高考数学二轮复习 专题八 立体几何 第2讲 空间直线与平面的位置关系专题强化训练 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习专题八立体几何第2讲空间直线与平面的位置关系专题强化训练理(时间：45分钟满分：60分)一、选择题1．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线a，b，则下列说法正确的是()A．若a∥b，b⊂α，则a∥αB．若a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥βC．若α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则a⊥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析：选D.对于A，根据线面平行的判定，a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故A不正确；对于B，根据面面平行的判定，a，b相交时，α∥β，故B不正确；对于C，根据面面垂直的性质，当a⊂α，α⊥β，α∩β＝b，a⊥b时，a⊥β，故C不正确；对于D，若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则由直线与平面垂直的性质定理知a⊥b，故D正确．故选D.2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且BP＝eq\f(2,3)BD1，则()A．MN∥平面APCB．C1Q⊥平面APCC．A，P，M三点共线D．平面MNQ∥平面APC解析：选C.由题知，MN∥AC，连接AM，CN，易得AM，CN交于点P，所以选项A错误，选项C正确；连接AN，易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面ACMN，即C1Q∥平面APC，选项B错误；由题意易知MN⊂平面APC，所以平面MNQ与平面APC相交．故选C.3．已知a、b为异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AC＝AD，BC＝BD，则直线a、b所成的角为()A．90° B．60°C．45° D．30°解析：选A.取CD的中点E，连接AE、BE，因为AC＝AD，BC＝BD，所以CD⊥BE，CD⊥AE，则CD⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，所以CD⊥AB，即直线a、b所成的角为90°.故选A.4.在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝12，平面DEFH分别与AB、BC、SC、SA交于D、E、F、H，且它们分别是AB、BC、SC、SA的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为()A．18 B．18eq\r(3)C．36 D．36eq\r(3)解析：选A.∵D、E、F、H分别是AB、BC、SC、SA的中点，∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB，EF∥SB，则四边形DEFH是平行四边形，且HD＝eq\f(1,2)SB＝6，DE＝eq\f(1,2)AC＝3.取AC的中点O，连接OB、SO，∵SA＝SC＝12，AB＝BC＝6，∴AC⊥SO，AC⊥OB，又SO∩OB＝O，∴AO⊥平面SOB，∴AO⊥SB，则HD⊥DE，即四边形DEFH是矩形，∴四边形DEFH的面积S＝6×3＝18，故选A.5．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC的中点，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.eq\f(1,5) B．eq\f(2\r(6),25)C.eq\f(1,25) D．eq\f(2,5)解析：选C.如图所示，连接B1C交BC1于E，连接DE，∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴B1E＝EC.又AD＝DC，∴DE∥AB1，则∠DEB或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角，在△DEB中，DE＝5，BD＝4eq\r(3)，BE＝5，∴cos∠DEB＝eq\f(52＋52－（4\r(3)）2,2×5×5)＝eq\f(1,25).故选C.6．正四棱锥S­ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为()A.eq\f(\r(6),6) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),6) D．eq\f(\r(6),3)解析：选B.∵正四棱锥S­ABCD中，SA＝AB＝2，∴正四棱锥S­ABCD的高为eq\r(2)，在三棱锥S­ABC中，S△ABC＝2，VS­ABC＝eq\f(1,3)×2×eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3).又在三棱锥A­SBC中，S△SBC＝eq\r(3)，VS­ABC＝VA­SBC，∴三棱锥A­SBC的高h＝eq\f(2\r(6),3)，∴直线AC与平面SBC所成角的正弦值为eq\f(h,AC)＝eq\f(2\r(6),3×2\r(2))＝eq\f(\r(3),3).故选B.7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A­BCD中，下面命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：选D.由题知，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.8．如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则BC与平面A′CD所成的角的正弦值为()A.eq\f(\r(6),2) B．eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)解析：选B.∵A′B＝A′D＝1，BD＝eq\r(2)，∴A′B2＋A′D2＝BD2，∴BA′⊥A′D.∵平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，∵BA′⊂平面A′BD，∴BA′⊥CD.∵A′D∩CD＝D，∴BA′⊥平面A′CD，∴∠BCA′为BC与平面A′CD所成的角．∵CD＝1，BD＝eq\r(2)，∴BC＝eq\r(3)，∴BC与平面A′CD所成的角的正弦值为eq\f(\r(3),3).故选B.9．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角的大小为()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)解析：选A.如图，取B1C1的中点D，连接AD，A1D，∵侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，∴三棱柱ABC­A1B1C1是正三棱柱，∴BB1∥AA1，∴AA1与平面AB1C1所成的角即是BB1与平面AB1C1所成的角，∵B1C1⊥A1D，B1C1⊥AA1，∴B1C1⊥平面AA1D，∴平面AA1D⊥平面AB1C1，∴AA1与平面AB1C1所成的角为∠A1AD，∵AA1＝3，A1D＝eq\r(3)，∴tan∠A1AD＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A1AD＝eq\f(π,6)，∴BB1与平面AB1C1所成的角为eq\f(π,6).故选A.10.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2eq\r(3)，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y，设BP＝x，则当x∈[1，5]时，函数y＝f(x)的值域为()A．[2eq\r(6)，6eq\r(6)] B．[2eq\r(6)，18]C．[3eq\r(6)，18] D．[3eq\r(6)，6eq\r(6)]解析：选D.当P点从B点向D1运动时，截面的周长y越来越大，当截面经过平面AB1C时，周长最大，当P点继续移动时，在截面AB1C到截面A1DC1之间，截面周长不变，当P点继续移动时，截面周长越来越小，所以截面周长的最大值就是△AB1C的周长．因为正方体的棱长为2eq\r(3)，所以AC＝2eq\r(6)，即周长为6eq\r(6)，当x＝1时，截面的周长最小，如图，设△EFG的边长为eq\f(y,3)，BF2＋BE2＝EF2＝eq\f(y2,9)，又BF＝BE，所以BE＝eq\f(\r(2)y,6)，连接EP交FG于M点，连接BM，因为P是等边△EFG的中心，所以FM＝eq\f(y,6)，所以EM2＝EF2－FM2＝(eq\f(\r(3)y,6))2，因为EP＝eq\f(2,3)EM，所以EP＝eq\f(\r(3)y,9).又BP2＋EP2＝BE2，即12＋(eq\f(\r(3)y,9))2＝(eq\f(\r(2)y,6))2，得y＝3eq\r(6)，所以f(x)的值域为[3eq\r(6)，6eq\r(6)]．故选D.二、填空题11．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列命题：①若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②若α∥β，l∥α，则l∥β；③若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：由直线与平面平行的性质定理，知命题①正确；若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，命题②错误；∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α.又∵α∥β，∴m⊥β，命题③正确．答案：①③12．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为________．解析：取BB1的中点M，连接FM，A1M，易知FM⊥平面ABB1A1，EA1⊥平面ABB1A1，所以线段A1M是线段EF在平面ABB1A1上的射影．连接C1E，设AB＝1，直线EF与平面ABB1A1所成的角是θ，则有EF＝eq\r(C1E2＋FCeq\o\al(2,1))＝eq\r(C1Deq\o\al(2,1)＋D1E2＋FCeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，A1M＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋B1M2)＝eq\r(2)，因此cosθ＝eq\f(A1M,EF)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)，即直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值是eq\f(\r(6),3).答案：eq\f(\r(6),3)13．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝eq\r(3)，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥E­ABCD的体积为________．解析：如图所示，BE过球心O，∴DE＝eq\r(42－32－（\r(3)）2)＝2，∴VE－ABCD＝eq\f(1,3)×3×eq\r(3)×2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)14．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，若BC⊥AC，∠BAC＝eq\f(π,3)，AC＝4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q＝3QC，则PQ的长度为________．解析：由题意知，AB＝8，过点P作PD∥AB交AA1于点D，连接DQ(图略)，则D为AM中点，PD＝eq\f(1,2)AB＝4.又∵eq\f(A1Q,QC)＝eq\f(A1D,AD)＝3，∴DQ∥AC，∠PDQ＝eq\f(π,3)，DQ＝eq\f(3,4)AC＝3，在△PDQ中，PQ＝eq\r(42＋32－2×4×3×cos\f(π,3))＝eq\r(13).答案：eq\r(13)三、解答题15．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．求证：(1)EC∥平面PAD；(2)平面EAC⊥平面PBC.证明：(1)作线段AB的中点F，连接EF，CF，则AF＝CD，AF∥CD.∴四边形ADCF是平行四边形，则CF∥AD.又EF∥AP，且CF∩EF＝F，∴平面CFE∥平面PAD.又EC⊂平面CEF，∴EC∥平面PAD.(2)∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥AC.∵ABCD是直角梯形，且AB＝2AD＝2CD＝2，∴AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(2).∵AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC.∵PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.16.如图，几何体EF­ABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，AD＝2，AB＝4，∠ADF＝90°.(1)求证：AC⊥FB；(2)求几何体EF­ABCD的体积．解：(1)证明：由题意得，AD⊥DC，AD⊥DF，且DC∩DF＝D，∴AD⊥平面CDEF，∴AD⊥FC.∵四边形CDEF为正方形，∴DC⊥FC，∵DC∩AD