第03讲 简单事件的概率（4大考点）（原卷版）

第03讲简单事件的概率（4大考点）考点考点考向一、事件的可能性1、必然事件在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件．2、不可能事件在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件．3、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.要点：必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；4、事件可能性的大小要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.二、简单事件的概率1、概率的范围（0≤P≤1）P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜12、概率的计算公式如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=.3、用列举法和画树状图法求概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.画树状图法当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：(1)树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断所有结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.三、用频率估计概率概率的简单应用1、频率与概率定义频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.2、频率与概率的关系在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.要点：（1）事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3、利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.考点精讲考点精讲一．可能性的大小（共3小题）1．（2022•瓯海区一模）一个不透明袋子中有3个红球，4个白球，2个黑球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出一个球是白球的可能性是（）A． B． C． D．2．（2022•定海区一模）如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是（）A． B． C． D．3．（2022•杭州模拟）如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（）A．1号 B．2号 C．3号 D．4号二．概率的意义（共4小题）4．（2022•海曙区校级开学）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为．5．（2021秋•越城区期末）小敏同学连续抛了两次硬币，都是正面朝上，那么他第三次抛硬币时，出现正面朝上的概率是（）A．0 B．1 C． D．6．（2021秋•湖州期末）抛掷一枚质地均匀的硬币2021次，正面朝上最有可能接近的次数为（）A．800 B．1000 C．1200 D．14007．（2022•宁波模拟）一枚正方体骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，若连续抛掷四次，朝上一面的点数都为6，则第五次抛掷朝上一面的点数为6的概率为．三．游戏公平性（共1小题）8．（2022•柯桥区一模）甲乙两人玩一个游戏，他们轮流从砖墙上拿下一块或两块相邻的砖．缝隙可能会产生的新的墙，墙只有一砖高．例如，如图，一组（4，2）的墙砖可以通过一次操作变成以下中的任何一种：（3，2），（1，2，2），（2，1，2），（4），（4，1），（2，2）或（1，1，2）．若甲先开局，而拿下最后一块砖的选手获胜，对于以下开局，甲没有必胜策略的开局是（）A．（6，1，1） B．（6，2，1） C．（6，3，1） D．（6，2，2）四．利用频率估计概率（共9小题）9．（2022•玉环市一模）在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（）A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关 C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率10．（2022•丽水一模）在一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球，记下颜色后，再放回暗箱，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%．那么估计a大约有个．11．（2022春•余杭区月考）一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个红球和m个黄球，随机从袋中摸出个球记录下颜色，再放回袋中摇匀大量重复试验后，发现摸出红球的频率稳定在0.2附近，则m的值为．12．（2022•西湖区一模）植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为（结果精确到0.1）．移植总数n400150035007000900014000成活数m369133532036335807312628成活的频率0.9230.8900.9150.9050.8970.90213．（2022•富阳区二模）在一个不透明的布袋中，有除颜色外完全相同的4个黑球，若干个白球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.6，由此可估计袋中白球的个数约为个．14．（2022春•海曙区校级期末）下表是某种幼苗在一定条件下移植后成活率的试验结果．移植总数n55020050010003000成活数m4451884769512850成活的频率0.80.90.940.9520.9510.95则在相同条件下这种幼苗可成活的概率可估计为．15．（2022•瑞安市校级开学）在一个不透明的袋子里，装有6枚白色球和若干枚黑色球，这些球除颜色外都相同．将袋子里的球摇匀，随机摸出一枚球，记下它的颜色后再放回袋子里．不断重复这一过程，统计发现，摸到白色球的频率稳定在0.2，由此估计袋子里黑色球的个数为．16．（2022•鄞州区校级开学）一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有个黄球．17．（2022•海曙区校级开学）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，估计盒子中小球的个数n＝．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·哈尔滨市第十七中学校）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．从中随机摸取出一个黑球的概率是（）A． B． C． D．2．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之和为偶数，甲得1分；如果两者之和为奇数，乙得1分，此游戏（）A．是公平的 B．对乙有利 C．对甲有利 D．以上都不对3．（2021·山东济南市·中考真题）某学校组织学生到社区开展公益宣传活动，成立了“垃圾分类”“文明出行”“低碳环保”三个宣传队，如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，则她们恰好选到同一个宣传队的概率是（）A． B． C． D．4．（2021·浙江衢州市·九年级期末）下列属于必然事件的是（）A．水中捞月 B．瓮中捉鳖 C．守株待兔 D．大海捞针5．（2021·山东青岛市·九年级期末）一个不透明的口袋中装有10个黑球和若干个白球，小球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一球记下颜色，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了150次，其中有50次摸到黑球，由此估计口袋中白球的个数约为（）A．10个 B．20个 C．30个 D．40个6．（2021·湖南师大附中博才实验中学九年级一模）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，这些数学著作曾经是隋唐时代国子监算学科的教科书．十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》、《算经十书》标志着中国古代数学的高峰．《算经十书》这10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中据说有6部成书于魏晋南北朝时期．其中《张丘建算经》、《夏侯阳算经》就成书于魏晋南北朝时期．某中学拟从《算经十书》专著中的魏晋南北朝时期的6部算经中任选2部作为“数学文化”进行推广学习，则所选2部专著恰好是《张丘建算经》、《夏侯阳算经》的概率为（）A． B． C． D．二、填空题7．（2020·宜春市第三中学九年级月考）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有20个，除颜色外其他完全相同．每次摸球前先将袋中的球拌匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回布袋中，小明通过大量摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率分别稳定于0.25和0.55，则可估计布袋中白色球有___个．8．（2021·浙江衢州市·九年级期末）两位同学玩“石头、剪子、布”游戏，随机出手一次，两人手势相同的概率是___．9．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模）箱子里有4个红球和个白球，这些球除颜色外均差别，小李从中摸到一个白球的概率是，则__________．10．（2021·山东青岛市·九年级期末）已知线段a的长度为11，现从1～10这10条整数线段中任取两条，能和线段a组成三角形的概率为___．11．（2021·铜陵市第十五中学九年级期末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标;求点A（a，b）的个数为：__________；点A（a，b）在函数的图象上的概率为：______．三、解答题12．（2021·广东深圳市·九年级期末）某校对该校学生最喜欢的球类运动的情况进行了抽样调查，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面进行了一次调查（每位同学必选择一项且只能选择一项），并将调查结果绘制了以下不完整的统计图，请根据图中的信息解答以下问题：（1）本次调查一个选取了名学生，乒乓球所在扇形的圆心角的度数为°；（2）请将条形统计图补充完整；（3）该校共有1600名同学，估计最喜欢篮球运动的同学有名；（4）甲、乙、丙、丁四位同学分别最喜欢足球、乒乓球、篮球、排球，现在要从这名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的概率．13．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）贵阳第十九中学八年级学生参加体育中考，现从八年级学生中抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理绘制了如图两幅统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求参与调查的学生中，参加排球考试的学生人数；（2）若八年级共有700名学生，请你估计八年级学生中有多少名学生参加篮球考试？（3）若从参加足球的3名男生和2名女生中随机抽取2名学生，确定为学校足球运动员的重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率．14．（2021·山东九年级期末）甲乙两人用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，A转盘被分成如图所示的三份，并分别标有数字1，2，﹣3；B转盘被等分成三份，分别标有数字﹣1，﹣2，3．甲乙两人同时转动转盘，当转盘停止转动时，指针所指的数字之差的绝对值大于2，则甲胜；指针所指的数字之差的绝对值小于2．则乙胜．请问，这个游戏对甲乙两人公平吗？说明理由．15．（2021·福建省福州第十九中学九年级月考）2020年“地摊经济”突然火了起来，甲想要用120天摆摊赚一些生活费，甲从工厂租一些扭蛋机，每天只要定时去收钱就好了．这些扭蛋机租金每天合计36元，每个扭蛋成本为0.3元．由于无处存放，小明每天都必须将扭蛋机和扭蛋送回工厂，工厂以每个扭蛋0.1元的价格回收每天剩下的扭蛋．顾客每次需要花费1元钱开启扭蛋机，经过厂家调试，开启后“得到2个扭蛋”、“得到1个扭蛋”和“得不到扭蛋”这三种情况是等可能的．工厂为两人提供了摆摊地点的120日需求量的部分数据辅助小明销售，如下表：日需求开启量400500600700频数（天数）6020其中，且为整数．（1）开启一次扭蛋机得到的“得到2个扭蛋”的概率为____________（2）开启一次扭蛋机得到的扭蛋个数的平均数____________（3）假设每次开启扭蛋机必得个扭蛋，请分别计算小明每天都购买500个扭蛋和每天都购买600个扭蛋所获得的总利润，以此作为决策依据，小明应该每天都购买500个扭蛋还是每天都购买600个扭蛋?16．（2021·浙江衢州市·九年级期末）一个黑箱子里装有红、白两种颜色的球4只，他们除颜色外，其他都相同，小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回不断重复实验，将多次实验结果画出如下频率统计图．（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01），从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是；（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．17．（2021·浙江杭州市·翠苑中学九年级二模）为了更好的满足顾客的支付需求，一商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计