2020年新高考数题型详解：第二章 圆锥曲线与方程章总结（教师版）人教选修

第二章圆锥曲线与方程章总结

题型一定义运用

题型二标准方程

题型三直线与曲线的位置关系

题型四弦长

题取五定点

题型六定值

题型七最值

题型八离心率与渐近线

题型讲解

题型一定义运用

1..（2017•湖南高考模拟（理））已知抛物线f=2y上一点尸到焦点厂的距离为是直线y=2上

的两点，且|^^=2,八加稗的周长是6,则5也/〃取=（）

4221

A.-B.-C.-D.一

5533

【答案】A

由题意,2p=2，则，故抛物线f=2y的焦点坐标是1o,g]，由抛物线的定义得，点尸到

【解析】

1的距离等于|尸典，即为1,故点尸到直线y=2的距离为d=2—1―£|—1=|.设点尸

准线y=

3

在直线MN上的射影为P,则|PP[=5,当点M,N在p的同一侧（不与点P重合）时，

35

\PM\+\PN\+\MN\>^+2+-=6，不符合题意；当点、M,N在P的异侧（不与点P重合）时,不妨设

|P'M=x（0<x<2）,则|P'N|=2-％，故由

|PM+|PN|+|MN|=J/++2=6，解得x=0或2，不符合题意，舍去，综上

sin<MPN=——二一

M,N在两点中一定有一点与点P重合，所以55，故选A.

2

2.（2017.河南高考模拟（文））已知直线丁=左（％+2）（左>0）与抛物线Uy?=8%相交于A,B两点，尸为。

的焦点，若|E4|=2|EB|,则点A到抛物线的准线的距离为（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】由题意得，设抛物线y2=8%的准线方程为/:x=-2,直线y=左"+2）恒过定点（-2,0）,

如图过A3分别作AM，/于M,BN工1于N,连接OB,

由|E4|=2\FB\，则\AM\=2\BN\，点B为AP的中点，

因为点。是尸尸的中点，则\OB\=||AF|,

所以|。同=|①］，所以点8的横坐标为1,所以点3的坐标为。,2应）.

同理可得点A（4,4后），所以点A到抛物线准线的距离为4+2=6，故选A.

3.（2019•河南高考模拟（理））已知抛物线V=4尤的焦点为歹，/为准线，点尸为抛物线上一点，且在第一象

限,PAL/,垂足为A,若直线A尸的斜率为-JL则点A到PR的距离为（）

A.273B'3C-A/5D.2

【答案】A

【解析】因为直线Ab的斜率为一后，

所以直线Ab的倾斜角为120。，

则ZPAF=60。,由抛物线的定义得|P同=|E4|,

所以^PAF为等边三角形，又|OF|=1,

所以|AF|=4,

所以A到尸尸的距离等于26,

故选：A.

题型二标准方程

1.(2019•天津市宁河区芦台第一中学高考模拟(理))已知双曲线(7:《一冬=l(a>0,b>0)的离心率6=日,

点P是抛物线外=4x上的一动点,P到双曲线C的上焦点6(0,c)的距离与到直线尤=-1的距离之和的最小值

为泥,则该双曲线的方程为()

A工—e=1B.^-x2=1C.y2-^=1D工—立=1

234/432

【答案】B

【解析】因为双曲线C:£—蔻=1(。>0,b>0)的离心率e=当所以a=2b,c=小b,

设F为抛物线y2=4x焦点，则尸(1,0),抛物线y2=4x准线方程为x=-1,

因此P到双曲线C的上焦点&(0,c)的距离与到直线久=一1的距离之和等于P0+P凡

因为PFi+PF>&F,所以FIF=乃,即Ml+c?=V6c=V5,a=2,b=1,

2

即双曲线的方程为匕—/=i,选B.

4

223

2.(2019•天津南开中学高考模拟)已知双曲线二―1=l(a>0]>0)的离心率为-，过右焦点F作渐近

a2b2

线的垂线,垂足为若AFOM的面积为石，其中。为坐标原点，则双曲线的标准方程为()

2

24yB.W工1

A.x———=1

525

22

D.土-匕=1

451620

【答案】c

【解析】由题意可得e=£=3①,可得2=l—S=Y5,

a2a\a22

b

设b（c,0）,渐近线为了=—x,

a

be

可得F到渐近线的距离为|阪|=7777=b

由勾股定理可得\OM\=7lOF|2-\MF\1=yjc2-b2=a,

因为ATOM的面积为小,所以;仍=小②,

乂a?+匕2="③，由①②③解得5=J5,a=2,c=3,

所以双曲线的方程为三-二=1,故选C.

45

3.（2019•山东高考模拟（文））若方程412+处2=4上表示焦点在》轴上的椭圆，则实数上的取值范围为（）

A.k>4B.k=4C.k<4D.0<k<4

【答案】D

22

【解析】由题得上+匕=1,

k4

因为方程4d+ky2=4k表示焦点在y轴上的椭圆，

所以0<女<4.

故选：D

22

4.（2019•河南高考模拟（理））“0（加<2”是“方程土+^^=1表示椭圆”的（）

m2-m

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

m>0

22

【解析】】方程二+^^=1表示椭圆，即｛2—机〉0n0<m<2且mHI

m2—mc

m^2-m

22

所以“0（加<2”是“方程—+=1表示椭圆”的必要不充分条件

m2—m

故选C

题型三直线与曲线的位置关系

1.（2019•山东高考模拟（文））已知士是关于%的方程*+7加—（2加+1）=0的两个不等实根，则经过两

22

点可々，后）的直线与椭圆器+?=1公共点的个数是（）

A.2B」C.OD.不确定

【答案】A

【解析】因为为，々是关于X的方程^+iwc-（2m+1）=0的两个不等实根

所以//=-7w,x1x2=-（2m+l）

2

且％2+mXy—（27n+l）=0,x2+mx2—（2m+1）=0

直线AB的斜率='——=（x2+%］）=-m

X2

直线AB的方程为y-片=一根（%-玉）

即y+mxx-（2m+l）=-m（x-X1）

整理得=0

故直线AB恒过（2,1）点,而该点在椭圆内部，

所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。

故选A.

2.（2019・河南高考模拟（理））已知椭圆C:：+/=i,设过点P（2,0）的直线/与椭圆。交于不同的A,3两

点，且/AO3为钝角（其中。为坐标原点），则直线/斜率的取值范围是（

【答案】B

2

【解析】设直线/:丁=左（％—2）（左wO）,代入卞+y，2=1,得(1+2%2)%2_8左2了+8左2—2=0,

因为直线/与椭圆交于不同的A.B两点，

所以A=64左2—40+2左2）（8左2—2）＞0,解得—等＜«＜乎且左/0.

设4(4％),则为+%=若更,5=—,

16公2k2

%%=后'(再一2乂々-2)=左2if2k2+4

1+2产1+2产

/

8人2—22k)

因为ZAOB为钝角，所以占/+%%

-1-+-2-"2---1--+-2-公7

解得—叵＜k＜叵,kM.

55

，n

综上所述:kG

＞I5.7

故选：B

22

3.（2019・安徽高考模拟（理））己知双曲线乙-'=1的左焦点为耳，过耳的直线/交双曲线左支于A、B

两点，则/斜率的取值范围为（）

4433

A.（一B.（-GO,-—）（—,+oo）

3344

C.D.（-8,一彳）（—,+℃）

4433

【答案】B

3

【解析】双曲线的渐近线为y=?1也当直线,与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.当直线/斜率大于零

3

时，要与双曲线左支交于两点，则需直线斜率比〉z;当直线,斜率小于零时，要与双曲线左支交于两点，则需斜

3

率上<——.故选B.

4

题型四弦长

223

1.（2019・湖南高考模拟（理））已知椭圆C：土+上=1的左焦点为过点F作斜率为一的直线交椭圆。于

434

A5两点，则A3的长度为（）

21232527

A.—B.—C.—D.—

7777

【答案】C

223

【解析】由C:,+g=l可知尸（一1,0）,直线AB为y=［（x+l）,

3%2+4/=12

联立《3,、，消元得7尤2+6%—13=0,

y=Z（x+i）

设4（2，乂），3（孙％）

|「野若=/，故选C.

22

2.（2019・陕西高考模拟（文））双曲线--乙=1的一条弦被点P（4,2）平分,那么这条弦所在的直线方程

369

是（）

A.x-y-2=0B.2x+y-10=0

C.x-2y=0D.x+2y—8=0

【答案】C

【解析】设弦的两端点A解,%），B（X2,为）,斜率为k,

2222

贝件_2_=12江=1

369'369

两式相减得(D(…)=(-2),

369

即9(一+%)9x81

Xj-x236(%+%)36X42'

弦所在的直线方程y—2=g(x—4),即x—2y=0.

故选：C

3.(2018•海南高考模拟(文))直线/交双曲线=。(。>0)的右支于A3两点，设A3的中点为C,。

为坐标原点，直线A50c的斜率存在,分别为心,左℃,则3小℃=()

1L

A.-lB.-C.lD.J2

2

【答案】C

【解析】双曲线的渐近线方程为y=±x.

设直线1的方程为y=kx+b,

直线1与双曲线有2个交点A,B,故而k#±l.

联立方程组，[与+[,消去y得(1-1?)x?-2kbx-b2-a=0,

x-y=b

设A(xbyi),B(x2,y2),C(xo,yo),

2kbx+xkbb

则X1+X2=匚记x°=2=匚记，yo=kxo+b=.

...直线OC的斜率为k=—=y.

oc.k

,•^AB-Me==1.

故选：C

题型五定点

1.(2019•内蒙古高考模拟(理))己知椭圆。：g+与=1(">6>1)离心率为正，直线x=l被椭圆截得

ab2

的弦长为百.

(1)求椭圆方程；

(2)设直线，=辰+7”交椭圆。于A,8两点,且线段A3的中点M在直线x=l上,求证：线段A3的中垂

线恒过定点.

【答案】（1）—+/=1（2）见解析

4

【解析】（1）由直线％=i被椭圆截得的弦长为JL得椭圆过点,即±+3=L

（2Ja4b

又可『，得

所以4=4,6=1,即椭圆方程为土+:/=1

4

[2

尤।2_]

(2)由<4'+4^2jx2+Sknvc+4m2-4=0,

y=kx+m

222

由A=64左2/一4(i+4k)(4/-4)=-16m+64k+16>0,

得病v1+4左2.

8km

由再+%=一

1+4廿

设A3的中点Af为（天）,%），

4km

=1,即1+442=-4km,

1+442

m1

/.yQ=kxG+m=

1+4424l

AB的中垂线方程为y+—-=(x-1).

-4kk'

，故AB的中垂线恒过点N1：,0

2.（2019•安徽省泗县第一中学高考模拟（文））已知椭圆M：g+/=l（a>b>0）的离心率为手，且椭

圆上一点尸的坐标为

（1）求椭圆M的方程；

（2）设直线/与椭圆M交于A,3两点，且以线段A3为直径的圆过椭圆的右顶点。，求证：直线/恒过％轴

上一定点.

【答案】（1）—+/=1；（2）详见解析.

4

【解析】（1）由已知e=£=走，又片=尸+°2,则。=26

a2

椭圆方程为磊+（=1，将（④，等）代入方程得b=l,a=2,

2

故椭圆的方程为二十丁=1；

4

(2)不妨设直线A3的方程％=。+/凡

《+2=1

联立<4-V消去x得+4)/+2左加、+根2-4=0.

x=ky+m

r\j2A

设4>2]),5(%,%)，则有M+%=产=，%%J-4①

左~+41左2+4

又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,•••C4.CB=0,

由04=（石—2，x）,CB=（%—2,%）得（再一2）伍一2）+%%=。.

将玉=处1+7”,九2=62+加代入上式得

（左2+1）%%+左（根一2）（%+%）+（吁2）2=0,

将①代入上式求得加=1■或帆=2（舍），

则直线/恒过点弓,0）.若直线斜率为0也符合条件，

故直线恒过定点g,0）.

题型六定值

1.（2019•江西师大附中高考模拟（文））已知离心率为手的椭圆。：二+（=1（4＞人＞0）过点

A3分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P在椭圆。上且不与四个顶点重合.

（1）求椭圆。的标准方程;

（2）若直线PA与y轴交于N,直线P8与％轴交于M，试探究|40卜|加|是否为定值？若是，请求出该定值;

若不是，请说明理由.

【答案】（1）土+y2=1；（2）|40卜|阿是定值，定值为：4

4

a2

2Ji解得：’/=4

【解析】（1）由题意得：《+

~a2b2=1

a2=Z?2+c2

r2

椭圆。的标准方程为：—+/=1

4-

（2）点P不与四个顶点重合・.・直线PAM的斜率存在且不为0

设尸(飞,先),且4(2,0),5(0,1)

y

直线PA的方程为：y=0（X-2）

X。-2<%-2,

y—1

直线PB的方程为：y=7—x+i,0

［先-1

x；++4+4/%-4%-8yo

：.\AM\-\BN\^2+」^i+a

x0y0-x0-2y0+2

P在椭圆上•.芯+4*=4

8+4%%一4%—8%/为/2%+2

：.\AM\-\BN\==4x=4

/%)一为)—2yo+2XoNo_%012yo+2

.•.|94忸2=4,为定值

题型七最值

22、

1.（2017・山东高考模拟（文））已知椭圆C：二+3=l(a>Z?>0)过点，左右焦点为

21

ab7

E(—c,0),巴(c,0)，且椭圆C关于直线X=c对称的图形过坐标原点。

(II)圆D：卜+孚］+(y—孚］=产(r>o)与椭圆c交于A,B两点,R为线段AB上任一点,直线

FiR交椭圆C于P,Q两点，若AB为圆D的直径，且直线FjR的斜率大于1,求归第。升的取值范围.

【答案】(

3

+

【解析】(斤=1,①

:椭圆C关于直线X=C对称的图形过坐标原点,...a=2c,

a2-b2+c~,b~=—tz2，②

4

由①②得/=432=3,

22

•••椭圆。的方程为L+±=i.

43

{4宕3屈

(II)因为为圆。的直径,所以点O：为线段A3的中点,

77J

22

%二%

_8岔--------1---------=1

药+%=一——{43

又1

设人(%,％),5(々,%),则,{，人.为v2

工6G---------1--=---1----

?43

ji+y2=—

所以(为+%)(%-X2)।(x+%)(x—%)0,则(%—々)一(%一%)=。故鼬="_%=1,则

43玉一天2

直线AB的方程为y—¥=x+孚,即y=x+百，代入椭圆C的方程并整理得+8岛=0,则

L*2=。,

故直线KR的斜率ke[Q,+oo).

y=攵(％+1),

设F；R:丁=左(X+1),由｛/y2，得(3+4左2)X2+8左2》+4左2—12=0,

一+J=L

43

设P(F，%)，。(*4,％)，则有七+%=言庐，^4=工「■

又「耳|="=,3+1|,依耳|="丁,4+1|，

1+21+

所以附|四|=(1+阴冷4+«+%)+1|=(^)J^P=I[J77F}

因为左之有，所以a9<z9[/i+二互1\12

即忸川。耳।的取值范围是.

2.(2019•天津高考模拟(文))己知椭圆C：W+；=l(a>/7>0)的离心率为，，两焦点与短轴的一个

端点的连线构成的三角形面积为&.

(I)求椭圆C的方程；

3

(II)设与圆。：V+>2=一相切的直线1交椭圆c于A,B两点(O为坐标原点)，求△AOB屈萩的最大值。

4

【答案】(I)—+y2=1；(II)

3-2

【解析】(D由题设:

a

解得/=3,/=1

•••椭圆C的方程为土+y2=l

3一

（II）.设A（%,yJ、B（x2,y2）

1.当人：81*轴时,|筋|=若

2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m

由已知7tL=3,得机2=3,2+］）

24、>

把y=丘+机代入椭圆方程消去y,

2

整理得（3左2+l）x+6kmx+3nr-3=0,

瘠-6km3（m2-11

X1,+X.=--——,XX,-----

t3公+1'123^2+1

36k2m212（m2-1

22

\ABf=（l+k）（^-%2）=（1+左2）

3k2+1

12（A;2+l）（3Z:2+l-m2）3（V+1）（9V+1）

=3+产：—=3+————（k手0）

9k+6，（+1%2+记+6

C12,

<3+---------=4,

2x3+6

当且仅当9左2=」，,即左=土且时等号成立.

k-3

当k=0时卜3

综上所述|蝴111ax=2,从而△AOB面积的最大值为日

题型八离心率与渐近线

1.（2019•陕西西北工业大学附属中学高考模拟（理））已知双曲线C：工-工=1（m>0）的渐近线方程为

m4

岛土y=O,则双曲线。的离心率为（）

26

C73

【答案】B

【解析】已知双曲线C的渐近线方程为瓜土y=O,且相>0,所以等=,,得加=12.

------c42J3

c-J=+4=4,所以双曲线。的禺心率为e=—=—产———.

故选：B

22

2.（2019・山东高考模拟（文））已知椭圆C:^+==l（a>b>0）的右焦点为尸，短轴的一个端点为尸,直

A

线/：4x—3y=0与椭圆相交于A、B两点.若|AF|+15尸|=6,点p到直线/的距离不小于不，则椭圆离心率

的取值范围为

9

A.(0,-]

【答案】C

【解析】设椭圆的左焦点为「，P为短轴的上端点，连接AF',政'，如下图所示:

由椭圆的对称性可知,A3关于原点对称，则OA=OB

又OF=OF四边形A尸3尸'为平行四边形

AF=BF'

X|AF|+|BF|=|BF|+|BF|=2a=6,解得：a=3

点尸到直线/距离：〃=蜉2(,解得：即值二/=囱二

厂_c(门逐

：.0<c<yf5..e=—e0,—

aI3

本题正确选项：C

22

3.(2019•天津市新华中学高考模拟(理))已知双曲线=-4=l(a>0/>0)与抛物线V=4x有一个公

ab

共的焦点/，且两曲线的一个交点为P.若|PR|=g,则双曲线的渐近线方程为()

1l反

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±V3xD.=+^±

-2y3x

【答案】C

【解析】；抛物线y2=4x的焦点坐标F(l,0),p=2,

抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，

；.p=2c,即c=l,

设P(m,n),由抛物线定义知：

P

IPnkm=m-\——=m+1=—5,：.m=—3.

222

，P点的坐标为

a2+b2=1:

2

\96，解得：\r--

］才万=1H

则渐近线方程为y=±-x=±y/3x.

a

故选：C.

强化练习

1.(2019•天津高考模拟(理))己知点A是抛物线G：y2=2px(”0)与双曲线。2：3-1=1(稣0,匕>0)的

ab

一条渐近线的交点，若点A到抛物线G的准线的距离为P，则双曲线的离心率为()

A.也B.若C.4D.2

【答案】C

【解析】设A(%o，%),则x()+~|=pn%=?=土12P.9=±p

b

由双曲线方程可得渐近线方程为：y=±—%

a

若A为抛物线与y=。x交点，则,p],可得。=2

a<27a

2222

即：/二缶？c=a+b=5a

:.e=—=y[5

a

b

由对称性可知,A为抛物线与y=—-%交点时，结论一致

a

本题正确选项：C

22

2.(2019•天津高考模拟(理))已知抛物线丁=2px(p>0)与双曲线工—斗=1(a>0/>0)有相同的焦

ab

点/，点A是两曲线在X轴上方的一个交点,若直线A/的斜率为则双曲线的离心率为()

A"+1R币+277+3n#+4

A.-----D.------cU.------U.------

3333

【答案】B

22

【解析】因为抛物线y2=2px(p>0)与双曲线「一当=1(a>0/>0)有相同的焦点/,所以c=£,

ab2

22

222222

由y=2px=4cx,^r-^Y=]得(<:2-^)x-Ac^cx-a^-6z)=0

ab

a(c+a)-a(c-a)〃(c+〃)

解得M:-------,X=--------，所以乙=--------，

c—a2c+ac—a

2

不妨设尸(c,0)，则*==A/5n"=3=>4CX=3(X-C)2,

%一。AA

因止匕4c〃(c+〃)-3(a(c+〃)一y4ra(c2-a1)=3(tz2+2ac-c2)2,

c-ac-a

.•.4e（e2-1）=3（1+-e2）2,3e4-16e3+6e2+16e+3=0,

2+Fl

（3e2-4e-l）（e2-4e-3）=0e>l:.e=—或e=2+A/7,

因为点A在％轴上方，所以5=+e-2<0,e>l:.l<e<2

c-a

因此e=2±也，选B.

3

3.（2017•全国高考模拟（理））已知定点P（2,0）及抛物线。：尸=2%,过点p作直线/与。交于两点,

设抛物线。的焦点为尸，则AA8尸面积的最小值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

2

因为R（；,0）,设/:%=9+2，代入抛物线方程得y-2ty-4^Q,\yA-yB\=4X=也（产+4）=2#+4,

SAABF=；P司•|力_力|=|/^之3,故选B.

22

4.（2019•安徽高考模拟（理））椭圆++斗=13>沙>0）的左右焦点分别是耳、耳似耳为圆心的圆过

椭圆的中心，且与椭圆交于点P，若直线叫恰好与圆月相切于点P，则椭圆的离心率为（）

A.73-1B.石+1C.正D.君T

222

【答案】A

【解析】由题意得：助_LP6,且P6=c,又P耳+尸6=2。PFX=2a-c

由勾股定理得：（2a—c『+c2=4c2=e2+2e—2=0,解得：e=J§—1

本题正确选项：A

5.（2017・湖北高考模拟（文））已知耳，鸟是椭圆与双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点，且|珍|>|尸耳

2e9

线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为“，双曲线的离心率为。2，则一+十的最小值为（）

CiN

A.而B.3C.6D.

【答案】C

【解析】设椭圆长轴26,双曲线实轴2a2,由题意可知：I4鸟|=|gp|=2c,

又闺H+I月H=%，\FlP\-\F2P\=2a2,:.\FlP\+2c=2al,闺乃―2c=2外,

两式相减,可得：%—4=2c,2+等=也+；=4华+。2

e12c242。%

226：2c

.2+e2_4（2c+cz2）tz2+c_8ca2+4«2+c_4+2+

e122ca22ca2c2a2

2%c

2及+£»2=2,当且仅当”=益时等立,

c2%

2e9

，一+K的最小值为6,

d2

故选:C.

22

6.（2019•河南高考模拟（理））已知椭圆。：=+与=1（。>0,6>0）的右焦点为过点R作圆/+、2=廿

ab

的切线，若两条切线互相垂直,则椭圆。的离心率为（）

A.-B.受C.显D巫

2233

【答案】D

【解析】如图,

y

由题意可得，、①=c，则2b2=。2,

即2（a2-c2）=c）则2a—he,

；.U=2,即e=£=逅.

a23a3

故选：D.

7.（2019・横峰中学高考模拟（文））过抛物线V=4%的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若|AF|=3,

则|BF|=（）

31

A.2B.-C.1D.-

22

【答案】B

［解析1如图所示，设NA&=deW（0,1）,R\BF\=m,

则点A到准线l:x=-l的距离为3,得到3=2+3cos6,即cos，=—,

3

23

又由根=2+mcosQr-0），整理得m=--------=一,

1+cos02

故选B.

8.（2019•山东高考模拟（文））已知双曲线二--匕=1（山〉0）的右顶点和抛物线=8%的焦点重合，则加

m3

的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

22

【解析】双曲线土—上l（/n>0）的右顶点为（麻0），抛物线V=8%的焦点为（2,0）,

m3

所以加=4，故选D.

9.（2019・山东高考模拟（文））已知双曲线C$—方=1（a>0/>0）的右焦点与抛物线y2=20%的焦

3

点重合，且其渐近线方程为y=±衰％,则该双曲线的方程为（