高考数学二轮复习 专题九 解析几何 第2讲 圆锥曲线的定义与标准方程专题强化训练 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题九解析几何第2讲圆锥曲线的定义与标准方程专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1．已知方程eq\f(x2,2－k)＋eq\f(y2,2k－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A．(eq\f(1,2)，2) B．(2，＋∞)C．(1，2) D．(eq\f(1,2)，1)解析：选C.由题意可得，2k－1>2－k>0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k－1>2－k，,2－k>0，))解得1<k<2，故选C.2．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，eq\r(3))是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1 D．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1解析：选A.设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)．由点(2，eq\r(3))在椭圆上知eq\f(4,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，故|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2·2c，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，又c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6，故选A.3．设F1，F2是双曲线x2－eq\f(y2,24)＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．4eq\r(2) B．8eq\r(3)C．24 D．48解析：选C.由题知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2,3|PF1|＝4|PF2|))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝8,|PF2|＝6)).又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|×|PF2|＝24.4.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为()A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝eq\r(3)x解析：选C．如图，分别过点A，B作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1.由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.连接A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于点F1，则点F1为AA1的中点，设l交x轴于点K，则|KF|＝|A1F1|＝eq\f(1,2)|AA1|＝eq\f(1,2)|AF|，即p＝eq\f(3,2)，故选C.5．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1 D．以上都不对解析：选C.2a＋2b＝18，a＋b＝9，2c＝6，c＝3.c2＝a2－b2＝9，a－b＝1，a＝5，b＝4，故eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1或eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1.故选C.6．已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，eq\r(2)为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为()A.eq\f(y2,3)－x2＝1 B．eq\f(x2,3)－y2＝1C.eq\f(y2,2)－eq\f(x2,2)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1解析：选D.设双曲线C的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，所以4＝a2＋b2.又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±eq\f(b,a)x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为eq\f(2b,\r(b2＋a2))＝eq\r(2)，所以b＝eq\r(2)，则a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，故选D.7．设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，椭圆的离心率为eq\f(1,2)，则此椭圆的方程为()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1 B．eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1 D．eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析：选B.依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－n2＝c2＝4,\f(c,m)＝\f(1,2)))，由此解得m＝4，n2＝12，因此所求的椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.8．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦点分别为F1、F2，弦AB过F1，若△ABF2的内切圆周长为π，A、B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则|y1－y2|的值为()A.eq\f(5,3) B．eq\f(10,3)C.eq\f(20,3) D．eq\f(\r(5),3)解析：选A.易知△ABF2的内切圆的半径r＝eq\f(1,2)，根据椭圆的性质结合△ABF2的特点，可得△ABF2的面积S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×2c×|y1－y2|，其中l为△ABF2的周长，且l＝4a，代入数据解得|y1－y2|＝eq\f(5,3).9．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1 B．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,80)－eq\f(y2,20)＝1 D．eq\f(x2,20)－eq\f(y2,80)＝1解析：选A.∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的焦距为10，∴c＝5＝eq\r(a2＋b2)①，又双曲线渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，且P(2，1)在渐近线上，∴eq\f(2b,a)＝1，即a＝2b②，由①②解得a＝2eq\r(5)，b＝eq\r(5)，∴双曲线的方程为eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1，故选A.10．抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是()A．(0，a) B．(a，0)C．(0，eq\f(1,16a)) D．(eq\f(1,16a)，0)解析：选C.将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝eq\f(1,4a)y(a≠0)，所以焦点坐标为(0，eq\f(1,16a))，所以选C.二、填空题11．已知F1、F2是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的两个焦点，过点F2作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，则△F1AB的周长为________．解析：由已知可得△F1AB的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8.答案：812．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值为________．解析：eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(|BC|＋|BA|,|AC|)＝eq\f(2a,2c)＝eq\f(a,c)＝eq\f(5,4).答案：eq\f(5,4)13．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是________．解析：由双曲线的方程知a＝1，b＝eq\r(－\f(1,m))，又b＝2a，所以eq\r(－\f(1,m))＝2，解得m＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)14．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．解析：设点Q的坐标为(eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，y0)，由|PQ|≥|a|，得yeq\o\al(2,0)＋(eq\f(yeq\o\al(2,0),4)－a)2≥a2.整理，得yeq\o\al(2,0)(yeq\o\al(2,0)＋16－8a)≥0，因为yeq\o\al(2,0)≥0，所以yeq\o\al(2,0)＋16－8a≥0，即a≤2＋eq\f(yeq\o\al(2,0),8)恒成立．而2＋eq\f(yeq\o\al(2,0),8)的最小值为2，所以a≤2.答案：(－∞，2]三、解答题15．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为e＝eq\f(\r(3),2)，M是椭圆C上的一点，且点M到椭圆C两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的左顶点A的直线l交椭圆于另一点B，P(0，t)是y轴上一点，满足|PA|＝|PB|，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝4，求实数t的值．解：(1)由已知得2a＝4，则a＝2，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以c＝eq\r(3)，b2＝1，所以椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)易知A(－2，0)，设B(x1，y1)，根据题意可知直线l的斜率存在，可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，把它代入椭圆C的方程，消去y，整理得：(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0，由根与系数的关系得－2＋x1＝eq\f(－16k2,1＋4k2)，则x1＝eq\f(2－8k2,1＋4k2)，y1＝k(x1＋2)＝eq\f(4k,1＋4k2).所以线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8k2,1＋4k2)，\f(2k,1＋4k2))).①当k＝0时，则有B(2，0)，线段AB的垂直平分线为y轴，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2，－t)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(2，－t)，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－4＋t2＝4，解得t＝±2eq\r(2).②当k≠0时，则线段AB的垂直平分线的方程为y－eq\f(2k,1＋4k2)＝eq\f(－1,k)(x＋eq\f(8k2,1＋4k2))．因为P(0，t)是线段AB垂直平分线上的一点，令x＝0，得t＝－eq\f(6k,1＋4k2)，于是eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－2，－t)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(x1，y1－t)，由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－2x1－t(y1－t)＝eq\f(4（16k4＋15k2－1）,（1＋4k2）2)＝4，解得：k＝±eq\f(\r(14),7)，代入t＝－eq\f(6k,1＋4k2)，解得t＝±eq\f(2\r(14),5).综上，满足条件的实数t的值为t＝±2eq\r(2)或t＝±eq\f(2\r(14),5).16．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点C(－2，0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝12.(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．解：(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px中，得y2－2pmy＋4p＝0.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2),4p2)＝4.因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB