2024年上海高考数学复习考点5三角函数（2种题型8个易错考点）含详解

考点05三角函数（20种题型8个易错考点）

❶【课程安排细目表】

一、真题抢先刷，考向提前知

二、考点清单

三、题型方法

四、易错分析

五.刷压轴

但一、真题抢先刷，考向提前知

一.选择题（共2小题）

TTTT

1.（2021•上海）已知/（x）=3sinx+2,对任意的见曰0,—],都存在么曰0,—],使得f（xi）=4（m+6）+2成

22

立，则下列选项中，8可能的值是（）

A.B.AZLc.D.-I2L

5555

2.（2020•上海）"a=B"是ttsin2a+cos2p=l＞,的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

填空题（共5小题）

3.（2022•上海）函数/（x）=cos2x-sin2x+l的周期为.

TT

4.（2022•上海）右tana=3,则tan（a+——）=.

4

5.（2021•上海）已知。＞0,存在实数＜p,使得对任意〃eN*,cos（〃0+（p）＜亚,则0的最小值是

2

6.（2020•上海）已知3sin2x=2sirtGxG（0,n）,贝Ux=.

7.（2020•上海）函数y=tan2x的最小正周期为.

三,解答题（共1小题）

8.(2020•上海)已知函数/(%)=sino)x,u)>0.

(1)f(x)的周期是4ir,求3,并求/(%)=」>的解集；

2

(2)已知3=1,g(x)=f(x)+V3f(-X)XG[O,A],求g(x)的值域.

24

Q二、考点清单

一.任意角的概念

一、角的有关概念

1.从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角.

2.从终边位置来看，可分为象限角与轴线角.

3.若0与a是终边相同的角，则0用a表示为0=2%r+a（依Z）.

【解题方法点拨】

角的概念注意的问题

注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类

是区间角.

二.终边相同的角

终边相同的角：

K360°+a（AeZ）它是与a角的终边相同的角，*=0时，就是a本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一

定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就

是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件.

还应该注意到：A=｛xk=&・360°+30°,kCZ｝与集合B=｛x|x=妙360°-330°,任Z｝是相等的集合.

相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是｛》仅=火360°,依Z｝；与x轴负方向终边相同的角的集合是｛4r=H360°

+180°,AWZ｝；与y轴正方向终边相同的角的集合是｛x|x=U360°+90°,A6Z｝；与），轴负方向终边相同的角的集

合是｛如=上360°+270°,kEZ｝

【解题方法点拨】

终边相同的角的应用

（1）利用终边相同的角的集合S=｛所=2E+a,髭Z｝判断一个角/?所在的象限时，只需把这个角写成［0,2TT）范

围内的一个角a与2n的整数倍的和，然后判断角”的象限.

（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后

通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

三.象限角、轴线角

在直角坐标系内讨论角

(1)象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就认为这个角是

第几象限角.

(2)若角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

(3)所有与角a终边相同的角连同角a在内，可构成一个集合5=｛期?=«+如360°,k&Z].

【解题方法点拨】

(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90。的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、

第三类是区间角.

(2)角度制与弧度制可利用180°进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

(3)注意熟记0。〜360°间特殊角的弧度表示，以方便解题.

四.弧度制

1弧度的角

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,同=工，/是以角a作为圆心角时

r

所对圆弧的长，「为半径.

2.弧度制

把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值工与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关.

r

【解题方法点拨】

角度制与弧度制不可混用

角度制与弧度制可利用180°=mad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.

五.弧长公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a(rad),半径为r,则/=与，扇形的面积为S=2/r=L/a.

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

(2)从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.

(3)记住下列公式：①/=aR；③S=」(XR2.其中R是扇形的半径，/是弧长，a(0<a<2fr)为圆心

22

角，S是扇形面积.

六.扇形面积公式

弧长、扇形面积的公式

设扇形的弧长为/,圆心角大小为a（wd）,半径为r,则/=四，扇形的面积为S=2/r=」於必

22

【解题方法点拨】

弧长和扇形面积的计算方法

（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.

（3）记住下列公式：①上出@S=—IR-,③S=」a/?2.其中R是扇形的半径，/是弧长，a（0<a<2n）为圆心

22

角，S是扇形面积.

七.任意角的三角函数的定义

任意角的三角函数

1定义：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）,那么sina=»cosa=±,tan0=工.

x

2.几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在跑上，余弦线的起点都是原点,正

切线的起点都是（1,0）.

【解题方法点拨】

利用三角函数的定义求三角函数值的方法

利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：

（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r.若题目中已知角的终

边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）.

八.三角函数线

几何表示

三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都

是（1,0）.

如图中有向线段MP，OM,AT分别叫做角a的正弦线，余弦线和正切线.

九.三角函数的定义域

【概念】

函数的定义域指的是函数在自变量X的取值范围，通俗的说就是使函数有意义的X的范围.三角函数作为一类函

数，也有定义域，而且略有差别.

【三角函数的定义域】

以下所有的％都属于整数.

TTTT

①正弦函数：表达式为丫=$12；(2k-1)TT,(2H1)nJ,其中在［2击2击+彳-］单调递增，其他区间单调

递减.

②余弦函数：表达式为〉=851xe［(2Z-1)TT,(2H1)n］,其中在［2Kr-7T,2Hc］单调递增，其他区间单调递减.

③正切函数：表达式为丫=122；花(hr-子，垢+9)，在区间单调递增.

TTTT

④余切函数：表达式为)=cotr,尤(垢-勺，闻+勺)，在区间单调递减.

⑤正割函数：表达式为)=5%%,x&(2Kt-2-,2^rr+——)U(2Zrrt+—2^n+-1~'--),有secx・cosx=1.

2222

⑥余割函数：表达式为^=。53,xG(2Znt-TT,2Znr)U(2hr,2/nr+n),有cscx・sinx=1.

【考点点评】

这是一个概念，主要是熟记前面四种函数的定义域，特别是他们各自的单调区间和各自的周期，在书写的时候一定

不要忘了补充在Z.

十.三角函数值的符号

三角函数值符号记忆口诀

记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正).即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，

第四象限余弦为正.

十一.三角函数的周期性

周期性

①一般地，对于函数/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有/~(x+T)=f(x),

那么函数/(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②对于一个周期函数/CO,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正

周期.

③函数y=Asin(3x+cp),x€R及函数y=Acos(cox+(p)；AGR(其中A、3、<p为常数，且A¥0,3>0)的周期T

_2兀

3.

【解题方法点拨】

1.一点提醒

求函数y=Asin(3x+(p)的单调区间时，应注意3的符号，只有当3>0时，才能把3x+(p看作一个整体，代入y

=sin/的相应单调区间求解，否则将出现错误.

2.两类点

y=sinx,x€[0,2TT],y=cosx,x€[0,2TT]的五点是：零点和极值点(最值点).

3.求周期的三种方法

①利用周期函数的定义.f(x+D=f(x)

②利用公式：y=Asin(3x+(p)和y=Acos(cox+cp)的最小正周期为।,y=tan(3x+(p)的最小正周期为।「

③利用图象.图象重复的x的长度.

十二.诱导公式

【概述】

三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解

题大有裨益.

【公式】

①正弦函数：表达式为丫=51111;

兀兀

有sin(n+x)=sin(-x)=-sinx；sin(TT-x)=sinx,sin(----+x)=sin(——-x)=cosx

22

②余弦函数：表达式为了=<:0§1；

兀

有cos(n+x)=cos(TI-x)=-cosx,cos(-x)=cosx,cos(——-x)=sinx

2

③正切函数：表达式为丁=1@2；

7T

tan(-x)=-tanx,tan(-----x)=cotx,tan(n+x)=tanx

2

④余切函数：表达式为了=<：0吐；

兀、

cot(-x)=-cotr,cot(------x)=taruGcot(TT+X)=cotx.

2

【应用】

1、公式：

公式一：sin(a+2Zm)=sina,cos(a+2E)=cosa,其中尤Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)--sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(n-a)=-cosa.

公式五：sin=cosa,cos=sina.

公式六：sin=cosa,cos=-sina

2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限.

3、在求值与化简时，常用方法有：

(1)弦切互化法：主要利用公式tana=^£色化成正、余弦.

cosa

(2)和积转换法：利用(sin8±cos。)2=1±2sinOcos。的关系进行变形、转化.

(3)巧用"1"的变换：l=sin%+cos20=cos2。(l+tan20)=tan45°=….

4、注意：

(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化

锐.特别注意函数名称和符号的确定.

(2)在利用同角三角函数的平方关系时;若开方，要特别注意判断符号.

(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

十三.运用诱导公式化简求值

利用诱导公式化简求值的思路

1.“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数.

2.“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的

角的三角函数化为0°到180°的三角函数.

3.“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数.

4.“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得.

十四.正弦函数的图象

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx

图象IJ

二o\<

可

irr

定义域RR依z

值域[-1.1][-1,1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

/1兀»、

(2^IT-2kn.+-^—')(2Zrn-IT,2Kr)xZrrr—，AIT+)

2222

(依Z)；

（kez）；递减区间：（依Z）

递减区间：（2Znr,2丘+冗）

（2ICK+—,2垢+-^）（依Z）

22

（依Z）

TT

最值x=2lai+-^-（ACZ）时，y,naxx=2/nrkkWZ）时，ymax=无最值

1;

=1;

JTx=2Znr+ir（依Z）时，

x=2lcn--（依Z）时，

2ymin~1

y>min=-1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

TT

对称性对称中心：（hr,0）（依Z）对称中心：（内1+--，0）对称中心：（之，0）

22

TT

对称轴：x^kn+—,kWZ

2（依Z）（始Z）

对称轴：x=lai,依Z无对称轴

周期2n2TT7T

十五.正弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=Asin（皿+0）或y=Acos（皿+e）（其中，a>>0）的单调区间时，要视"皿+°”为一个整体，通过

解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

十六.正弦函数的奇偶性和对称性

【正弦函数的对称性】

正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（-x）=-siax.另外，正

TT

弦函数具有周期性，其对称轴为依Z.

2

十七.余弦函数的图象

定义域RRkez

值域[-1,1]1-1,1]R

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

\2kn-IT,2hr]（^ez）

（依Z）；（依Z）；

递减区间：递减区间：

[2Znr,2hr+ir]

（髭Z）（髭Z）

最值x=2Kr+（kWZ）时，ymax=x=2Znr（k€Z）时，）为如=无最值

1：1;

x=2hr-（依Z）时，x=2日+TT（依Z）时，

ymin=一1ymin=-1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称性对称中心：（hr,0）（髭Z）对称中心:（fcGZ）对称中心:（一Z）

对称轴：x—kn+,kWZ对称轴：x—kn,keZ无对称轴

周期2n2n豆

十八.余弦函数的单调性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=Asin（a）x+<p｝或y=4cos（3X+Q）（其中，a>>0）的单调区间时，要视“3x+（p”为一个整体，通过

解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

十九.正切函数的图象

单调性递增区间：递增区间：递增区间：

\2kn-—,2br+—]\2kn-IT,2hr]（^ez）

22

（依Z）；

aez）；

递减区间：

递减区间：

[2内r,2匕T+TC]

[2kn+—,2E+12L]

22（kWZ）

（kWZ）

最值x=2Air+（左WZ）时，ymax=x=2Znr（攵€Z）时，ymax~~无最值

1;1;

x=2lai-（依Z）时，x=2Zrn:+7r（kWZ）时，

ymin=-1ymin~1

奇偶性奇函数偶函数奇函数

TT

对称性对称中心：（hr,0）（依Z）对称中心：（内任」上,0）对称中心：（K2，o）

22

TT

对称轴：x^kn+—,依Z

2（Q）（kez）

对称轴：x=kn,k€Z无对称轴

周期2TI2n71

二十.正切函数的单调性和周期性

三角函数的单调性的规律方法

1.求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定.

2.求形如y=Asin（3x+（p）或），=Acos（3x+<p）（其中，co>O）的单调区间时，要视“3x+<p”为一个整体，通过

解不等式求解.但如果3<0,那么一定先借助诱导公式将3化为正数，防止把单调性弄错.

【正切函数的周期性】

正切函数y=tan_x的最小正周期为n,即tan（内T+X）=tamc.

二十一.正切函数的奇偶性与对称性

三角函数的奇偶性、周期性和对称性

1.判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概

念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解.

2.求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象.

二十二.函数y=Asin（3x+（p）的图象变换

函数产sinx的图象变换得到〉=加11（3x+0）（A>0,3>0）的图象的步骤

法一法二

一

禽

的出.v=sinK的图象画出〉=sin.r的图望

向左（护0）或11师1

平移16个小位横不标变为原来的'倍

向G眯

得到尸sin（x+s的图象得到.v=sin3X的图象

12一1

横器标变为］原来的倍

A向左（<pO）或白个单位

向右（M><0评移

I得到y=sin（on+叼的图象得到y=sin（*w+<P）的图象

纵器标变为快来的A倍纵坐标变为原来的A倍

得到y=A*i♦q）的图象

两种变换的差异

先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是㈤个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是

-L^-L（d>>o）个单位.原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的.

3

【解题方法点拨】

1.一个技巧

列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为工，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标.

4

2.两个区别

（1）振幅4与函数y=Asin（皿+0）+〃的最大值，最小值的区别：最大值M=4+〃，最小值机=-A+匕，故人=

M-m

~2'

（2）由y=sinx变换到y=Asin（3x+（p）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由丫=$出1的图象变换

到》=4$山（g+0）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是⑷个单位；而先

周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是‘立上（3>0）个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对x

3

而言，即无本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值.

3.三点提醒

（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；

（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；

（3）由y=Asin3的图象得到y=Asin（3x+（p）的图象时，需平移的单位数应为〔'而不是⑷.

3

二十三.由y=Asin（a）x+（p）的部分图象确定其解析式

根据图象确定解析式的方法：

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M,最小值为〃?，则A=3二生，后=火也，3由周期T确定，即由”

223

=丁求出，0由特殊点确定.

二十四.三角函数的最值

【三角函数的最值】

三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它

们的图象.在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元.化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一

个三角函数的一元函数.

二十五.同角三角函数间的基本关系

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2«+cos2o=1.

(2)商数关系：sin.『ana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(a+-2Znr)=sina,cos(a+2Znr)—cosa,其中依Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(ir+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa.

公式四：sin(ir-a)=sina,cos(n-a)=-cosa.

兀、/兀、.

公式五：sin(.-a)=cosa,cos(——-a)=sma.

T一2

兀、/兀、.

公式六:sin(.+a)=cosa,cos(----+a)=-sina

2

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a-P)：cos(a-P)=坪；

(2)C(a+p>：cos(a+p)=cosacos0-

(3)S(a+p)：sin(a+p)=si〃acY7s0+cosa5%B；

(4)S(«-P)：sin(a-p)=sinacos^-cosasinB；

(5)T(a+p)：tan(a+0)=lan£+tan1_

1-tanCltanP

(6)T,a邛储tan(a-0)=tan。-tan)

1+tanCLtanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a：sin2a=2sin-osa；

(2)Cia：cos2a=cos2a-sin%=2cos2a-1=1-Zsida；

(3)Tia：tan2a=2tan(I_.

1-tan2a

【解题方法点拨】

诱导公式记忆口诀：

对于角“"土a"(依Z)的三角函数记忆口诀"奇变偶不变，符号看象限"，"奇变偶不变”是指“当我为奇

2

数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当％为偶数时，函数名不变”.“符号看象限”是指“在a的三角函数值前面加上

当a为锐角时，原函数值的符号”.

二十六.两角和与差的三角函数

(1)C(a-p＞：cos(a-P)=cosacos0+sinasinB；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacos0-sicasin〈；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacos0+cosasinB；

(4)S(a-p)：sin(a-p)=sinacos0-cosasin0；

(5)7\a邛)：tan(a+p)=tan。+tan£.

1-tanCltanP

(6)T(a-p＞：tan(a-0)=tan。-tan-

1+tanCCtanB

二十七.二倍角的三角函数

【二倍角的三角函数】

二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即a=0的一种特例，其公式为：sin2a=2sina・cosa；

其可拓展为l+sin2a=(sina+cosa)2.

二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即a=0的一种特例，其公式为：cos2a=cos2a-sin2a

=2cos2a-1=1-2sin2a.

二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即a=B的一种特例，其公式为：tan2a=2tan^-对

l-tana

于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可.

二十八.半角的三角函数

【半角的三角函数】

半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系(正余弦的半角关系其实就是二倍角关系)，其公

aaaa2a

sinnsin

式为:②tan-5-1-cosa

aaasinCl

2c。与cos2^-1+cosa2cosr^-sirr^^cos-^-

二十九.三角函数的恒等变换及化简求值

【概述】

三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数,

主要的方法就是运用它们的周期性.

【公式】

TTTT

①正弦函数有y=sin(2内i+x)=sinx,sin(-^-+x)=sin-x)=cosx

兀

②余弦函数有丫=8§(2Kr+x)=cosx,cos-x)=sinx

7r

③正切函数有y=tan(Kr+x)=tari¥,tan(—^-x)=cotx,

2

④余切函数有了=31(-y-x)=tanx,cot(Mi+x)=coU.

三十.三角函数中的恒等变换应用

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2a+cos2a=1.

(2)商数关系：也三=tana.

cosa

2.诱导公式

公式一：sin(a+2攵n)=sina,cos(a+2fcn)=cosa,tan(a+2Ki)=tana,其中依Z.

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(n+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四：sin(n-a)=sina,cos(TE-a)=-cosa,tan(n-a)=-tana.

31jIji

公式五：sin(----a)=cosa,cos(----a)=sina,tan(----a)=cota.

222

公式六:sin(——+a)=cosa,cos(---+a)=-sina,tan(——+a)=-cota

222

3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(«-p＞：cos(a-p)=cosacosp+sinasinp；

(2)C(a+p＞：cos(a+p)=cosacosp-sinasinp；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinacosp+cosasinp；

(4)S(a-P)：sin(a-P)=sinacosp-cosasinp；

⑸7,a+做：tan(a+0)=tanO+tan£

1-tanCltanB

(6)T(a.p)：tan(a-0)tanCl-tan

1+tanQtanP

4.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2a：sin2a=2sinacosa；

(2)C2a：cos2a=cos-a-sina=2cosa-1=1-2sirra；

2tanQ

(3)T2a：tan2a=_.

1-tan?a

三十一.三角函数应用

1.三角函数模型的简单应用：1)在生活中的应用；2)；在建筑学中的应用；3)在航海中的应用；4)在物理学中

的应用.

2.解三角函数应用题的一般步骤：

(1)阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；

(2)建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；

(3)讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；

（4）作出结论.

【解题方法点拨】

1、方法与技巧：

（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决.

（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词.

（3）要能根据题意，画出符合题意的图形.

（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理.

2、注意：

（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量.

（2）解决应用问题要注重检验.

（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围.

三十二.解三角形

1.已知两角和一边（如A、B、C）,由A+B+C=n求C,由正弦定理求a、b.

2.已知两边和夹角（如a、b、c）,应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C

=Tt,求另一角.

3.已知两边和其中一边的对角（如b、A）,应用正弦定理求B,由A+B+C=TT求C,再由正弦定理或余弦定理

求c边，要注意解可能有多种情况.

4.已知三边a、b、c,应用余弦定理求4、B,再由A+8+C=m求角C.

5.方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指

锐角），通常表达成.正北或正南，北偏东XX度，北偏西XX度，南偏东XX度，南偏西XX度.

6.俯角和仰角的概念：

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角.如图中0E是

视线，是仰角，是俯角.

7.关于三角形面积问题

®S^ABC=^-aha=—bhh=—chc（ha^hb、〃c分别表示〃、b、c上的高）;

222

②Sz\ABC=-^«6sinC=」〃csinA=L/csinB；

222

③&A8C=2R2sinAsinBsinC.（R为外接圆半径）

@SAABC=-；

虫

---

@SAABC-Vs(sa)(sb)(sc)»(s=工Ca+b+c')')；

2

@S^ABC=r's,（r为△ABC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：

名称公式变形

内角和定理A+B+C=TT一+--------—，2A+2D—2TI-2C

2222

,2^22

余弦定理。2=必+。2-2Z?CCOSAcosA=----------

2bc

221

b=ci+c-2accosB2上2,2

cosB=-...-----

c1=a2+b2,-2abcosC2ac

2-22

cosC=3.上一£一

2ab

正弦定理f—=.b=c=2Ro=2RsinA,/?=2Rsin8,c=

sinAsinBsinC

22?sinC

R为AABC的外接圆半径

sinA=-^-,sinB=-^-,sinC=-^-

2R2R2R

射影定理acosB+hcosA=c

acosC+ccosA=b

bcosC+ccosB=a

①弘=^-aha=^-bhb—^-ch2SA

面积公式csinA=——

222be

②S△=L/戾inC=-^acsinB=—Z>csinAsinB=

222

2SA

③弘=3£

ac

4R

2SA

④§△=Js(s-a)(s-b)(s-c)，(s=*sinC=—巴

ab

(a+b+c))；

⑤$△=工(a+b+c)r

2

。为△ABC内切圆半径)

Q三、题型方法

一.弧度制（共1小题）

1.（2023•青浦区二模）已知函数y=V『x2,卷<x<£的图像绕着原点按逆时针方向旋转0（OWOWTT）弧度,

若得到的图像仍是函数图像，则0可取值的集合为.

二.扇形面积公式（共3小题）

2.（2023•徐汇区校级三模）已知扇形圆心角a=60°,a所对的弧长/=6m则该扇形面积为.

3.（2023•徐汇区校级三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为。（O<0<2TT）,面积为如，若tan（9+（p）=3,则

tan（p=.

4.（20