湖南省长沙市维汉实验中学高一数学文摸底试卷含解析

湖南省长沙市维汉实验中学高一数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数,则它(

)A．是最小正周期为的奇函数

B．是最小正周期为的偶函数C．是最小正周期为2的奇函数

D．是最小正周期为的非奇非偶函数

参考答案：A2..已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.参考答案：C试题分析：因为双曲线的离心率为,所以,又因为双曲线中,所以,而焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,所以此双曲线的渐近线方程为,故选C.考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程.3.在钝角三角形ABC中，若，，则边长的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：D略4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．10+ B．10+ C．6+2+ D．6++参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD⊥底面PAD，BA⊥底面PAD，PA⊥AD，PA=AD=CD=2，AB=1．PC=2，PB=，BC=．∴S△PBC==．该几何体的表面积S=++++=6+．故选：C．5.设集合则实数a的取值范围是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.函数y=sin（2x+）的图象经过平移后所得图象关于点（，0）中心对称，这个平移变换可以是（）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）的图象的一个对称中心为（﹣，0），经过平移后所得图象关于点（，0）中心对称，故这个平移变换可以是向右平移个单位，故选：C．7.若正数a，b满足，则的最小值为（）A.6 B.9 C.12 D.15参考答案：A【分析】利用已知等式可得且；代入所求式子可得基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.【详解】由得：，即：，

当且仅当，即时取等号本题正确选项：【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够通过代入消元的方式，整理出符合基本不等式的形式.8.下列函数中，即是奇函数又是定义域内的增函数的是(

)A． B．y=|x+1|﹣1 C．y=x|x| D．y=x2参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】对四个选项，分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A，是奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上是增函数，不合题意；B，不是奇函数，不合题意；C，设f（x）=x|x|，可得f（﹣x）=﹣x|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x）所以函数y=x|x|是奇函数；又∵当x≥0时，y=x|x|=x2，在（0，+∞）上是增函数，且当x＜0时，y=x|x|=﹣x2，在（﹣∞，0）上是增函数∴函数y=x|x|是R上的增函数因此，函数y=x|x|是奇函数，且在其定义域内是函数，可得正确；D是偶函数，正确，故选：D．【点评】本题给出几何基本初等函数，要我们找出其中单调增的奇函数，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性及其判断方法的知识，属于基础题．9.设a=，b=log2，c=，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵，∴0＜a=＜20=1，＜log21=0，c=＞，∴b＜a＜c．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．10.已知函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期是2π B．C． D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数=sin（2x+），它的最小正周期为=π，故排除A；令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得它的对称轴方程为x=+，k∈Z，故排除B；令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故排除C；根据f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，为奇函数，故选：D．【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与圆：交于A，B两点，C为圆心，若，则a的值为___.参考答案：-1【分析】先由圆的方程得到圆心坐标与半径，根据圆心角，得到圆心到直线的距离，再由点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，列出等式，即可求出结果.【详解】由题意可得，圆的标准方程为，圆心，半径，因为，所以圆心到直线的距离为，又由点到直线的距离公式可得，圆心到直线的距离为，所以，解得.故答案为【点睛】本题主要考查直线与圆相交求参数的问题，熟记点到直线距离公式，以及几何法求弦长即可，属于常考题型.

12.设函数，若，则的取值范围为_____________参考答案：13.设函数，则=

.

参考答案：14.（5分）若，，，则=

．参考答案：考点： 角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．专题： 综合题．分析： 根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．解答： ∵∴∵，∴，∴===故答案为：点评： 本题考查角的变换，考查差角余弦公式的运用，解题的关键是进行角的变换．15.若角α∈（﹣π，﹣），则﹣=

．参考答案：﹣2tanα【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．【解答】解：∵角α∈（﹣π，﹣），则﹣=||﹣||=﹣﹣（﹣）=﹣=﹣2tanα，故答案为：﹣2tanα．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．16.已知集合A＝，则集合A的子集的个数是_______．

参考答案：817.已知等比数列的首项为公比为则点所在的定直线方程为_____________________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝loga(x－5)＋83(a>0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p＝f(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．

参考答案：解：(1)t∈(0,14]时，设P＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，将(14,81)代入得c＝－t∈(0,14]时，P＝f(t)＝－(t－12)2＋82t∈(14,40]时，将(14,81)代入y＝loga(x－5)＋83，得a＝∴P＝f(t)＝(2)t∈(0,14]时，－(t－12)2＋82≥80解得12－2≤t≤12＋2，∴t∈[12－2，14]t∈[14,40]时，log(t－5)＋83≥80解得5<t≤32，∴t∈[14,32]，∴t∈[12－2，32]即老师在t∈[12－2，32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳．

19.(本小题满分12分)已知奇函数在定义域上单调递减，求使不等式成立的实数的取值范围。参考答案：20.(本小题满分12分)如图所示是一个几何体的直观图及它的三视图(其中主视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图所示)，

(Ⅰ)求四棱锥的体积；(Ⅱ)若为的中点，求证：.

参考答案：解(Ⅰ)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，······2分PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，.....4分∴VP－ABCD＝PAxSABCD＝×4×4×4＝...........................5分(Ⅱ)连BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，...................7分∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，................................8分∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE...................10分又∵BC⊥面APEB，∴BC⊥AE，∴AE⊥面PBG，∴AE⊥PG.

12分略21.现有甲、乙两个投资项目，对甲项目投资十万元，据对市场120份样本数据统计，年利润分布如下表：年利润1.2万元1.0万元0.9万元频数206040对乙项目投资十万元，年利润与产品质量抽查的合格次数有关，在每次抽查中，产品合格的概率均为，在一年之内要进行2次独立的抽查，在这2次抽查中产品合格的次数与对应的利润如下表：合格次数2次1次0次年利润1.3万元1.1万元0.6万元记随机变量X,Y分别表示对甲、乙两个项目各投资十万元的年利润．（1）求的概率；（2）某商人打算对甲或乙项目投资十万元，判断哪个项目更具有投资价值，并说明理由．参考答案：（1）；（2）从长期投资来看，项目甲更具有投资价值．【分析】（1）由的所有情况共有,由此能求出的概率；（2）求出随机变量的分布列和及随机变量的分布列和,由,且的概率比的概率更大,得到从长期投资来看,项目甲更具有投资价值．【详解】（1）的所有情况有:,,所以.（2）随机变量的分布列为:1.21.00.9

所以,随机变量的分布列为：1.31.10.6

所以,因为,且的概率比的概率更大,所以从长期投资来看,项目甲更具有投资价值.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查概率公式的应用,考查数据分析能力.22.已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C到P的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d，发现|CP|与d相等，所以得到P为MN的中点，所以以MN为直径的圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△＞0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a存在，由直线l2垂直平分弦AB得到圆心必在直线l2上，根据P与C的坐标即可求出l2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，即可求出直线ax﹣y+1=0的斜率，进而求出a的值，经过判断求出a的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a不存在．【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，|CP|=，而弦心距d=，所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0