人教A版高中数学必修4.1.1 n次方根与分数指数幂（二）

【新教材】4.1.1n次方根与分数指数幂教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性。课程目标1.理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念．2.掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3.掌握分数指数幂的运算性质。数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。重点：（1）根式概念的理解；分数指数幂的理解；掌握并运用分数指数幂的运算性质.难点：根式、分数指数幂概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入我们已经知道…是正整数指数幂，它们的值分别为….那么，的意义是什么呢？这正是我们将要学习的知识.下面，我们一起将指数的取值范围从整数推广到实数.为此，需要先学习根式的知识.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本104-106页，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．n次方根定义一般地，如果xn＝a，那么X叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*个数n是奇数a＞0x＞0x仅有一个值，记为a＜0x＜0n是偶数a＞0x有两个值，且互为相反数，记为a＜0x不存在2．根式(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝.②eq\r(n,an)＝3．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)负分数指数幂规定：a＝＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义4．有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝(a＞0，b＞0，r∈Q)．四、典例分析、举一反三题型一根式的化简(求值)例1求下列各式的值【答案】解题技巧：（根式求值）（1）化简nan时,首先明确根指数n是奇数还是偶数,然后依据根式的性质进行化简;化简(na关键是明确na是否有意义,只要na有意义,则((2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.跟踪训练一1.化简(1)eq\r(n,x－πn)(x＜π，n∈N*)；(2)eq\r(6,4a2－4a＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2))).【答案】见解析【解析】(1)∵x＜π，∴x－π＜0.当n为偶数时，eq\r(n,x－πn)＝|x－π|＝π－x；当n为奇数时，eq\r(n,x－πn)＝x－π.综上可知，eq\r(n,x－πn)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(π－x，n为偶数，n∈N*，,x－π，n为奇数，n∈N*.))(2)∵a≤eq\f(1,2)，∴1－2a≥0，∴eq\r(6,4a2－4a＋1)＝eq\r(6,2a－12)＝eq\r(6,1－2a2)＝eq\r(3,1－2a).题型二分数指数幂的简单计算问题例2求值【答案】见解析【解析】解题技巧：(分数指数幂的运算技巧)1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.跟踪训练二1.计算(1)12527-23;(2)0.008-23;(3)812401-【答案】见解析【解析】(1)12527(2)0.008-23=(0.23)-23=0.2-2=1(3)812(4)(2a+1)0=1(5)56-35-题型三根式与分数指数幂的互化例3用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）【答案】见解析【解析】解题技巧：（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练三1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－eq\r(x)＝(－x)(x＞0) B.eq\r(6,y2)＝yeq\f(1,3)(y＜0)C．x－eq\f(3,4)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0) D．x－eq\f(1,3)＝－eq\r(3,x)(x≠0)【答案】C【解析】－eq\r(x)＝－x(x＞0)；eq\r(6,y2)＝[(y)2]＝－y(y＜0)；x－eq\f(3,4)＝(x－3)＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))3)(x＞0)；x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\r(3,\f(1,x))(x≠0)．题型四利用分数指数幂的运算性质化简求值例4计算:0.064-13--【答案】14380【解析】原式=(0.43)-13-1+(-2)-4+(24)-34+(0.12)1解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．跟踪训练四1.计算:2350+2-2×214-122.化简:3a72a【答案】见解析【解析】(1)原式=1+1=1+16(2)原式=3=3=a2五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.1.1n4.1.1n次方根与分数指数幂1.n次方根与根式定义例1