高考数学一轮复习第3章导数的概念与运算配套文档理苏教版

第三章导数及其应用⑤

第1讲导数的概念与运算

01;抓住5个考点必考必记夯基固本

对应学生

用书P36

考点梳理

1.函数尸f(x)在X=Xo处的导数

(1)定义：设函数尸/1(X)在区间(a,6)上有定义，AbS(a,0,当Ax无限趋近于。时,

比值¥=1加+'；一，刘无限趋近于一个常数4则称〃才)在x=加处可导，并

称常数人为函数f(x)在点x=x。处的导数，记作f(照).可表示为“当ALO时，

fAb+AX-fAb„

---------；----------f力.

Ax

(2)几何意义：函数/tr)在点加处的导数f(%)的几何意义是过曲线片/U)上点(%,

f(xo))的切线的斜率.

2.函数/Xx)的导函数

若/'(x)对于区间(a,3内任一点都可导，则/'(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而

变化，因而也是自变量x的函数.该函数称为f(x)的导函数，记作/(x).

3.基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)=Cf(x)=0

f(x)=x«。为常数)f(x)=ax…

f{x)=sinxf,(力=COSX

f{x}=cosXf1(x)=-sin_x

f(x)=a*(a>0,aWl)f(x)=a】na

F(x)=e*f(x)=e，

f5)=一一

f(x)=log/(d>0,语1)

xlna

F(x)=lnxr(*)=-

X

4.导数的运算法则

⑴"(X)±g(x)]'=1(x)±*'(x)；

(2)[f(x)•g(*)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；

⑶%]，JXg：T'feX（g（x）W。）.

Lgx」Lg/」

5.复合函数的导数

若尸f（u）,u=ax+b,则y/—y,,,'ux',即以'—y,,',a.

【助学•微博】

一个命题规律

本讲知识是高考中的常考内容，尤其是导数的几何意义及导数的四则运算，更是高考考查

的重点.以填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第•问中.导数的运算及复合函数

的导数一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算.

曲线尸/Xx）“在点以司，珀处的切线”与“过点尸（施，㈤的切线”的区别与联系

⑴曲线尸/Q）在点以用，㈤处的切线是指夕为切点，切线斜率为A=F（加的切线，

是唯一的•条切线.

（2）曲线尸『（.）过点P（选，必）的切线，是指切线经过P点.点户可以是切点，也可以不

是切点，而且这样的直线可能有多条.

考点自测

1.（2012•济南模拟）曲线/'（入）=15—2）+1在点（1,f（l））处的切线方程为.

解析f（l）=0,f（X）=3V—4*,f（1）=-1,所以切线方程为尸一（*—1）,即x

+y—1=0.

答案x+y-l=0

2.（2012•泰州市高三期末考试）设A为奇函数f{x）=x'+x+a（a为常数）图象上一点，

曲线/'（x）在/处的切线平行于直线尸4x,则A点的坐标为.

解析设4（施，㈤，则由f（0）=0,得a=0,所以/'（x）=系+才，f（x）=3/+1,于是

由4=/（刘）=3/+1,得■=1,所以加=±1,所以4（—1,-2）或1（1,2）.

答案（一1,—2）或（1,2）

15

3.（2012•江苏泰州二模）若存在过点（1,0）的直线与曲线了=£和了=@/+j*—9都相切，

贝!Ja=.

解析设过点（1,0）的直线与"=个相切于点（刘，施，则切线方程为了一点=3/（才一加，

315

由它过点（1,0）,得施=0或刘=].当旅=0时，由直线尸0与y=a/+了才-9相切，可

得a=-11；当刘=,时，由直线尸斗才一日与y=aV+号x—9相切，可得a=-1.

04Z444

9R

答案T或一工

64

4

4.（2012•泰州学情调查）已知点户在曲线尸上，。为曲线在点〃处的切线的倾斜

e十1

角，则。的取值范围是一

4e'4

解析y7+T:2—1,所以tan。2一1,即一IWtanG<0.

e'+r+2

e

又OW。Vn,所以午Wa<n.

5.（2012•南京模拟）若直线y=M-3与曲线尸21nx相切，则实数4=.

2

解析由尸21nx,得/=一.设尸左x—3与曲线y=21nx相切于点（照，㈤（照＞0）,

12

2-2

则有4=—,加一3=-1,次=21nAb,2---

Kb照

答案2#

02»突破3个考向研析案例考向突破

对应学生

用书P37

考向导数的运算

【例1】（2013•泉州月考）求下列函数的导数:

（l）y=e^,Inx；

⑵

xx

⑶尸x-sin5cos5；

(4)y=

/iy[x+x+sinx

⑸y=------2------.

x

解(l)y'=(er-In%)"=e'lnx+e'•：=e(ln

.1,2

(2)Vy=x+\+—,Ay'=3%——.

xx

(3)先使用三角公式进行化筒，得

.xx1.

尸x-sin5cos]sinx,

⑷先化简，i=Y+T

1113

・・y2X~2~2X~2+3

jq+f+sinx_

/、N3,i.sinx

(5)y=-------------------=x---Vx+.....-,

kl+(x)'+(二"sinx)9

=~~x~~+3x-2x3sinx+%2cosx.

［方法总结］(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导,

这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商

的形式，但在求导前利用代数或三角恒定变形将函数先化筒，然后进行求导，有时可以避

免使用商的求导法则，减少运算量.

【训练1】求下列函数的导数.

⑴y=(x+1)(x+2)G+3)；

3

⑵尸sin

4

(3)y=tanx；

⑷尸xlnx；

1—e"

⑸尸而

解(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(V+3x+2)(x+3)=才、'+6才2+11才+6,所以y,

=3系+12x+11.

*XX1.,=1(sin%)z

(2)因为尸sin=sin-cos5=/sinMM以y

1

=]COSX.

/c、esrsinx

(3)因为y=-tanx—，

cosx

ll」,(sinx\cos"%+sin2x1

所以vt=一忘时—

O八'UMoAUv/O.A

(4)因为y=xInx,

所以V=(xlnx)'=lnx+x9-=lnx+1.

x

1—e*2

(5)因为尸

1+e1+e

所以V=(备_1)=(备)2e

考向二求复合函数的导数

【例2】求下列复合函数的导数.

⑴尸肥

⑶尸L3x”

(4)y=(1+sinx)\

⑸尸Wi+/

解⑴因为尸xe—,所以V=(.T)

=171—2x)'xe1-2A

=(l+2x)e-

3In2+3x

2+3xxx

⑶设u—1—3x,y=u~\

.19

贝lj/=yj•=-4~•(-3)=s.

u1—Sx

2

(4)设〃=l+sinx,则y=(l+sinx)t

由y—u与u=l+sinx复合而成.

y'=yj•Ux=2u•cosx=2(l+sinx)•cosx.

,________________/1-1-9

(5)/=31+L)，—x'•yjl+x+x(-\/l+x2)*1=W+9+1]+；=']+，

[方法总结]由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解这类问题

的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析,

把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程.

【训练2】求下列函数的导数：

⑴尸、3+1；(2)y=sin22x；

(3)y=e-*sin2x；(4)厅1国1+夕.

1X

解(1)/=2V7+1'2x=yp+l'

(2)y'=(2sin2x)(cos2x)X2=2sin4x.

(3)p'=(—e-v)sin2x+er(cos2x)X2

=e*(2cos2x-sin2x).

11X

(4)/=Vl+7*2^1+7•2X=G

考向三导数的几何意义及综合应用

［例3］⑴设f(x)=xlnx+1,若/(施)=2,则/Xx)在点(为，㈤处的切线方程为

(2)(2012•淮安市第四次调研)已知曲线y=(a—3)f+lnx存在垂直于y轴切线，函数

f(x)=/-a?-3%+l在［1,2］上单调递增，则a的取值范围是.

解析(I)；/(x)=lnx+1,又F(加)=2,；.In加+1=2.

解得xo=e,%=e+l.故f(x)在点(e,e+1)处的切线方程为y—(e+1)=2(x—e),即

2x~y■—e+l=0.

(2)由题意,可得y'=3(a-3)Z+-(x>0),

x

即3(a—3)1=0有正实根，所以a—3<0,a<3.

由/'(x)=£-ax2-3x+l在区间［1,2］上单调递增，得/(x)=3f-2ax-320在［1,2］

上恒成立，即aw/j-0在［1,2］上恒成立.因为尸系一J在［1,2］上递增，所以

=0,所以aWO.综上，得a的取值范围是(-8,0］.

答案(l)2x-y-e+l=0(2)(-8,0］

［方法总结］(1)利用导数研究曲线的切线问题，•定要熟练掌握以下条件：

①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率.即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可

求切点的坐标.

②切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其它的公共点.

(2)与导数儿何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键

是要善于进行等价转化.

【训练3】(1)(2012•南通市第一学期调研)曲线c：y=xlnx在点M(e,e)处的切线方

程为.

(2)(2012•镇江调研)设P是函数尸,(x+l)图象上异于原点的动点，且该图象在点P

处的切线的倾斜角为0,则，的取值范围是.

解析(1)=ln%+1,A=lne+l=2,

所以曲线在点步处的切线方程为y—e=2(x—e)，

即2x—y—e=0.

11

+

(2)由尸/(x+1),得/2-才2-

一•一兀兀

所以tan02小r,所以

O乙

FnnA

答案⑴2x—y—e=0⑵卬

03」揭秘①年高考权威解港真题展示

对应学生

用书P38

规范解答3求在点夕处的切线与过点。处的切线

求曲线切线时，要分清在点尸处的切线与过一点的切线的区别，前者只有一条，而后者包

括了前者.

14

［示例】(2012•扬州阶段检测)已知曲线y=-A-3+-.

J«J

(1)求曲线在点月(2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点尸(2,4)的切线方程；

(3)求斜率为1的曲线的切线方程.

［审题路线图］求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜

式得切线方程.

［解答示范］(1广./(2,4)在曲线尸：f+9上，且＞=9,...在点H2,4)处的切线的

斜率为A=4.

二曲线在点尸(2,4)处的切线方程为y—4=4(*—2),

即\x-y—4=0.(4分)

14

(2)设曲线尸与过点P(2,4)的切线相切于点

OO

(刘，品+§，则切线的斜率为k=E

工切线方程为y~(%—^o),

24

即产=舄•(6分)

°2o4

，・,点P(2,4)在切线上，.・・4=2痴一彳总+g,

即Ab—3AO+4=O,+—4/+4=0,

/.Ab（Ab+l）—4（加+1）（施―1）=0,

工（照+1）（照一2>=0,解得照=-1或园=2,

故所求的切线方程为4%—y—4=0或X—夕+2=0.（8分）

⑶设切点为（刖，%）,则切线的斜率为：Ab=l,刘=±1.

切点为（一1,1）或（1，

5

；・切线方程为y—l=x+l或y—~=x—\,

即x—y+2=0或3x—3y+2=0.（12分）

［点评］曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切

时有差别.

高考经典题组训练

1.（2012•广东卷）曲线尸f—x+3在点（1,3）处的切线方程为

解析y'=3f—1,k—f（1）—2,

所以曲线在点（1,3）处的切线方程为y-3=21）,即2x-y+l=0.

答案2*—y+l=0

2.（2010•江西卷改编）等比数列｛a｝中，团=2,&=4,函数f（x）=x（x—团）（x—加…（x

一麴），则F（0）=.

解析函数f（x）展开式中含X项的系数为a•a?....aH=（"•as）'=8'=2",所以（0）

=&•/......M=2..

答案212

Inx,x>0,

3.（2012•陕西）设函数f（x）=°-八〃是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线

—2A—1,后0,

在点（1,0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x-2y在〃上的最大值为.

解析由f（x）=lnx,得/（x）=：，k=f（1）=1,所以f（x）=lnx（x>0）在点（1,0）

处的切线方程为P=x—1,画出可行域如图所示，则当直线*一2尸z经过点前0,-1）

时，Zwx=0-2X（-1）=2.

答案2

4.（2012•安徽卷）设函数/U）=ae'+<+6（a>0）.

ae

(1)求fU)在［o,+°°)内的最小值;

3

(2)设曲线尸F(x)在点(2,*2))处的切线方程为尸,筋求a,力的值.

解(1)f(jr)=ae—L,当f'(x)>0,即x>—Ina时，F(x)在(一Ina,+8)上递增，

ae

当F(x)<0,即；K—Ina时，F(x)在(一8,—Ina)上递减.

①若0<水1,则一Ina〉0,F(x)在(0,-Ina)上递减，在(一Ina,+8)上递增，从而

■力在［0,+8)上的最小值为f(—lna)=2+b；

②若H21,则一InaWO,F(x)在［0,+8)上递增，从而F(x)在［0,+8)上的最小值为

/(0)=a+--\-b.

a

1R

(2)依题意，得F(2)=/2—

ae2

解得ae?=2或匏2=-3不合题意，舍去)•

911

所以a=F,代入原函数，得2+［+5=3,即8=5.

e幺，

故a=4,6='.

ez

N二限时规范训练阶梯训练能力提升

对应学生

用书P267

分层训练A级基础达标演练

(时间：30分钟满分：60分)

一、填空题(每小题5分，共30分)

1.已知F(x)=f+2xf(1),则/(0)等于.

解析f(x)=2x+2F(1),所以/⑴=2+2/(1),EPf(1)=-2,f(x)=2x

-4,故F(0)=-4.

答案一4

2.(2012•扬州检测)已知直线ax-by-2=0与曲线尸d在点尸(1,1)处的切线互相垂直，

则怖为.

解析y'—(/)'=3"。k—3,由题意，3Xy——1,所以m=—

bb3

答案T

3.(2012•辽宁卷)已知只0为抛物线f=2y上两点，点R0的横坐标分别为4,-2,过

P,。分别作抛物线的切线，两切线交于点4则点/的纵坐标为—

2

解析由7=5,得V=x,k\=f(4)=4,(-2)=-2,所以P(4,8),0(—2,2).

点〃处切线方程为p-8=4(x—4),

即y=4x—8.①

点。处切线方程为y-2=-2(x+2),

即y=-2x—2.②

①②联立，解得履1,-4).

答案一4

4.(2013•范泽模拟)若函数f(x)=e'cos必则此函数图象在点(1,f(D)处的切线的倾斜

角为(填锐角、直角或钝角).

解析f(x)=e'cose'sinx,因为函数图象在点(1,f(D)处的切线斜率4=/(1)

=e(cos1—sin1)<0,所以切线的倾斜角是钝角.

答案钝角

5.(2012•南通、泰州、扬州三市调研(二))已知各项均为正数的等比数列｛aj；满足aa=

4,%=8,函数/'(x)=aix+azf+a3X：'H---Faio*">的导数为£(A),则-

aiat—^q—4,1qf]\

解析设｛a｝公比为0,则由$°得g=2,所以a„=2"7,/5=

ek=a\q=8,4w

4+2检+…+10ai°X目=：+2X：+3X；+…+10X；=(l+2+3+…+

、155

1°)X4=T

人.55

答案T

6.(2013•青岛模拟)若点。是曲线尸V-lnx上任意一点，则点尸到直线y=x—2的距离

的最小值是.

解析设P(f,t2—Int),由y'=2x—得在=2t—9=11>°)，解得力=1.所以过点

Al,1)的切线方程为尸人它与尸刀—2的距离仁君小即为所求.

答案*

二、解答题(每小题15分，共30分)

7.(2010•陕西卷)已知函数F(x)=5，g(x)=alnx,aGR,若曲线尸f(x)与曲线片g(x)

相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程.

解f(x)=一(京＞0),

x

y[x=alnx,

1a解得x=e.

)・二7

因为两曲线交点坐标为(5,e),切线的斜率为(e')=；,所以切线方程为y-e=

2e

,即x-2ey+e'=0.

2e

1nv

8.已知函数尸f(x)=一^.

(1)求函数y=f(x)的图象在x=，处的切线方程；

e

(2)求函数尸f(x)的最大值.

1—1nY

解(1)因为f(x)=2,

所以4=/*(3=24.又/g)=-e,

所以产=/(才)在x=工处的切线方程为

e

y+e=2e{x-3，即2e2%—y—3e=0.

⑵令/(x)=0,得x=e.

因为当x£(0,e)时，£W>0,

当(e,+8)时,f(x)<0,

所以F(力在(0,e)上为增函数，在(e,+8)上为减函数，

所以f(x)max=/'(e)=:.

分层训练B级创新能力提升

x~\~1

1.(2012•苏北四市调研(三))若曲线尸一^在x=l处的切线与直线x+8y+l=0垂直，

则实数6的值为.

V-I—13

解析因为y=---所以y'=--------F~~i,k=f(1)=-3.又切线与%+/?/+1=0

X—2X—2

垂直，所以一；=<，解得6=-3.

b3

答案-3

2.(2012•镇江市第一学期期末考试)已知函数尸/U)在点(2,/1⑵)处的切线方程为y=2x

-1,则函数g(*)=f+F(*)在点(2,g(2))处的切线方程为.

解析由尸f(x)在点(2,/X2))处的切线方程为尸2*—1,得，(2)=2,/1(2)=3,

于是由g(x)=V+f(X),得g'(x)=2x+f(x),

从而g(2)=22+F(2)=7,g'(2)=2X2+F(2)=6,

所以尸g(x)在点(2,g(2))处的切线方程为y-7=6(x—2),即6x—y-5=0.

答案6x—y—5=0

3.已知二次函数/"(x)=af+6*+c(aW0)的导函数为f(x),且，(0)>0,对于任意实

f1

数x,有/'(x)、0,则彳一厂的最小值为_

解析f(x)=2ax+6,f(0)=b>0,

,4=/>2—4acW0,[)

又所以ac>：，所以c>0,

[a>0,4

f1a+6+c6+2y[^c2b

所以7―0

答案2

xWO,

4.(2013•南京模拟)已知直线尸侬(加£R)与函数f(x)=的图象恰

12.

-%+1,%>0

有三个不同的公共点，则实数勿的取值范围是.

解析如图，可求得直线尸蛆X与尸;1+1(x>0)的图象相切时恰有两个不同的公共

点，当必〉啦时，直线尸"次与尸f(x)的图象恰有三个不同的公共点.

答案(镜，+8)

5.已知函数/"(x)=1x：!+2/+3x(xeR)的图象为曲线C,试问：是否存在一条直线与曲线C

同时切于两点？若存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由.

解设存在过切点/(为，必)的切线与曲线，同时切于两点，另一切点为B(xz,㈤(热区小)，

则切线方程为y—(1才：+2#+3小)=(三+4x+3)(才一汨)，

即为y=(AI+4%I+3)jr—^|xi+2^j.

同理，过点〃(如度)的切线方程是

尸(/+4尼+3)x—(彳川+2房).

由于两切线是同一切线，所以有

■+4为+3=亮+4才2+3,

“22

可才；+2#=可信+2第，

0J

X\~X2Xi+用=-4汨一典

屑+汨尼+於

X\—x2=—3x\—x2由+及

田+及=-4,

又小£生，所以

.#+xiX2+第=12,

解得汨=用=-2,这与加力题矛盾，所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点.

6.(2013•盐城检测)已知在函数Mx)的图象上，以Ml,〃)为切点的切线的倾斜

(1)求R,7?的值;

⑵是否存在最小的正整数上使得不等式2013对于x£[—1,3]恒成立？如果

存在，请求出最小的正整数h如果不存在，请说明理由.

解⑴依题意，得尸(1)=tan-^-,即3%一1=1,肝=*

因为/U)=〃，所以)=一1.

(2)令/U)=27—1=0,得户土平.

当一lVx<一时，f(x)=2x—1>0；

当一堂VxV平时，f(x)=2f—lV0；

当■^~VxV3时，f(x)=2x-l>0.

又/X—(考=*,尚=-当,/(3)=15,

、历

因此，当山£[-1,3]时,T-Wf(x)W15.

O

要使得不等式f(x)W*-2013对于xG[—1,3]恒成立，则AN15+2013=2028.

所以，存在最小的正整数4=2028,使得不等式『(x)WZ-2013对于xe[-l,3]恒成立.

第2讲用导数研究函数的单调性与极值

抓住2个考虑必考必记克基圉本

对应学生

用书P39

考点梳理

1.函数的单调性

函数/Xx)在(a,⑸内可导，F(x)在(a,6)任意子区间内都不恒等于0.fU)20of(x)

为增函数；f(x)WOOf(x)为减函数.

2.函数的极值

⑴判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数/■(»在点扬处连续时，

①如果在於附近的左侧/G)>0,右侧/(X)<0,那么/U。)是极大值；

②如果在灰附近的左侧f(x)<0,右侧果(x)>0,那么以就是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤

①求/(x);

②求方程，(x)=0的根；

③检查/(才)在方程/(x)=0的根左右值的符号.如果左正右负，那么F(x)在这个根

处取得极大值;如果左负右正，那么/XA)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一

样，那么这个根不是极值点.

【助学•微博】

一个考情解读

本讲内容是高考的必考内容，主要以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性，求函

数的单调区间，求函数的极值.也有可能以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、

三角函数等知识相结合的问题.综合题一般作为压轴题出现，难度较大.

考点自测

1.(2012•苏州调研)函数尸：+21nx的单调减区间为—_

ii92^—11

解析由尸一+21n%,得y'=一—+-=——^0(%>0),解得OK》所以函数的单

xxxx2

减区间为(0,1.

答案(0,1

2.函数尸3f—61nA■的单调增区间为,单调减区间为.

66V—6

解析/=6X一一=-----.•定义域为(0,+8),

XX

由V>0,得X>1,.•.增区间为(1,+8);

由V<0,得0<x<l,.♦.减区间为(0,1).

答案(1,+8)(0,1)

3.若函数/•(x)=ax：'+3x2-x恰有3个单调区间，则实数a的取值范围是.

⑻+4X3a>0,

解析由题意/(x)=3af+6x—1=0有两个不相等的实数根，故,

a>—3且a#0.

答案(一3,0)U(0,+8)

4.已知a>0,函数/V)=£—ax在［1,+8)上是单调递增函数，则a的取值范围是

解析f(x)=3f-a,由/'(x)在［1,+8)上是单调递增函数，得/(x)20在区间［1,

+8)上恒成立，即3/2—a》o,xW［l,+8)恒成立，故实数aW3f在［1,+8)上的最

小值，即a<3.

答案(一8,3］

5.(2012•启东中学一模)若函数Ax)=/+?-a^-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点，

则实数a的取值范围是.

解析由/1(*)=**/—a*—4,得/(x)=3f+2x—a.由题意，f(x)=0,即3f+2x

-a=0在(-1,1)内恰有一个实根，所以f(一1)£⑴=(3-2-a)(3+2-a)<0或

f-1=3—2—。=0,

解得l<a<5或a=l.

f1=3+2—卧0,

故实数a的取值范围是［1,5).

答案口,5)

02»突破3个考向研析案例考向突破

对应学生

用书P39

考向「利用导数解决函数的单调性问题

【例1】(2012•苏中三市调研)已知函数/'(x)=lnx—ax+~~~--1(5GR).

x

(1)当a=—1时，求曲线尸/'(x)在点(2,f(2))处的切线方程；

⑵当时，讨论『5)的单调性.

9/+V—9

解(1)当a=—1时，f(x)=lnx+x+—1,(0,+°°).所以，(x)=-----2---，

xx

(0,+°°),因此/(2)=1,

即曲线y=F(x)在点(2,*2))处的切线斜率为1.

又/，(2)=ln2+2,所以曲线y=F(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(In2+2)=X一

2,即X一y+ln2=0.

Ia

(2)因为f{x)=lnx—ax+----—1,

x

ll,।〜、1,a—1ax—x+1—a/.、

所以/(必=—a+——.....:------，(0,+8).

xxx

令g(x)=aV—x+1—a,(0,+0°),

①当a=0时，g(x)=—x+L(0,+°°),

所以，当x£(0,l)时，g(x)>0,此时FUXO,函数F(x)单调递减；当x£(l,+8)

时，g(x)<0,此时/U)>0,函数Ax)单调递增；

②当wWO时，由/(x)=0,

即HV—x+1—a=0,解得E=LA2=-1.

a

(i)当时，*1=如g(x)N0恒成立，此时£(x)W0,函数/'(x)在(0,+8)上单

调递减；

5)当0<@<<时，--1>1>0,

za

x£(0,1)时,g(x)>0,此时/(x)<0,函数/'(x)单调递减；

1)时，g(x)<0,此时F(才)>0，函数/'(M单调递增；

+8)时，4*)>(),此时FUXO,函数/'(分单调递减；

(iii)当a<0时，由于2一1<0,

a

xG(0,1)时，g(x)>0,此时/(x)〈0,函数/'(x)单调递减；

xe(l,+8)时，双王)〈0,此时/•'(x)>0,函数/'(见单调递增.

综上所述：

当aWO时，函数/'(x)在(O,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增;

当a=1时，函数/Xx)在(0,+8)上单调递减；

当0<ag时，函数『(")在(0,1)上单调递减，在(1，上单调递增，在(g-1，+8)上

单调递减.

［方法总结］讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类

问题可以归结为•个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出

不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时

根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.

【训练1］已知f(x)—ex—ax—l.

(1)求Ax)的单调增区间；

(2)若/'(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.

解(1)f(x)=e'—ax—1,/.f(x)=e'—a

令f(x)》0,得e*2a,

当aWO时，有，(x)>0在R上恒成立；

当a>0时，有x2lna.

综上，当aWO时、f(x)的单调增区间为(-8,+8)；

当a>0时，Ax)的单调增区间为［Ina,+~).

⑵F(x)=e'—ax—1,/.f(x)=e'—a.

在R上单调递增，

f(*)=e“一a20恒成立，

即aWe',xWR恒成立.

r

,.•xGR时，eG(0,+8),a^o.

当a=0时，f(x)=e',f(x)>0在R上恒成立.

故当aWO时，/'(x)在定义域R内单调递增.

考向二利用导数解决函数的极值问题

X

【例2】(2012•无锡调研)已知函数f(x)=^—(x>0,xWl).

Inx

(1)求函数/'(x)的极值；

X

(2)若不等式e->x对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.

a

Y1nx—1

解(1)函数/■(*)=1匚的定义域为(0,1)口(1,+~),f(X)=令f(X)

In%：Inx3

=0,解得x=e,列表如下:

X(0,1)(Le)e(e,+0°)

f(X)一——0+

单调递单调递

f(x)极小值Ae)单调递增

减减

由表得函数/'(x)的单调减区间为(0,1)及(1,e),单调增区间为(e,+8).

所以存在极小值为f(e)=e,无极大值.

⑵当xWO时，对任意aWO,不等式恒成立.

XY

当x>0时，在e->“两边取自然对数，得->ln*

a3

①当0V启1时，In启0,当a>0时，不等式恒成立；

xx

当4aVO时<In%<0,aln才>0,不等式等价于aV"；---，由(1)得，此时----^(―°°,

InxInx

0),不等式不恒成立.

VY

②当x>l时，Inx>0,则a>0,不等式等价于@<7—,由(1)得，此时丁匚的最小值

InxInx

为e,得0<a<e.

综上，a的取值范围是(0,e).

［方法总结］(1)求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条

理，减少失分的可能.

(2)导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定注意分析

这个零点是不是函数的极值点.

X

【训练2】(2011•安徽卷)设/其中a为正实数.

1十ax

4

⑴当时，求Ax)的极值点;

(2)若/1(X)为R上的单调函数，求a的取值范围.

2

解对/"(X)求导，得f解=@「金%①

431

(1)当。=可时，山，(x)=0,得4f—8x+3=0,解得小=5，兹=5.结合①，可知

13

X

卜8,922$+8)

f(X)+0一0+

f{x}/极大值极小值/

所以不=13是极小值点，及