2024北京市首都师大附中初三一模数学试卷及答案

第1页/共1页2024北京首都师大附中初三一模数学一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）．A. B. C. D.3.比大，比小的整数是（）A.1 B.2 C.3 D.44.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A. B. C. D.5.实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示．若b+d＝0，则下列结论正确的是（）A.b+c0 B.1 C.adbc D.|a||b|6.如图是30名学生A，B两门课程成绩的统计图，若记这30名学生A课程成绩的方差为，B课程成绩的方差为，则，的大小关系为（）A. B. C. D.不确定7.如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（）A.24 B.12 C.18 D.21二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．8.某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了_____米．9.如图所示的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为(－7，－4)，白棋④的坐标为(－6，－8)，那么黑棋①的坐标应该是________．10.已知一元二次方程的两根为与，则的值为_______．11.如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是______．12.已知是方程的一组解，任写出一组符合题意的、值，则______，______．13.如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，则的长为______．14.图中的小正方形边长都相等，若，则点可能是图中的_______．15.初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为______．三、计算题：本大题共2小题，共10分．16.计算：．17.已知，求的值．四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.解不等式组：19.已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC．求作：点P，使得AP＝AB，且．作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆；②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交于点D（异于点C）；③连接DA并延长交于点P．所以点P就是所求作的点．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（____________________）（填推理的依据），由作图可知，，∴______．∴．20.如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠B＝90°．（1）若AB＝4，BC＝3，①求Rt△ABC外接圆的半径；②求Rt△ABC内切圆的半径；（2）连接AO并延长交BC于点D，若AB＝6，tan∠CAD＝，求此⊙O的半径．21.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=，AB⊥BC．（1）求sin∠ABD的值．（2）若∠BCD=120°，求CD的长．22.某社区通过公益讲座的方式普及垃圾分类知识．为了了解居民对相关知识的了解情况及讲座效果，请居民在讲座前和讲座后分别回答了一份垃圾分类知识问卷，从中随机抽取20名居民的两次问卷成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．这20名居民讲座前、讲座后成绩得分统计图如下：b．这20名居民讲座前、讲座后成绩的平均数、中位数、方差如下平均数中位数方差讲座前72.071.599.7讲座后86.8m88.4c．结合讲座后成绩，被抽取的20名居民中有5人获得“参与奖”，有7人获得“优秀奖”，有8人获得“环保达人奖”，其中成绩在这一组的是：80828385878888根据以上信息，回答下列问题：（1）居民小张讲座前的成绩为80分，讲座后的成绩为95分，在图中用“○”圈出代表居民小张的点；（2）写出表中的值；（3）参加公益讲座的居民有160人，估计能获得“环保达人奖”的有_____人．23.如图是某公园人工湖上的一座拱桥的示意图，其截面形状可以看作是抛物线的一部分．经测量拱桥的跨度AB为12米，拱桥顶面最高处到水面的距离CD为4米．（1）在边长为1的正方形网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描出点A，B，C，并用平滑曲线连接；（2）结合（1）中所画图象，求出该抛物线的表达式；（3）现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，顶棚到水面的高度为米．当游船从拱桥正下方通过时，为保证安全，要求顶棚到拱桥顶面的距离应大于米，请判断该游船能否安全通过此拱桥．24.如图，矩形的顶点B，A分别在x轴，y轴上，点C坐标是，D为边上一点，将矩形沿折叠，点C落在x轴上的点E处，的延长线与x轴相交于点（1）如图1，求点D的坐标；（2）如图2，若P是上一动点，交于M，交于N，设，，求s与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等设的长度为，矩形区域的面积为（1）是否存在的值，使得矩形的面积是；（2）为何值时，有最大值？最大值是多少？26.如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且．（1）求证：；（2）点关于直线的对称点为，连接，，①根据题意将图补全；②在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明．27.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AC2=AD·AB；（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．详解：将77800用科学记数法表示为：．故选B．点睛：本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】C【分析】根据指数的计算法则计算即可.【详解】解：A、不能合并，错误；B、，错误；C、，正确；D、，错误；故选C．【点睛】本题主要考查指数的计算法则，是考试的重点，应当熟练的掌握.3.【答案】B【分析】由，得出，即可得出选项【详解】解：∵，∴大于且小于的整数是2．故选：B【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，在正数范围内，一个数越大，则它的算术平方根也越大．4.【答案】A【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，故选：A．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．5.【答案】D【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得a＜b＜0＜c＜d，根据有理数的运算，可得答案．【详解】解：∵b+d＝0，由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得a＜b＜0＜c＜d，A、∵b+d＝0，∴b+c＜0，故A不符合题意；B、＜0，故B不符合题意；C、ad＜bc＜0，故C不符合题意；D、|a|＞|b|＝|d|，故D正确；故选：D．【点睛】本题考查了实数与数轴，有理数的运算，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出a＜b＜0＜c＜d是解题关键．6.【答案】A【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．【详解】方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由图可知，B课程成绩的波动大，A课程成绩的波动小，∴；故选：A．【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．7.【答案】A【分析】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解．【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：，这段高度为：，设匀速注水的水流速度为，则，解得，即匀速注水的水流速度为；“几何体”下方圆柱的高为，则，解得，所以“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据题意得，解得，即“几何体”上方圆柱的底面积为，故选：A．【点睛】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键．二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分．8.【答案】9【分析】用潜艇从海平面以下的高度减去上升到海平面以下的高度，就是潜艇上升的高度，据此解答．【详解】根据题意得：﹣18﹣（﹣27）=9（米）．故答案为9．【点睛】本题考查了有理数的减法运算，根据题意列出算式是解答此题的关键．9.【答案】（-3，-7）【详解】根据白棋的坐标，可确定如图，所示的平面直角坐标系，可得黑棋①的坐标为(－3，－7)．10.【答案】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，将分式通分，代入即可求解．【详解】解：∵一元二次方程，即，的两根为与，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．11.【答案】【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握三角函数定义．构造直角三角形由勾股定理求出长，由锐角的正弦定义即可求解．【详解】如图，利用格点作交的延长线于点D，是直角三角形，，，故答案为：12.【答案】①.②.【分析】把方程组解代入，即得到关于的一个方程，有无数个解，任意写出一个即可．【详解】解：把代入方程可得：时，有故答案为：，．【点睛】本题考查了二元一次方程的解的意义．熟记相关定义即可．13.【答案】【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先利用勾股定理求出对角线的长，再证明，根据对应边成比例即可求出的长．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，E是边的中点，，，，，，，，解得，故答案为：．14.【答案】点D【分析】设图中小正方形的边长为1，由勾股定理可计算出的三边长，再计算出点M、F分别与A、B、C、D四点的距离，即可作出判断．【详解】解：设图中小正方形的边长为1，∵，由勾股定理得：，，由于，显然点A不可能是点Q；∵，∴，∴，即点D是点Q；∵，∴点B不是点Q；同理，点C不是点Q；∴点可能是图中的点D；故答案为：点D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理，利用勾股定理求得各线段的长度是关键．15.【答案】【分析】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，由“销售量的比为时，总获利为”及利润率公式，可求得a与b的关系，则可求得销售量的比为时的总获利．【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，则，解得，当销售量的比为时，总获利为：，故答案为：．三、计算题：本大题共2小题，共10分．16.【答案】4【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．【详解】解：．【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．17.【答案】9．【分析】将化为，整体代入化简后的代数式即可．【详解】解：∵，∴.∴．【点睛】本题考查整式的混合运算及化简求值，掌握完全平方公式和单项式乘多项式的法则正确计算是解题关键．四、解答题：本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.【答案】【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案．【详解】解：解不等式①，得解不等式②，得在数轴上表示不等式①、②的解集，所以这个不等式组的解集是．【点睛】本题考查的是解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．19.【答案】（1）见解析（2）圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC【分析】（1）根据作法按步骤作图即可；（2）根据圆周角定理进行证明即可【小问1详解】解：如图所示，即为所求；

【小问2详解】证明：连接PC．∵AB＝AC，∴点C在上．∵，∴（_圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半__）（填推理的依据），由作图可知，，∴_∠BAC__．∴．故答案为：圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，∠BAC．【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．20.【答案】（1）①;②1（2）【分析】（1）①先求得线段AC的长度，然后取AC的中点H，得到AH的长即为△ABC的外接圆半径；②过点O作于点E，于点F，于点G，然后可得四边形OEBF是正方形，设半径为1，结合点O是的内心可得AF，CE的长度，然后由切线长定理得到，，进而得到，最后利用勾股定理求得r的值；（2）设半径为r，得到，，由内心的定义可知，然后利用正切值求得的大小，即为结果．【小问1详解】解：（1）①如图1，取AC的中点H，∵，∴点H是的外接圆圆心．∵，，，∴A，∴的外接圆半径为；②如图2，过点O作于点E，于点F，于点G，则．，∴四边形OEBF是正方形，设半径为r，则，是的内切圆，，，∴，，∴.，在中，，，解得或(不符合题意舍去)，内切圆的半径为l；【小问2详解】解：如图2，设半径为r，则，．是的内切圆，.，,，解得，的半径为．【点睛】本题考查了三角形的外接圆和内切圆的性质、解直角三角形，熟知圆的切线长定理是解题关键．21.【答案】（1）sin∠ABD=；（2）CD=【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．设AE=a．在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出a，即可解决问题；（2）作CF⊥DE于F．首先证明四边形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解决问题．【详解】解：（1）作DE⊥AB于E，设AE=a．在Rt△ADE中，∵∠A=60°，AE=a，∴∠ADE=30°，∴AD=2a，DE=a，∵AD：AB=2：3，∴AB=3a，EB=2a，在Rt△DEB中，（a）2+（2a）2=（）2，解得a=1，∴DE=，BE=2，∴sin∠ABD=．（2）CF⊥DE于F．∵CB⊥AB，CF⊥DE，∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°，∴四边形CFEB是矩形，∴CF=EB=2，BC=EF，∵∠DCB=120°，∠FCB=90°，∴∠DCF=30°，∴DF=CF•tan30°=，∴CD=2DF=．【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】（1）见解析（2）（3）64【分析】（1）找出横坐标是80，纵坐标是95的点即可；（2）根据中位数的定义求解；（3）利用样本估计总体思想求解．【小问1详解】解：代表居民小张的点如下图所示：【小问2详解】解：将讲座后20人的成绩从低到高排序，第10名和第11名的成绩分别为87，88，因此中位数；【小问3详解】解：（人），即估计能获得“环保达人奖”的有64人，故答案为：64．【点睛】本题考查统计图、中位数、利用样本估计总体等知识点，解题的关键是看懂所给统计图，掌握中位数的定义，能够利用样本估计总体思想解决问题．23.【答案】（1）见详解（2）（3）能安全通过，理由见详解【分析】（1）以点A为原点，所在的直线为轴，过点作垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系即可；（2）待定系数法求抛物线的表达式即可；（3）游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为游船也关于直线对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米，当时，求出的值，再进行比较即可．【小问1详解】以点A为原点，所在的直线为轴，过点作垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，【小问2详解】解：，根据交点式，设抛物线的表达式为，代入点得：，抛物线的表达式为；【小问3详解】解：能安全通过，理由如下:游船从拱桥正下方通过时，抛物线的对称轴为游船也关于直线对称，宽度为4米，对称轴左右两边各2米当时，，，故能安全通过．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24.【答案】（1）（2）（3）存在，或或【分析】（1）设，则，再求出的长，在中，根据勾股定理求出a的值，即可求解；（2）延长交于，则，先证明，可得，从而得到，在中，由勾股定理可得，可得，从而得到，进而得到，可证得，可得到，再证明，即可求解；（3）分三种情况：当时；当时；当时，即可求解．【小问1详解】解：在矩形中，，，，设，则，，，在中，，，在中，由勾股定理得：，，，，；【小问2详解】如图，延长交于，则，∵，，，，，由（1）知：，，又，，，，在中，由勾股定理得：，，，，∵，，平分，，，，，，，，又，，，，，，即，；【小问3详解】分三种情况：①当时，如图3，，，∽，，，即，解得：，∴，，，；②当时，如图4，过M作于H，与的延长线交于点G，有，，，，即，，∽，，即，解得：，代入得：，∵，∴，，∴，∴，∴，，∴的纵坐标为：，；③当时，如图5，过点N作于Q，，，∽，，又，，，，，代入得：，同理可得：；综上，点P的坐标是或或【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，一次函数，等腰三角形的性质和判定，锐角三角函数的应用等知识，用分类讨论的数学思想和方程思想解决问题是解本题的关键．25.【答案】（1）不存在的值，使得矩形的面积是；（2）当时，有最大值，最大值是【分析】（1）设，由题意得，进而得，即可得到与的函数关系式，将数据代入即可判断；（2）将（1）中函数关系式进行变