北师大版七年级数学下册举一反三 专题2.9 相交线与平行线章末测试卷（拔尖卷）（举一反三）（原卷版+解析）

第2章相交线与平行线章末测试卷（拔尖卷）【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）(2023春•陆河县校级期末）如图，P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，垂足为B，∠APC＝90°，则下列语句错误（）A．线段PB的长叫做点P到直线l的距离 B．线段AC的长叫做点C到直线AP的距离 C．PA、PB、PC三条线段中，PB是最短的 D．线段PA的长叫做点A到直线PC的距离2．（3分）(2023秋•庄河市期末）已知∠α与∠β互为余角，并且∠β的一半比∠α小15°，则∠α、∠β的度数分别为（）A．30°、60° B．40°、50° C．50°、40° D．60°、30°3．（3分）(2023春•金寨县期末）已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则10条直线两两相交最多可将平面分割成的区域的个数为（）A．53 B．54 C．55 D．564．（3分）(2023秋•城阳区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（）A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG5．（3分）(2023秋•玉林期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．0个6．（3分）(2023秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20° B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°7．（3分）(2023秋•石狮市期末）已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（）A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°8．（3分）(2023秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（）A．2α B．2β C．α+β D．54（α+β9．（3分）(2023春•崇川区校级月考）如图，已知AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠β+∠γ＝180° C．∠β＝∠α+∠γ D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°10．（3分）(2023春•汉川市期末）如图，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：①AB∥CD；②∠AOC=12∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠其中结论正确的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）(2023秋•钱塘区期末）平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角对数为c，则2a+b﹣c的值是．12．（3分）(2023秋•虎林市期末）已知三条射线OA、OB、OC，OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，∠BOC的度数为．13．（3分）(2023秋•平阳县期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝40°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是．14．（3分）(2023秋•南岗区校级月考）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥EF，且∠GOB＝20°，∠AOC＝40°，则∠COE＝°．15．（3分）(2023秋•卧龙区期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，点C为直角顶点，边AB和边DE所在的直线交于点P．若固定三角板ABC不动，改变三角板CDE的位置（其中点C位置始终不变），则当∠APD的度数为时，DE∥AC．16．（3分）(2023春•青羊区期末）如图AB∥DE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）(2023春•罗湖区校级期中）已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和12α，且两角的夹边为已知：求作：结论：18．（6分）(2023秋•揭西县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．（1）求证：∠FAB＝∠BDC；（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．19．（8分）(2023秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°．（1）求∠EOB的度数．（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发分钟．20．（8分）(2023秋•永春县期末）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的任意一点．锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F．CD与FB交于点N．（1）当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠F的度数；（2）若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数（用含α的代数式表示）．21．（8分）(2023秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．【基础尝试】（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；【画图探究】（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．【拓展运用】（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．22．（8分）(2023秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．23．（8分）(2023秋•朝阳区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为；（2）直接写出∠1与∠3的数量关系：；（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：；（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值．第2章相交线与平行线章末测试卷（拔尖卷）【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）(2023春•陆河县校级期末）如图，P为直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l，垂足为B，∠APC＝90°，则下列语句错误（）A．线段PB的长叫做点P到直线l的距离 B．线段AC的长叫做点C到直线AP的距离 C．PA、PB、PC三条线段中，PB是最短的 D．线段PA的长叫做点A到直线PC的距离分析：根据“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”和“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”进行判断，即可解答．【解答】解：A、线段PB的长度叫做点P到直线l的距离，故原说法正确，故A选项不符合题意；B、线段PC的长度叫做点C到直线AP的距离，故原说法错误，故A选项符合题意；C、PA、PB、PC三条线段中，PB最短，故原说法正确，故C选项不符合题意；D、线段PA的长叫做点A到直线PC的距离，故原说法正确，故D选项不符合题意．故选：B．2．（3分）(2023秋•庄河市期末）已知∠α与∠β互为余角，并且∠β的一半比∠α小15°，则∠α、∠β的度数分别为（）A．30°、60° B．40°、50° C．50°、40° D．60°、30°分析：根据互为余角的和等于90°，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：根据题意得，α+β=90°α−①﹣②得，32β解得β＝50°，把β＝50°代入①得，α+50°＝90°，解得α＝40°．故选：B．3．（3分）(2023春•金寨县期末）已知1条直线将平面分割为2个区域，2条直线两两相交最多可将平面分割成4个区域，则10条直线两两相交最多可将平面分割成的区域的个数为（）A．53 B．54 C．55 D．56分析：先分别求得3条、4条直线两两相交最多可将平面分割成的区域个数，总结规律，进而求解．【解答】解：1条直线，将平面分为两个区域；2条直线，较之前增加1条直线，增加1个交点，增加了2个平面区域；3条直线，与之前两条直线均相交，增加2个交点，增加了3个平面区域；4条直线，与之前三条直线均相交，增加3个交点，增加了4个平面区域；…n条直线，与之前n﹣1条直线均相交，增加n﹣1个交点，增加n个平面区域；所以n条直线分平面的总数为2+（2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1+（1+2+3+4+5+6+7+8+…n）＝1+n(n+1)把n＝10代入得有56个区域．故选：D．4．（3分）(2023秋•城阳区期末）如图，∠C+∠D＝180°，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，点G是AB上的一点，若∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，下列结论错误的是（）A．∠AFB＝81° B．∠E＝54° C．AD∥BC D．BE∥FG分析：根据题目中的条件和平行线的判定方法，可以推出各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠C+∠D＝180°，∴AD∥BC，故选项C正确，不符合题意；∴∠DAE＝∠CFE，∵∠CFE＝∠EBF+∠BEF，∠DAE＝3∠EBF，∠EBF＝27°，∴∠CFE＝3∠EBF＝81°，∠BEF＝54°，故选项B正确，不符合题意；∴∠AFB＝∠CFE＝81°，故选项A正确，不符合题意；∵∠AGF＝102°，∠BAF＝34°，∴∠AFG＝44°，∵∠E＝54°，∴∠AFG≠∠E，∴BE和FG不平行，故选项D错误，符合题意；故选：D．5．（3分）(2023秋•玉林期末）如图，平面内∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，则以下结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．其中正确结论的个数有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．0个分析：由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断，②确；由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；∵OF平分∠AOD，∴∠AOF＝∠DOF，而∠AOE＝∠DOE，∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，∵∠COE＝∠BOE，∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．故选：B．6．（3分）(2023秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20° B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160° C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20° D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°分析：根据平行线的判定定理判断求解即可．【解答】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°，∴∠ABE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，∴AC∥DF，故A不符合题意；B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°，∴∠CBE＝50°+20°＝70°＝∠DEM，∴AC∥DF，故B不符合题意；C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°，∴∠DEM＝70°﹣20°＝50°＝∠ABE，∴AC∥DF，故C不符合题意；D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°，∴木条b和木条c重合，AC与DF不平行，故D符合题意．故选：D．7．（3分）(2023秋•石狮市期末）已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（）A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°分析：根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案．【解答】解：如图1，∵a∥b，∴∠1＝∠α，∵c∥d，∴∠β＝∠1＝∠α＝60°；如图（2），∵a∥b，∴∠α+∠2＝180°，∵c∥d，∴∠2＝∠β，∴∠β+∠α＝180°，∵∠α＝60°，∴∠β＝120°．综上，∠β＝60°或120°．故选：D．8．（3分）(2023秋•宝安区期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线PA，PB等反射以后沿着与直线PF平行的方向射出，若∠CAP＝α，∠DBP＝β，则∠APB的度数为（）A．2α B．2β C．α+β D．54（α+β分析：根据两直线平行，内错角相等可得∠APE＝∠CAP＝α，∠BPE＝∠DBP＝β，然后相加即可得解．【解答】解：∵AC∥EF，∠CAP＝α，∴∠APE＝∠CAP＝α，∵BD∥EF，∠DBP＝β，∴∠BPE＝∠DBP＝β，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝α+β．故选：C．9．（3分）(2023春•崇川区校级月考）如图，已知AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（）A．∠α+∠β﹣∠γ＝90° B．∠α+∠β+∠γ＝180° C．∠β＝∠α+∠γ D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°分析：分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β＝∠C+∠γ，可求得答案．【解答】解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ，∴∠α+∠β＝∠BCM+∠CDN+∠NDE＝∠BCM+∠MCD+∠γ，又BC⊥CD，∴∠BCD＝90°，∴∠α+∠β＝90°+∠γ，即∠α+∠β﹣∠γ＝90°，故选：A．10．（3分）(2023春•汉川市期末）如图，AD∥BC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：①AB∥CD；②∠AOC=12∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠其中结论正确的个数有（）A．0 B．1 C．2 D．3分析：①根据平行线的性质与判定即可判断；②∠AOC＝∠EAP+∠E，而∠EAP==12∠EAD，∠E＝∠ECD，即可判断；【解答】解：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠B＝180o，∵∠B＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180o，∴AB∥CD，故①正确；∵AB∥CD，∴∠ECD＝∠E，∵AP平分∠EAD，∴∠EAP=12∵∠AOC＝∠EAP+∠E，∴∠AOC=12∠EAD+∠ECD，故∴∠ECD＝∠E＝60o，∵CP平分∠ECD，∴∠ECP=12∠∵∠APC＝70°，∠AOE＝∠COP，∴∠EAP＝40°，∵AP平分∠EAD，∴∠EAD＝2∠EAP＝80°，∵AB∥CD，∴∠D＝∠EAD＝80°，故③正确；故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）(2023秋•钱塘区期末）平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角对数为c，则2a+b﹣c的值是1．分析：根据题意得到b＝1；a＝10；c＝20，代入代数式2a+b﹣c，即可得到结论．【解答】解：根据题意可得：5条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即b＝1；任意两直线相交都产生一个交点时，交点最多，∴此时交点为：5×（5﹣1）÷2＝10，即a＝10；最多对顶角对数为c，即c＝5×（5﹣1）＝20，则2a+b﹣c＝2×10+1﹣20＝1．故答案为：1．12．（3分）(2023秋•虎林市期末）已知三条射线OA、OB、OC，OA⊥OC，∠AOB：∠AOC＝2：3，∠BOC的度数为30°或150°．分析：先根据垂直的定义得到∠AOC＝90°，再利用∠AOB：∠AOC＝2：3可计算出∠AOB＝60°，然后分类讨论：当OB在∠AOC内部，则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB；当OB在∠AOC外部，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB．【解答】解：∵OA⊥OC，∴∠AOC＝90°，∵∠AOB：∠AOC＝2：3，∴∠AOB=2当OB在∠AOC内部，则∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°；当OB在∠AOC外部，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝90°+60°＝150°．故答案为30°或150°．13．（3分）(2023秋•平阳县期中）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁EF始终平行于AB，EF与上拉杆CF形成的∠F＝150°，主柱AD垂直于地面，通过调整CF和后拉杆BC的位置来调整篮筐的高度．当∠CDB＝40°时，点H，D，B在同一直线上，则∠H的度数是110°．分析：过D点作DI∥EF，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI＝30°，根据平角的定义可求∠ADB＝25°，根据直角三角形的性质可求∠ABH＝65°，再根据两直线平行，同旁内角互补可求∠H＝115°．【解答】解：过D点作DI∥EF，如图，∵∠F＝150°，∴∠FDI＝30°，∴∠ADB＝180°﹣90°﹣30°﹣40°＝20°，∴∠ABH＝90°﹣20°＝70°．∵GH∥AB，∴∠H＝180°﹣70°＝110°．故答案为：110°．14．（3分）(2023秋•南岗区校级月考）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OG⊥EF，且∠GOB＝20°，∠AOC＝40°，则∠COE＝30°．分析：根据对顶角的性质可得∠AOC＝∠BOD＝36°，利用垂直定义可得∠COG＝90°，然后再计算出∠AOG的度数即可．【解答】解：∵AB、CD、EF相交于点O，∴∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），∵∠AOC＝40°（已知），∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∵OG⊥EF（已知），∴∠EOG＝90°（垂直的定义），∵∠GOB＝20°，即∠COE+∠GOB+∠BOD＝90°，∴∠COE＝90°﹣∠GOB﹣∠BOD＝90°﹣20°﹣40°＝30o．故答案为：30o．15．（3分）(2023秋•卧龙区期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，点C为直角顶点，边AB和边DE所在的直线交于点P．若固定三角板ABC不动，改变三角板CDE的位置（其中点C位置始终不变），则当∠APD的度数为120°或60°时，DE∥AC．分析：分两种情况讨论，画出图形，根据平行线的判定，即可得到当∠APD等于135°或45°时，CE∥AB．【解答】解：分两种情况①如图1所示，当DE∥AC时，∠APD+∠A＝180°，∵∠A＝60°，∴∠APD＝180°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°；②如图2所示，当DE∥AC时，∠APD＝∠BAC＝60°，综上所述，当∠APD等于120°或60°时，CE∥AB．故答案为120°或60°．16．（3分）(2023春•青羊区期末）如图AB∥DE，BF平分∠ABC，反向延长射线BF，与∠EDC的平分线DG相交于点P，若∠BPD＝44°，则∠C＝92°．分析：过P作DE的平行线，设∠ABF＝∠CBF＝y，∠EDP＝∠CDP＝x，由一组平行内错角和一个猪蹄型平行列出等量关系可得答案．【解答】解：过P作DE的平行线PQ，过D作AB的平行线DH，设∠ABF＝∠CBF＝y，∠EDP＝∠CDP＝x，∵PQ∥AB∴∠QPB＝∠ABF＝y，∵PQ∥DE，∠BPD＝44°∴∠EDP＝∠QPD＝44°+y＝x，∴x﹣y＝44°，过C作DE的平行线CG，∵CG∥AB∥DE∴∠ABC＝∠BCG，∠CDH＝∠GCD，∴∠BCD＝∠BCG+∠GCD＝∠ABC+∠CDH＝2y+（180°﹣2x）＝180°﹣44°×2＝92°，故答案为92°三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）(2023春•罗湖区校级期中）已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和12α，且两角的夹边为已知：求作：结论：分析：可按照角边角的顺序来画，作∠MBN＝α，在射线BN上截取BC＝b，作∠DCB=12α，交BM于点【解答】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B＝α，∠C=12α，BC＝结论：如图，△ABC为所求．18．（6分）(2023秋•揭西县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．（1）求证：∠FAB＝∠BDC；（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．分析：（1）由已知可证得∠2＝∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠BDC；（2）根据角平分线的定义得到∠FAD＝2∠FAC，即∠FAD＝2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．【解答】（1）证明：∵AC∥EF，∴∠1+∠FAC＝180°，又∵∠1+∠2＝180°，∴∠FAC＝∠2，∴FA∥CD，∴∠FAB＝∠BDC；（2）解：∵AC平分∠FAD，∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，由（1）知∠FAC＝∠2，∴∠FAD＝2∠2，∴∠2=12∠∵∠FAD＝80°，∴∠2=1∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°．19．（8分）(2023秋•南京期末）如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE＝90°，OF平分∠AOE，∠COF＝37°．（1）求∠EOB的度数．（2）若射线OF、OD分别绕着点O按顺时针方向转动，两射线同时出发，射线OF每分钟转动6°，射线OD每分钟转动0.5°，多少分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．（3）在（2）的条件下，假设转动时间不超过60分钟，若∠FOD＝33°，则两射线同时出发20或32分钟．分析：（1）根据题意可求得∠EOF＝53°，再由角平分线的定义可得∠AOE＝106°，从而可求∠EOB的度数；（2）先求解∠FOD＝143°，设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，根据题意列方程，解方程可求解即可；（3）设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，分两种情况列方程，计算可求解．【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝37°，∴∠EOF＝90°﹣37°＝53°．∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝53°×2＝106°．∴∠EOB＝180°﹣106°＝74°．（2）∵∠COD＝180°，∠COE＝90°，∴∠EOD＝90°．∴∠FOD＝90°+53°＝143°．设x分钟后射线OF与射线OD第一次重合，依题意得：6x﹣0.5x＝143，解得：x＝26．答：26分钟后，射线OF与射线OD第一次重合．（3）由（2）可知，开始时∠FOD＝143°，设两射线同时出发t分钟后，∠FOD＝33°，当射线OF与射线OD第一次重合前，由题意得6t+33＝143+0.5t，解得t＝20；当射线OF与射线OD第一次重合后，由题意得6t＝143+33+0.5t，解得t＝32，综上，两条射线同时出发20或32分钟后，∠FOD＝33°．故答案为：20或32．20．（8分）(2023秋•永春县期末）如图，已知AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的任意一点．锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F．CD与FB交于点N．（1）当∠ECD＝60°和∠ABE＝100°时，求∠F的度数；（2）若BF∥CE，∠F＝α，求∠ABE的度数（用含α的代数式表示）．分析：（1）过点F作FH//CD，由角平分线的定义可得∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，∠NCF＝30°，由平行的传递可得，FH∥AB，所以∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FCN＝30°，则∠BFC＝20°．（2）由BF∥CE，可得∠ECM＝∠BFM＝α，所以∠DCE＝∠DNB＝2α，因为AB∥CD所以∠ABN＝∠BNC＝2α，结合角平分线的性质可知，∠ABE＝4α．【解答】解：如图，过点F作FH//CD，∵锐角∠DCE和钝角∠ABE的平分线所在直线相交于点F，∠ECD＝60°，∠ABE＝100°，∴∠DCM＝∠ECM＝30°，∠ABN＝∠EBN＝50°°，∴∠NCF＝30°，∵AB∥CD，FH//CD，∴FH∥AB，∴∠HFB＝∠ABN＝50°，∠HFC＝∠FCN＝30°，∴∠BFC＝20°．（2）如图，∵BF∥CE，∴∠ECM＝∠BFM＝α，∴∠DCE＝∠DNB＝2α，∵AB∥CD∴∠ABN＝∠BNC＝2α，∴∠ABE＝4α．21．（8分）(2023秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．【基础尝试】（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；【画图探究】（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．【拓展运用】（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．分析：（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解；（2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可；（3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补．【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠∵∠DOE+∠COE＝180°，∴∠DOE＝180°﹣70°＝110°；（2）∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°−1当OF在∠BOC内部时，如图，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，∴∠BOC＝（180﹣x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝（90−∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90−12x）°=即∠EOF=12∠当OF在∠AOD内部时，如图，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝x°，∴∠BOC＝（180﹣x）°，∵OE平分∠BOC，∴∠COE=12∠BOC＝（90−∵OF⊥OC，∴∠COF＝90°，∴∠EOF＝90°+∠COE＝90°+（90−12x）°＝（180−即∠EOF＝180°−12x＝180°−1综上所述：∠EOF=12∠AOC或∠EOF＝180°−1（3）∠EOF可能和∠DOE互补．当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°，∵OE平分∠BOC，∴∠BOE=12即∠EOF＝45°，∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝90°+45°＝135°，∴∠EOF+∠DOE＝180°，即∠EOF和∠DOE互补．22．（8分）(2023秋•黔江区期末）（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由；（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝60°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数；（3）如图3，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD＝α，∠ABC＝β，请你求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．分析：（1）过点E作EF∥AB，从而得EF∥CD，由平行线的性质可得∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，从而可求解；（2）过点E作EH//AB，由平行线的性质可得∠FAD＝∠ADC＝60°，再由角平分线的定义得∠EDC＝30°，从而可求∠ABE＝20°，则可求∠BED的度数；（3）过点E作EG//AB，由角平分线的定义得∠ABE=12∠ABC=12β，∠CDE=12∠ADC=【解答】解：（1）成