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文档简介

天津市2023-2024学年高三下学期联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数,,则()A. B. C. D.2.已知实数,则下列说法正确的是()A. B.C. D.3.若直线经过抛物线的焦点,则()A. B. C.2 D.4.当时,函数的图象大致是()A. B.C. D.5.如图,圆锥底面半径为,体积为,、是底面圆的两条互相垂直的直径,是母线的中点,已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分,则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于()A. B.1 C. D.6.设等差数列的前项和为,若,,则()A.21 B.22 C.11 D.127.一个正三棱柱的正(主)视图如图,则该正三棱柱的侧面积是()A.16 B.12 C.8 D.68.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,又称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图(1)),类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图(2)所示的图形,它是由个全等的三角形与中间的一个小正六边形组成的一个大正六边形,设,若在大正六边形中随机取一点,则此点取自小正六边形的概率为()A. B.C. D.9.i是虚数单位,若,则乘积的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.1510.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④11.已知函数,以下结论正确的个数为()①当时,函数的图象的对称中心为;②当时,函数在上为单调递减函数;③若函数在上不单调,则;④当时,在上的最大值为1.A.1 B.2 C.3 D.412.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾六步,股八步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,则14.满足约束条件的目标函数的最小值是.15.已知等差数列的前n项和为Sn,若,则____.16.若函数,其中且,则______________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)对于正整数,如果个整数满足,且,则称数组为的一个“正整数分拆”.记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为.(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数,设是的一个“正整数分拆”,且,求的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数,证明:;并求出使得等号成立的的值.(注:对于的两个“正整数分拆”与,当且仅当且时,称这两个“正整数分拆”是相同的.)18.(12分)电视传媒公司为了解某地区观众对某体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名,下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.(1)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?非体育迷体育迷合计男女1055合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中,采用随机抽样方法每次抽取1名观众,抽取3次,记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:.P(K2≥k)0.050.01k3.8416.63519.(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项.(1)求证:数列为等差数列;(2)设,求的前100项和.20.(12分)已知三棱锥中侧面与底面都是边长为2的等边三角形,且面面,分别为线段的中点.为线段上的点,且.(1)证明:为线段的中点;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)设(1)当时,求不等式的解集;(2)若,求的取值范围.22.(10分)已知抛物线上一点到焦点的距离为2,(1)求的值与抛物线的方程;(2)抛物线上第一象限内的动点在点右侧,抛物线上第四象限内的动点,满足,求直线的斜率范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分析:利用的恒等式,将分子、分母同时乘以,化简整理得详解:,故选B点睛:复数问题是高考数学中的常考问题,属于得分题,主要考查的方面有:复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算,在运算时注意符号的正、负问题.2、C【解析】

利用不等式性质可判断,利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解:对于实数,,不成立对于不成立.对于.利用对数函数单调递增性质,即可得出.对于指数函数单调递减性质,因此不成立.故选:.【点睛】利用不等式性质比较大小.要注意不等式性质成立的前提条件.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.3、B【解析】

计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.【详解】可化为,焦点坐标为,故.故选:.【点睛】本题考查了抛物线的焦点,属于简单题.4、B【解析】由,解得,即或,函数有两个零点,,不正确,设,则,由,解得或,由,解得:,即是函数的一个极大值点,不成立,排除,故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.5、D【解析】

建立平面直角坐标系,求得抛物线的轨迹方程,解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离.【详解】将抛物线放入坐标系,如图所示,∵,,,∴,设抛物线,代入点,可得∴焦点为,即焦点为中点,设焦点为,,,∴.故选:D【点睛】本小题考查圆锥曲线的概念,抛物线的性质,两点间的距离等基础知识;考查运算求解能力,空间想象能力,推理论证能力,应用意识.6、A【解析】

由题意知成等差数列,结合等差中项,列出方程,即可求出的值.【详解】解:由为等差数列,可知也成等差数列,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了等差中项.对于等差数列,一般用首项和公差将已知量表示出来,继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大,如果能结合等差数列性质,可使得计算量大大减少.7、B【解析】

根据正三棱柱的主视图,以及长度,可知该几何体的底面正三角形的边长,然后根据矩形的面积公式,可得结果.【详解】由题可知:该几何体的底面正三角形的边长为2所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形,所以该正三棱柱的侧面积为故选:B【点睛】本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识,关键在于求得底面正三角形的边长,掌握一些常见的几何体的三视图,比如:三棱锥,圆锥,圆柱等,属基础题.8、D【解析】

设,则,小正六边形的边长为,利用余弦定理可得大正六边形的边长为,再利用面积之比可得结论.【详解】由题意,设,则,即小正六边形的边长为,所以,,,在中,由余弦定理得,即,解得,所以,大正六边形的边长为,所以,小正六边形的面积为,大正六边形的面积为,所以,此点取自小正六边形的概率.故选:D.【点睛】本题考查概率的求法,考查余弦定理、几何概型等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.9、B【解析】,∴,选B.10、D【解析】

利用线面平行和垂直,面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择.【详解】当两个平面相交时,一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面,故①错误;由平面与平面垂直的判定可知②正确;空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面,故③错误;若两个平面垂直,只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直,故④正确.综上,真命题是②④.故选:D【点睛】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查空间想象能力,是中档题.11、C【解析】

逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;④利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确.②由题意知.因为当时,,又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确.③由题意知,当时,,此时在上为增函数,不合题意,故.令,解得.因为在上不单调,所以在上有解,需,解得,正确.④令,得.根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或.因为,,所以最大值为64,结论错误.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.12、C【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径,再分别求出三角形和内切圆的面积,根据几何概型的概率计算公式,即可求解.【详解】由题意,直角三角形的斜边长为,利用等面积法,可得其内切圆的半径为,所以向次三角形内投掷豆子,则落在其内切圆内的概率为.故选:C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题,其中解答中熟练应用直角三角形的性质,求得其内切圆的半径是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】

先根据约束条件画出可行域,再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y,即平移直线y=2x-z,截距最大时即为所求.2y+1=0x-y-1=0点A(12,z在点A处有最小值:z=2×1故答案为:32【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.14、-2【解析】

可行域是如图的菱形ABCD,代入计算,知为最小.15、【解析】

由,,成等差数列,代入可得的值.【详解】解:由等差数列的性质可得:,,成等差数列,可得:,代入,可得:,故答案为:.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的性质,相对不难.16、【解析】

先化简函数的解析式,在求出,从而求得的值.【详解】由题意,函数可化简为,所以,所以.故答案为:0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,以及导数的运算和函数值的求解,其中解答中正确化简函数的解析式,准确求解导数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),,,,;(Ⅱ)为偶数时,,为奇数时,;(Ⅲ)证明见解析,,【解析】

(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当为偶数时,最大为,当为奇数时,最大为,得到答案.(Ⅲ)讨论当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故,当为偶数时,根据对应关系得到,再计算,,得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为:,,,,.(Ⅱ)当为偶数时,时,最大为;当为奇数时,时,最大为;综上所述:为偶数,最大为,为奇数时,最大为.(Ⅲ)当为奇数时,,至少存在一个全为1的拆分,故;当为偶数时,设是每个数均为偶数的“正整数分拆”,则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”,故.综上所述:.当时,偶数“正整数分拆”为,奇数“正整数分拆”为,;当时,偶数“正整数分拆”为,,奇数“正整数分拆”为,故;当时,对于偶数“正整数分拆”,除了各项不全为的奇数拆分外,至少多出一项各项均为的“正整数分拆”,故.综上所述:使成立的为:或.【点睛】本土考查了数列的新定义问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18、(1)无关;(2),.【解析】

(1)由频率分布直方图可知,在抽取的100人中,“体育迷”有25人,从而可得列联表如下:非体育迷体育迷合计男301545女451055合计7525100将22列联表中的数据代入公式计算,得.因为3.030<3.841,所以我们没有充分理由认为“体育迷”与性别有关.(2)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率.由题意知X~B(3,),从而X的分布列为X0123PE(X)=np==.D(X)=np(1-p)=19、(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)利用已知条件化简出,当时,,当时,再利用进行化简,得出,即可证明出为等差数列;(2)根据(1)中,求出数列的通项公式,再化简出,可直接求出的前100项和.【详解】解:(1)由题意知,即,①当时,由①式可得;又时,有,代入①式得,整理得,∴是首项为1,公差为1的等差数列.(2)由(1)可得,∵是各项都为正数,∴,∴,又,∴,则,,即:.∴的前100项和.【点睛】本题考查数列递推关系的应用,通项公式的求法以及裂项相消法求和,考查分析解题能力和计算能力.20、(1)见解析;(2)【解析】

(1)设为中点,连结,先证明,可证得,假设不为线段的中点,可得平面,这与矛盾,即得证;(2)以为原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,分别求解平面,平面的法向量的法向量,利用二面角的向量公式,即得解.【详解】(1)

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