的抛物线，

若函数/(x)=/-(2A+l)x+42有两个零点且一个大于1,•—个小于1,

则/(1)=l-(2k+l)+k2<0,即二2一2氏<0,得0<(v2.

实数&的取值范围是(0,2),

故答案为：(0,2).

16.解：定义在R上的函数f(x)满足/(-x)-/(x)=0,,/(x+4)=/(x),

.•.函数是偶函数，且周期为4,

又/(0)=0,当xe(0,2］时，/(%)=--2.

X

作出函数y=/(x)与y=-sin(—x)的图象如图：

34

函数g(©=/(x)--sin(-x)在区间［-6,2］上的零点，

34

即函数尸.与尸飙?)的图象的交点的横坐标’

由图可知，两函数在［-6,2］上有6个交点，且关于直线x=-2对称，

则函数g(x)=/(x)-2singx)在区间［-6,2］上所有的零点之和为-2x6=72.

34

故答案为：-12.

17.解：（1）当加=1时，f（x）=x+——,

由f（X）+1>/（X+1）,得（XH----）+1>（X+1）4-->

即」一>上，解得x<0或x>l.

x-1X

・•.不等式/(x)+l>/(x+l)的解集为(一8,0)<J(l,+00)；

(2)函数y=/(x)+3在［3,4］上存在零点o方程/(幻+3=0在［3,4］上有解,

即方程x+*-+3=0在［3,4］上有解，

即加=-(x+l/+4在［3,4］上有解，函数丫=-*+1尸+4在［3,4］上是减函数

贝Uyw［-21,-12］,

从而，实数〃，的取值范围是［-21,-12］.

18.解：(1)根据题意，函数/(x)=l+-^,贝I」有2,-1。0,解可得XHO,

即函数/(x)的定义域为(TO,0)U(0,+00),

根据奇函数的定义，对于Vx£(-co,0)U(0,+oo),则有,f(-x)+/'(x)=。，

即1+—+1+-^-=0,化简得：2—a=0即a=2：

2-，-12'_1

(2)若函数g(x)有零点，则直线y=logm与曲线y=f(x)有交点，

2

又由2,-1€(-1,小»),那么1一6(^0,-2)(0,一)，则/(x)的值域为(-00,-1)U(1,+00)；

2'—1

故由log2左,+oo),

解得：kc（2,+oo）,

即人的取值范围为：(0,-)U(2,+00).

19.解：(1)根据题意，当。=5时，/(x)=log,(-+5),

X

若/(x)>0，BPlog(—+5)>0,变形可得>0,

oxx

解可得x>0或x<二，即不等式的解集为｛x|x>0或％<」｝,

44

(2)根据题意，若函数g*)=/(x)+21og,x只有一个零点，即方程log,d+4)+2k)g)x=0

x

有且只有一个根，

方程log2d+a)+21og2X=0,变形可得Iog2(oy2+x)=0,即加+x-l=0,

X

则原问题等价于方程加+X-1=0有且只有一个正根，

分3种情况讨论：

当。=0时，方程为工-1=0,有一个正根1,符合题意，

当a>0时，△=l+4a>0,故以?+工一1=。有两解%,当