高二（上）期末数学试卷（理科）2

高二（上）期末数学试卷（理科）

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷入得分

一、选择题（共10题，共50分）

1\方程x2+2x+n2=0（nG［-1,2］）有实根的概率为（）

2

A.3

1

B.3

1

C.4

3

D.4

【考点】

【答案】A

【解析】解：方程x2+2x+n2=0有实根，贝IJZ\=4-4n2》0,解得-1WnW1,nG［-1,2］的区间长度为3,

nG［-1,1］的区间长度为2,

2

所以方程x2+2x+n2=0（ne［-1,2］）有实根的概率为不，

故选A.

【考点精析】掌握几何概型是解答本题的根本，需要知道几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的

结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等.

2、有一个容量为100的样本，其频率分布直方图如图所示，已知样本数据落在区间［10,12）内的频数比

样本数据落在区间［8,10）内的频数少12,则实数m的值等于（

A.0.10

B.0.11

C.0.12

D.0.13

【考点】

【答案】B

【解析】解：根据题意,样本数据落在区间［10,12)和［8,10)内的频率和为:1-(0.02+0.05+0.15)

X2=0.56,

所以频数和为100X0.56=56,

又样本数据落在区间［10,12)内的频数比落在区间［8,10)内的频数少12,

0-56-012

所以样本数据落在区间［8,10)内的频率为2=0.22,

0.22

所以m=2=0.11.

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方

图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布

情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息.

3、已知P为抛物线y2=4x上任意一点，抛物线的焦点为F,点A(2,1)是平面内一点，则|PA|+|PF|的最

小值为()

A.1

B.F

C.2

D.3

【考点】

【答案】D

【解析】解：设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,二要求|PA|+|PF|取得最

小值，即求|PA|+|PD|取得最小，

当D,P,A三点共线时|PA|+|P共最小,为2-(-1)=3.

故选：D.

4、设xGR,则是“x2-4x-5V0”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】

【答案】A

【解析】解：|x-1|V2得：-1<x<3,解x2-4x-5V0得：-1<x<5,

故是“x2-4x-5V0”的充分而不必要条件，

故选：A

g尸1)

5、执行程序框图，如果输入的N的值为7,那么输出的p的值是（

A.120

B.720

C.1440

D.5040

【考点】

【答案】D

【解析】解：由程序框图知：当输入的N=7时，模拟程序的运行，可得

第一次循环k=1P=1；

第二次循环k=2p=1X2=2；

第三次循环k=3p=1X2X3=6；

第四次循环k=4p=1X2X3X4=24；

第五次循环k=5p=1X2X3X4X5=120.

第五次循环k=6p=1X2X3X4X5X6=720.

第五次循环k=7p=1X2X3X4X5X6X7=5040.

不满足条件kV7,跳出循环体，输出P=5040.

故选：D.

【考点精析】通过灵活运用程序框图，掌握程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文

字说明来准确、直观地表示算法的图形;一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框；带箭头的

流程线；程序框外必要文字说明即可以解答此题.

6、方程xy（x+y）=1所表示的曲线（）

A.关于x轴对称

B.关于y轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线y=x对称

【考点】

【答案】D

【解析】解：将方程中的x换为y,y换为x方程变为xy2+x2y=1与原方程相同，故曲线关于直线y=x对称,

故选D

7、命题“若p则q”的逆否命题是（）

A.若q则p

B.若「p则一

C.若「q则-p

D.若p则q

【考点】

【答案】C

【解析】解：逆否命题是：否定命题的条件做结论，否定命题的结论做条件，所以命题“若P则q”的逆

否命题是：若「q则「P.

故选：C.

【考点精析】通过灵活运用四种命题间的逆否关系，掌握交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆

命题；同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否定，

所得的命题是逆否命题即可以解答此题.

y2

8、椭圆x2+4=1的离心率为（）

,

A.T

0

B.2

C,4

D.F

【考点】

【答案】B

y2

【解析】解：由椭圆x2+彳=1,可得a2=4,b2=1,则c2=a2-b2=4-1=3,

,.,a>0,c>0,

...a=2,c=抬，

c_百

则椭圆x2+=1的离心率为e=a2.

故选：B.

9、已知命题p：VxER,x2+2x-a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是（）

A.a>-1

B.a<-1

C.

D.aW-1

【考点】

【答案】B

【解析】解：若命题p：VxGR,x2+2x-a>0为真命题，则△=4+4aV0,

解得：a<-1,

故选：B【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为

逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答

此题.

10、某学校有老师100人，男学生600人，女学生500人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容

量为n的样本，已知女学生一共抽取了40人，则n的值是()

A.96

B.192

C.95

D.190

【考点】

【答案】A

n40

【解析】解：由题意知：1OO+6OO+5OO—500,解得n=96.

故选：A【考点精析】通过灵活运用分层抽样，掌握先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性

别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽

取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本即可以解答此题.

二、填空题(共4题，共20分)

1K10101(2)转化为十进制数是.

【考点】

【答案】21

【解析】解：10101(2)=1X20+0X21+1X22+0X23+1X24=21,所以答案是:21.

【考点精析】关于本题考查的进位制，需要了解进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置

表示不同的数值才能得出正确答案.

12、与向量(3,4,0)同向的单位向量°=.

【考点】

【答案】【55)

_一.J-。)

【解析】解：与向量a=(3,4,0)同向的单位向量e=5l=+/+02=.所以答案是：.

13、在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为

.(结果用数值表示)

【考点】

【答案】0.7

O

【解析】解：在五个数字1,2,3,4,5中，随机取出三个数字，基本事件总数为

剩下两个数字至少有一个是偶数的对立事件是剩下两个数字都是奇数，

••・剩下两个数字至少有一个是偶数的概率为：

p=1-%=0.7.

所以答案是：0.7.

14、设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F作直线交抛物线C于A、B两点，0为坐标原点，则4OAB面积的

最小值为.

9

-

答案8

3

【解析】解：抛物线焦点为(彳，0),当直线的斜率不存在时，即和x轴垂直时，面积最小,

■

将*=代入y2=3x,解得y=±|2,

故SZ\0AB=2XX2X=.

所以答案是:

三、解答题(共6题，共30分)

坦

15、已知点A(0,-2),椭圆E：廿二1(a>b>0)的离心率为彳，F是椭圆E的右焦点，直线AF的

递

斜率为丁，0为坐标原点

(1)求E的方程

(2)设过点A的动直线I与E相交于P,Q两点，问：是否存在直线I,使以PQ为直径的圆经过点原

点0,若存在，求出对应直线I的方程，若不存在，请说明理由.

【考点】

【答案】

(1)

22/£_立

解：设F(c,0),由条件知，c-3,解得c=P,又2,

a=2,b2=a2-c2=1,

x22」

—+y=1

■,■E的方程为：4

(2)

解：当IJ_x轴时，不合题意;

当直线I斜率存在时，设直线I：y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),

把丫=1«-2代入,化简得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

由△二亿(4k2-3)>0,得4,即k<-T或k>.

16i12

巧书

,卬2=侬-2)(乜-2)=^5^

n

若存在以PQ为直径的圆经过点原点0,则NP°Q=2,

一一16-4i2公

即。P，OQ=。，即书+卬2=砺T=°,

.,.k2=4,符合△>(),

.♦.存在1<=±2,符合题意，

此时I：y=2x-2或y=-2x-2

2点

【解析】(1)设出F,由直线AF的斜率为亍求得c,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方

程可求；(2)当l_Lx轴时，不合题意；当直线I斜率存在时，设直线I：y=kx-2代入椭圆方程化简，由

判别式大于0求得k的范围，若存在以PQ为直径的圆经过点原点0,求出，即，得到k2=4,符合△>(),

进一步求出k值，则直线方程可求.

16、某百货公司1〜6月份的销售量x与利润y的统计数据如表：

£：=1aLx)(%-y)1M-nx-y

A~~A-A.

(参考公式：b=£：=式七-切)/：=产Jf.x,a=y_bx.⑴根据2〜5月份的统计数据,

AAA

求出y关于X的回归直线方程y=bx+a.(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的

误差均不超过2万元，则认为得到的回归直线方程是理想的，试问所得回归直线方程是否理想？

【考点】

【答案】

(1)解：y=24,

A18

，b=斤,

AA-30

故°=广院-了，

故y关于x的方程是：》二x-

150

(2)解：•••x=10时，=7,

4

误差是I-22|=7<1,

786

x=6时，=7,误差是|-12|=7<1,

故该小组所得线性回归方程是理想的

-AA

【解析】(1)求出X,y,由公式，得b的值，从而求出a的值，从而得到y关于X的线性回归方程，(2)

由(1)能求出该小组所得线性回归方程是理想的.

17、已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线I交C于另

一点B,交x轴的正半轴交于点D,且有|FA|=|FD|,当点A的横坐标为3时，4ADF为正三角形

(1)求C的方程

(2)延长AF交抛物线于点E,过点E作抛物线的切线11,求证：11〃I.

【考点】

【答案】

P-+0

(1)解：抛物线的焦点F(彳，0),设D(t,0),则FD的中点为(4,0).

V|FA|=|FD|,.-.3+=|t-|,解得t=3+p或t=-3(舍).

业=3

,••=3,4,解得p=2.

,抛物线方程为y2=4x

ni1

(2)解：由(1)知F(1,0),设A(4,m)(m丰0),D(xD,0),

,.,|FA|=|FD|,则|XD-1|=+1,由xD>0得xD=+2,即D(+2,0).

m

...直线I的斜率为kAD=-2.

12

设11：y=kx+n(k*0)与抛物线相切，代入可得ky2-4y+4n=0,A=0,所以E(k，工)，

VA,F,E三点共线，(-1)-除)J,

2

解得k=加或k=-.

k二,E与A重合，舍去，

k——,

/.I1/7I.

【解析】(1)根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点横坐标，列出方程解出p.(2)根据|FA|=|FD|

列出方程得出A,D横坐标的关系，从而得出I的斜率，设11方程，与抛物线方程联立，由判别式△=()得

出I的截距与A点坐标的关系，求出E点坐标，利用A,F,E三点共线，即可证明结论.

18、如图，平面ABEF,平面ABC,四边形ABEF为矩形，AC=BC.0为AB的中点，OF±EC.(I)求证：OE±FC：

AC73

(II)若而=了时，求二面角F-CE-B的余弦值.

【答案】证明：(I)连结OC,•.・AC=BC,。是AB的中点，故OCJ_AB.

又平面ABC±平面ABEF,

故OC_L平面ABE,于是OCJLOF.

又OF_LEC,,.,OF_L平面OEC,

/.OF±OE,

又,.•OC_LOE,「.OE，平面OFC,

.-.OE±FC；

(II)解：由(I)得AB=2AF.不妨设AF=1,AB=2,

AB=H,.*.AC=I,则。C=/

建立以0为坐标原点，OC,OB,OD分别为X,y,z轴的空间直角坐标系如图:

则F(0,-1,1),E(0,1,1),B(0,1,0),C(,0,0),则

CE=1,1),EF^(o,-2,0),

设平面FCE的法向量为m=(x,y,z),

=0

则i-2y=0

(1,0,),

:BE=(o,0,1),BC二(,-1,o),

同理可得平面CEB的法向量为〃=(1,,0),

11

.,.COS<,>=gx^=G,

...二面角F-CE-B是钝二面角，

•••二面角F-CE-B的余弦值为-.

【解析】(I)连结0C,则0CLAB,从而得到0C_L0F,进而得到0FL0E,由此能证明0E_LFC.(II)由

(I)得AB=2AF.不妨设AF=1,AB=2建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可.

【考点精析】利用直线与平面垂直的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知垂直于同一个平面

的两条直线平行.

x2y2

19、已知命题p：实数m满足m2-7ma+12a2<0(a>0),命题q：满足方程拓二1+0二1表示焦点在y轴

上的椭圆，若「P是「q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围.

【考点】

【答案】解：由m2-7a/12a2Vo(a>0),则3aVmV4a即命题p：3a<m<4a,

♦/

实数m满足方程m—l+2-m=i表示焦点在y轴上的椭圆，

2—

,m-LX)

2——1

即，解得1VmV

因为「P是「q的必要而不充分条件，所以P是q的充分不必要条件,

3a>l

13

4a<—

则I2,

1

解得GwawIN,

故实数a的取值范围为：[,]

【解析】根据命题P、q分别求出m的范围，再根据p是q的充分不必要条件列出关于a的不等式组，解不

等式组即可

20、小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为x；

小李后掷一枚骰子，向上的点数记为y.

(1)求x+y能被3整除的概率；

(2)规定：若x+y>10,则小王赢，若x+yW4,则小李赢，其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公

平吗？请说明理由.

【考点】

【答案】

(1)解：由于x,y取值