2020-2021学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷

2020-2021学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题

意）

1.（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

°Q914

A.%2=-2B.x3-2x+l=0C.尤？+3盯+i=oD.-+--5=0

XX

2.（4分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（）

3.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,则sinB的值是（

）

3434

A.-B.-C.-D.-

5543

4.（4分）抛物线y=向左平移i个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达

2

式是（）

A.y=g（x+l）2—2B.y=；（x—l）2+2C.y=^（x-l）2-2D.y=^（x+l）2+2

5.（4分）如图，口0是AABC的外接圆，半径为2cm，若BC=2cm,则NA的度数为（

A.30°B.25°C.15°D.10°

3

6.（4分）已知点（再，%），（x，%），（%3,%）在反比例函数y=—的图象上，当菁<%2<0<%3

2X

时，则%,为，丁3的大小关系是（）

A.%<%<%B.%<%<%C.%<%<%D・

7.（4分）若关于x的一元二次方程小-3光+1=0有实数根，则k的取值范围为（）

Qo99

A.k?-B.k?—且kwOC.k<—且kwOD.k?-

4444

8.（4分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两

个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（）

9.（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边。C上，DE:EC=3:1,连接AE■交3。

于点F，则NDEF的面积与NDAF的面积之比为（）

A.9:16B.3:4C.9:4D.3:2

V_

10.（4分）在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与y=4（kwO）的图象大致是（）

X

A.B.

11.（4分）如图1,一个扇形纸片的圆心角为90。，半径为6.如图2,将这张扇形纸片折

叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD,图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（

)

A.6兀-26B.6兀一94>C.12^---A/3D.—

224

12.（4分）如图（1）,E为矩形ABCD的边AD上一点，动点尸，。同时从点3出发，点P

沿折线BE-£D-DC运动到点C时停止，点。沿运动到点C时停止，它们运动的速度

都是1cm/秒.设P、。同时出发f秒时，ABP。的面积为y。/.已知y与》的函数关系图象

如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cosNABE1：-；

5

③当0<t,,5时，y=-t2；④当/=二秒时，MBEsAQBP；其中正确的结论是（）

-54一

D.②④

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上）

13.（4分）已知q=2=£/0,则*=.

345a

14.（4分）如图，AB是口。的弦，AC是□。的切线，A为切点，3c经过圆心.若NC=50。,

则N6的度数为.

15.（4分）已知P是线段AB的黄金分割点04P>2尸），AB=6cm,则AP长为cm.

16.（4分）如图，直线AB过原点分别交反比例函数y=9于A、B,过点A作轴,

X

垂足为C,则AA5c的面积为.

17.（4分）己知二次函数%=（x+l）2-3向右平移2个单位得到抛物线%的图象，则阴影部

分的面积为-.

18.（4分）将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与他重合，得到折痕MN后展开，E为

CN上一点，将ACDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点尸处，连接AF,

BF,BD,则得下列结论：

①AADF是等边三角形；②tanNEB尸=2-6；③入的=1S正方开如心；@BF2=DF[EF.

其中正确的是.

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（6分）Mtan30°+（"+4）°-|-#|

20.（6分）如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物Afi底部3点18”?的

C处，利用测角仪测得其顶部A的仰角NEZM=36。，测角仪8的高度为15〃，求该建筑

物AB的高度.（精确到0.1㈤【参考数据：sin36°=0.59,cos36°=0.81,tan36°=0.731

」

/

口

口

口

口

口

£口

21.（6分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有

三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印

有冰墩墩图案的卡片分别记为4、正面印有雪容融图案的卡片记为3,将三张卡片正

面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随

机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片

的概率.

冰墩墩小冰墩墩.42雪容融8

22.（8分）如图，等边A4BC中，点。、E分别在边3C、AC上，ZADE=&）°

（1）求证：AABD^ADCE；

4

（2）若BD=2,CE=~,求等边AABC的边长.

3

23.（8分）如图，"是□O的直径，点E在钻的延长线上，AC平分NIME交口O于点C,

于点。.

（1）求证：直线DE是□。的切线.

（2）如果BE=2,CE=4,求线段AD的长.

24.（10分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度。为15米），围

成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为尤米，面积为S.

（1）求S与尤的函数关系式；

（2）并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？

H-----a-----H

A\ID

B'-------------1c

25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、5在函数y='（%>0）

x

的图象上，顶点C、。在函数y=4（x>0）的图象上，其中0<根<〃，对角线8。//〉轴，

X

且3D，AC于点尸.已知点3的横坐标为4.

（1）当m=4,"=20时，

①点8的坐标为，点。的坐标为,3。的长为.

②若点P的纵坐标为2,求四边形ABCD的面积.

③若点尸是皮）的中点，请说明四边形ABCD是菱形.

（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出根、〃之间的数量关系.

26.（12分）如图1所示，矩形ABCD中，点E,尸分别为边至，AD的中点，将AAEF绕

点A逆时针旋转以0。<a,,360。），直线鹿、DF相交于点P.

（1）若出=题>,将AAEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段破与DF的数

量关系是—.

（2）若（〃片1）,将AAEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由.

（3）若AB=8,i5c=12,将AAEF旋转至请算出。尸的长.

图1图2图3

27.（12分）在平面直角坐标系中，抛物线>=办2+陵+3与x轴交于点A（-3,0）、2（1,0），

交y轴于点N,点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,连接40,点石是线段AM上方抛物线上一动点，所上收于点?，过点E

作即_Lx轴于点H,交AM于点£>.点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：

①求PD+PC的最小值；

②如图2,。点为y轴上一动点，请直接写出的最小值.

2020-2021学年山东省济南市济阳区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题

意）

1.（4分）下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.x2=-2B.尤3_2X+1=0C.f+3盯+1=0D.-^+--5=0

XX

【解答】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；

该方程属于一元三次方程，故本选项不符合题意；

C、该方程中未知数项的最高次数是2且含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选

项不符合题意；

£）、该方程是分式方程，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：A.

2.（4分）由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的主视图是（）

【解答】解：主视图有3歹!J,每列小正方形数目分别为2,1,1,

故选：D.

3.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,则sinB的值是（

）

【解答】解：在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,AB=10,

.„AC3

sinD----——

AB5

故选：A.

4.(4分)抛物线>=向左平移i个单位，再向上平移2个单位后，所得抛物线的表达

2

式是()

A.y=g(尤+1>—2B.y=1(x-l)2+2C.y=1(x-l)2-2D.y=1(x+l)2+2

【解答】解：抛物线y=向左平移1个单位，再向上平移2个单位得y=g(x+l)2+2.

故选：D.

5.(4分)如图，口。是AABC的外接圆，半径为2on,若BC=2cm,则Z4的度数为(

)

C.15°D.10°

【解答】解：连接05和OC,

•・•圆O半径为2,BC=2,

,\OB=OC=BC,

「.AO5C为等边三角形,

..NBOC=60。,

ZA^-ZBOC=30°.

2

故选：A.

3

6.（4分）己知点（占，%）,区，％）,（%，为）在反比例函数>=二的图象上，当玉<。<*3

-X

时，则%,y2，的大小关系是（）

A.B.〈必C.y2Vx<%D-%<%<必

【解答】解：,/k=3>05

函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，

又石<x2<0<三，

二.%<0，y2<0,y3>0,且%>%，

%<%<%，

故选：C.

7.（4分）若关于x的一元二次方程R2-3X+1=0有实数根，则k的取值范围为（）

9999

A.k?-B.k?—且kwOC.k<—且kwOD.k?-

4444

【解答】解：•.■关于x的一元二次方程R2-3x+l=0有实数根，

小。

,-[0=（-3）2-4xkxl?0*

Q

.-.k?—且kHO.

4

故选：B.

8.（4分）让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两

个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于（）

【解答】解：列表如下:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

所有等可能的情况有16种，其中两个数的和是2的倍数或3的倍数情况有10种,

故选：C.

9.（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE:EC=3:1,连接AE交

于点尸，则AD砂的面积与AZM厂的面积之比为（）

A.9:16B.3:4C.9:4D.3:2

【解答】解：•.•四边形MCD为平行四边形，

:.AB=CD,AB//CD,

DE:EC=3:1,

DEtAB=DE:DC=3:4.

•.•DE//AB,

..ADEF^ABAF,

.EFDE_3

"AT-AB-4'

ADEF的面积与AO4厂的面积之比=EF:AF=3:4.

故选：B.

V

10.(4分)在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与y=4(k/0)的图象大致是()

X

木-4^

A.B.

【解答】解：①当k>0时，

一次函数y=kx-k经过一、三、四象限，

反比例函数的v=K（kw（））的图象经过一、三象限，

X

故5选项的图象符合要求，

②当k<0时，

一次函数》=1<尤一1<经过一、二、四象限，

反比例函数的y=£（kwO）的图象经过二、四象限，

x

没有符合条件的选项.

故选：B.

11.（4分）如图1,一个扇形纸片的圆心角为90。，半径为6.如图2,将这张扇形纸片折

叠，使点A与点O恰好重合，折痕为8,图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（

）

A.67T--43B.67一9.C.12万一2百D.—

224

【解答】解：连接OD,如图，

•.•扇形纸片折叠，使点A与点。恰好重合，折痕为CD,

:.AC=OC,

OD=2OC=6,

.-.CD-A/62-32=3^,

...NCDO=30°,ZCOD=60°,

由弧AD线段AC和CD所围成的图形的面积

60--62

=S扇形AOD-S^COD

360

，阴影部分的面积为6万-吨.

2

故选：A.

12.（4分）如图（1）,E为矩形ABCO的边AD上一点，动点尸，。同时从点3出发，点P

沿折线BE-£D-DC运动到点C时停止，点。沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度

都是1cm/秒.设P、。同时出发f秒时，ABP。的面积为y。/.已知y与》的函数关系图象

如图（2）（曲线为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cosNABE1：-；

5

③当0<t,,5时，y=-7t2；④当/=0二Q秒时，MBEsAQBP；其中正确的结论是（）

-54一

D.②④

【解答】解：根据图（2）可得，当点尸到达点E时点Q到达点C,

•.•点P、。的运动的速度都是1。〃/秒,

BC=BE=5,

.-.AD=BE=5,故①正确;

•.•从"到N的变化是2,

ED=2,

.\AE=AD-ED=5-2=3f

在RtAABE中，AB=^BE2-AE2^752-32=4,

A34

cosNABE-二—，故②错误;

BE5

过点P作小，于点尸，

••,ADIIBC,

.\ZAEB=ZPBF,

AB4

sin/PBF=sinZAEB=----=—,

BE5

4

/.PF=PBsin/PBF=-t,

5

.•.当0<t,,5时，y=(8QLJPF=gfgr=|』，故③正确;

on7Q?Q1

当二=二秒时，点P在CD上，止匕时，PD=——BE-ED=——5-2=-)

4444

PQ=CD-PD=4--=—,

44

AB4BQ_5_4

'AE-3'PQ一身一§，

4

ABBQ

-Pg)

又；4=/。=90。，

:.AABEsAQBP,故④正确.

综上所述，正确的有①③④.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上）

13.（4分）已知4=2=则处£=3.

345a

【解答】解：设@=2=£=4，

345

贝Ia=3左，b=4k,c=5k,

b+c4左+5左

------=----------=3.

a3k

故答案为：3.

14.（4分）如图，AB是口。的弦，AC是口。的切线，A为切点，经过圆心.若NC=50。,

则ZS的度数为_20。_.

•・・4。是口。的切线，

/.Ztt4C=90°,

vZC=50°,

ZAOC=90。—40。=40。，

-OA=OB,

:.ZB=ZOAB,

-ZAOC=ZB+ZOAB=40°,

.•.々=20。，

15.（4分）已知尸是线段AB的黄金分割点（AP>BP）,AB=6cm,则"长为_（3百-3）

cm.

【解答】解：尸是线段的黄金分割点（AP>3P）,

AP_45-1

..-----=---------，

AB2

,/AB=6cm,

AP=（3石—3）cm.

故答案为：（3♦-3）.

16.（4分）如图，直线AB过原点分别交反比例函数y=9于A、B,过点A作ACLx轴,

【解答】解：•.■反比例函数与正比例函数的图象相交于A、3两点,

:.A、3两点关于原点对称，

OA=OB,

ABOC的面积=AAOC的面积，

又是反比例函数丫=9图象上的点，且ACLx轴于点C,

X

.•.AAOC的面积=jk|」x6=3,

22

则AABC的面积为6,

故答案为6.

17.（4分）已知二次函数%=（尤+1）2-3向右平移2个单位得到抛物线内的图象，则阴影部

分的面积为6

【解答】解：设点M为抛物线外的顶点，点N为抛物线内的顶点,

连接M4、NB,

则四边形AVWB的面积和阴影部分的面积相等,

•.•二次函数%=(*+1)2-3,

该函数的顶点M的坐标为(-1,-3),

.•.点M到x轴的距离为3,

MN=2,

：.四边形AWZVB的面积是2x3=6,

，阴影部分的面积是6,

故答案为：6.

18.(4分)将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与他重合，得到折痕MN后展开，E为

CN上一点，将ACDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点尸处，连接AF,

BF,BD,则得下列结论：

①AADF是等边三角形；②tanNEB尸=2-石；③又的=1S外方开为也；④BF?=DF声.

其中正确的是①②④

【解答】解：..・四边形ABC。是正方形，

.\AB=CD=AD,ZC=ZBAD=ZADC=90°,ZABD=ZADB=45°,

由折叠的性质得：MN垂直平分AD,FD=CD,BN=CN,ZFDE=ZCDE,

ZDFE=NC=90。,ZDEF=ZDEC,

:.FD=FAf

：.AD=FD=FA,

即AADF是等边三角形，①正确；

i§：AB=AD=BC=4a,贝!)MZV=4d,BN=AM=2a,

/\ADF是等边三角形，

ZDAF=ZAFD=ZADF=60°,FA=AD=4a,FM=6AM=2岛,

FN=MN-FM=(4-2也)a,

tanZEBF=—=4~2^=2-A/3,②正确；

BN2

vAADF的面积=-ADLFM=-x4ax2瓜=443a2,正方形ABCD的面积=(4a)2=16a2,

22

S^DF=③错误；

S正方形ABCD164

•：AF=AB,ZBAF=90°-60°=30°,

,\ZAFB=ZABF=75°,

/.ZDBF=75°-45°=30°,ZBFE=360°-90°-60°-75°=135°=ZDFBf

•••ZBEF=180°-75°-75°=30°=ZDBF,

..ABEF^ADBF,

.BFEF

而一而‘

:.BF2=DF^EF,④正确；

故答案为：①②④.

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（6分）Wtan30。+（%+4）。-|一如

【解答】解：原式=3夜x走+1一遍

3

=A/6+1—^6

=1.

20.（6分）如图，某班数学小组要测量某建筑物的高度，在离该建筑物AB底部5点18根的

。处，利用测角仪测得其顶部A的仰角NEZM=36。，测角仪CD的高度为1.5相，求该建筑

物AB的高度.（精确到0.1间【参考数据：sin36°=0.59,cos36°=0.81,tan36°=0.731

」

「

口

口

口

口

口

E口

。^°.一一

CB

【解答】解:过点。作钻于点E,如图所示:

根据题意得：ZEDA=36°,BE=CD=1.5m,DE=BC=lSm,

Ar

在RtAADE中，ZAED=90°,tmZEDA=—,

DE

AE=DExtan36°«18x0.73=13.14(m),

45=AE+5£=13.14+H14.6O).

答：建筑物AB的高度约为14.6

口

，

口

口

口

口

口

£口

一

21.（6分）2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”，如图，现有

三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印

有冰墩墩图案的卡片分别记为A、A,正面印有雪容融图案的卡片记为3,将三张卡片正

面向下洗匀，小明同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随

机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片

的概率.

【解答】解：101树状图如图:

开始

AjA2BA】A?BATA2B

共有9个等可能的结果，小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片的结果有4个,

:.p（小明同学抽出的两张卡片都是冰墩墩卡片）=-.

9

22.（8分）如图，等边AABC中，点。、E分别在边BC、AC上，ZA£>E=60°

(1)求证：AABD^ADCE;

4

(2)若BD=2,CE=—,求等边AABC的边长.

3

【解答】解：（1）证明：・・・AABC是等边三角形

\ZB=ZC=6O°

又・・・ZAT＞石=60。

/.ZADB+ZCDE=180。-60。=120°,ZADB+ZDAB=180°-60°=120°

.\ZCDE=ZDAB

/.AABD^ADCE；

(2)设等边AABC的边长为x,

4

•••BD=2,CE=~,

3

BC=AB=xfDC=x—2

-^ABD^ADCE

.DCEC

4

.x-2=3

''x~2

解得：x=6

等边A4BC的边长为6.

23.(8分)如图，AB是口。的直径，点石在AB的延长线上，AC平分NZME交口O于点C,

于点O.

(1)求证：直线DE是口。的切线.

(2)如果fiE=2,CE=4,求线段AD的长.

D

\-OA=OC,

..ZOAC=ZOCA,

・・・A。平分NQ4E,

:.ZDAC=ZOAC,

:.ZDAC=ZACO,

:.AD//OC,

\-ADLDE,

/.ZAZ)C=90°,

.\ZOCE=ZADC,

:.ZOCE=90°,

」.DE是口。的切线；

(2)解：如图1,连接OC,

设OC=x，

\OC2+CE2=OE2,

x2+42=(2+x)2,

.\x=3,

OC=3,

•:ADIIOC,

:.ACOES^AE,

.OCOE

-An-AE?

,32+3

-----=-------,

AD8

24

:.AD=—,

5

24.(10分)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度〃为15米)，围

成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S.

(1)求S与x的函数关系式；

(2)并求出当AB的长为多少时，花圃的面积最大，最大值是多少？

H----------------a----------------

A]ID

B1-------------'c

【解答】解：(1)•.•花圃的宽4?为尤米，篱笆长为24米，

二.BC=(24-3x)米，

:.S=x(24-34

=-3x2+24x(3烈8).

S与x的函数关系式为S=-3尤2+24x(3期c8).

(2)S=-3X2+24X

=-3(X-4)2+48.

•••W8,

.•.当x=4时，S有最大值，最大值为48.

.•.当AB的长为4米时，花圃的面积最大，最大值是48平方米.

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、3在函数y='(x>0)

X

的图象上，顶点C、D在函数y=4(x>0)的图象上，其中对角线3。//〉轴，

X

且BD_LAC于点P.已知点3的横坐标为4.

(1)当7〃=4,77=20口寸，

①点3的坐标为_(4,1)点。的坐标为,30的长为.

②若点尸的纵坐标为2,求四边形ABCD的面积.

③若点尸是血的中点，请说明四边形ABCD是菱形.

(2)当四边形ABCD为正方形时，直接写出根、〃之间的数量关系.

.,.点3的坐标为(4,1)；

4,

当y=2时，2=—,解得：x=2,

x

.•.点A的坐标为(2,2)；

当〃=20时，y=3，当％=4时，y=5,故点。(4,5),

x

BD=5-1=4,

故答案为(4,1)；(4,5)；4；

②•.•BQ//)轴，BD±AC,点尸的纵坐标为2,

"(2,2),C(10,2).

.-.AC=8,

四边形ABCD的面积=LACXB£>=L*8*4=16;

22

③四边形ABCD为菱形，理由如下：

由①得：点3的坐标为(4,1),点。的坐标为(4,5),

•.•点P为线段BD的中点,

二.点尸的坐标为(4,3).

44

当y=3时，3=2,解得:x=—

X3

.,.点A的坐标为(1

3);

当y=3时，3=卫20

解得:%=——

X3

.•.点。的坐标为(型，3).

3

，PC旦-4=号,

-rl33

:.PA=PC.

­.PB=PD,

：.四边形ABCD为平行四边形.

又•.•BD_LAC,

，四边形ABCD为菱形；

(2)四边形ABCD能成为正方形.

当四边形ABCD为正方形时，设R4=P3=PC==/Qw0).

当尤=4时，y=-=-

x4

.•.点3的坐标为(4,?)

.,.点A的坐标为(4一，，生+。・

4

•.•点A在反比例函数y='的图象上,

/.(4—1)(—+t)—m化简得：t=4——>

44

r

1AAHzIz_L—■、T1TTfTlA77in

.,.点。的纵坐标为一+2/=—+2(4——)=8——,

4444

.♦.点。的坐标为(4,8-9)，

.,.4x(8-?)=〃，整理，得："z+〃=32.

即四边形A5CD能成为正方形，此时机+“=32.

26.(12分)如图1所示，矩形ABCD中，点E,尸分别为边回，AD的中点，将AAEF绕

点A逆时针旋转«(0°<a,,360°),直线BE、DF相交于点P.

(1)若加=/£>,将AAEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段助与DF的数

量关系是_BE=DF_.

(2)若A£>=〃A5(〃N1),将AAEF绕点A逆时针旋转，则(1)中的结论是否仍然成立？

若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由.

(3)若AB=8,BC=12,将AAEF旋转至请算出DP的长.

图1图2图3

2中，结论：BE=DF.

理由：•.,四边形ABCD是矩形，AB=AD,

：.四边形ABCD是正方形,

AE=-AB,AF=-AD,

22

:.AE^AF,

-ZDAB=ZEAF=90°,

:.ZBAE=ZDAF,

:.AABE=^ADF(SAS),

:.BE=DF.

故答案为

(2)2)如图3中，结论不成立.结论：DF=nBE,理由如下:

AD=nAB，

22

:.AF=nAE,

:.AF:AE=AD:AB,

-ZDAB=ZEAF=90°,

:.ZBAE=ZDAF,

ABAE^ADAF,

/.DF:BE=AF:AE=n,

/.DF=nBE.

(3)如图4-1中，当点P在班的延长线上时,