天津市部分区2024届高三质量调查（二）数学试卷 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市部分区2024届高三质量调查（二）数学试卷参考公式：·如果事件，互斥，那么．·如果事件，相互独立，那么．·棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高．·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高．一、选择题1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以，故选：A2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗由，当时，则；当时，则；因为，则可知，所以；故“”是“”的必要不充分条件，故B项正确.故选：B.3.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，所以.故选：B.4.在数列中，若（），则的值为（）A.1 B.3 C.9 D.27〖答案〗D〖解析〗当时，，当时，，所以，当时，，所以.故选：D.5.函数的图象如图所示，则的〖解析〗式可能为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，对于A，，为偶函数，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，为奇函数，当时，，因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；对于D，当时，，，所以时，，单调递增，当时，，单调递减，故D错误，故选：C.6.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，且与抛物线（）的焦点重合，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知，抛物线的准线方程为，又因为，则点，又因为点在双曲线的渐近线上，所以，所以双曲线的离心率，故选：D.7.某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）按，，，分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为（）A.的值为0.015 B.估计这组数据的众数为80C.估计这组数据的第60百分位数为87 D.估计成绩低于80分的有350人〖答案〗C〖解析〗易知，解得，所以A错误；由频率分布直方图可知众数落在区间，用区间中点表示众数即85，所以B错误；由频率分布直方图可知前两组频率之和为，前三组频率之和为，故第60百分位数落在区间，设第60百分位数为，则，解得，所以C正确；成绩低于80分的频率为，所以估计总体有，故D错误.故选：C.8.在各棱长均为2的正三棱柱中，上下底面的中心分别为，，三个侧面的中心分别为，，，若在该三棱柱中挖去两个三棱锥和，则剩余部分的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图所示：因为三个侧面中心分别为，所以三棱锥和三棱锥的底面面积为，高为正三棱柱的高的一半，故挖去的几何体的体积为，三棱柱的体积为，故剩余几何体的体积为.故选：A.9.已知函数，关于有下面四个说法：的图象可由函数的图象向右平行移动个单位长度得到；在区间上单调递增；当时，的取值范围为；在区间上有个零点．以上四个说法中，正确个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因为，即.对于，函数的图象向右平行移动个单位长度，得到，所以正确；对于，，则，先减后增，所以错误；对于，当，则，当且仅当时，即时，，当且仅当时，即，，所以的取值范围为，所以正确；对于，由，则，则当时，，所以在上有个零点，所以错误.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题10.已知是虚数单位，化简的结果为______．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.11.的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)〖答案〗〖解析〗由题意二项式展开式的通项为，令，可得展开式的常数项为.故〖答案〗为：.12.过点的直线与圆相交于，两点，且与抛物线相切，则______．〖答案〗〖解析〗由题可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，由，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，解得，即直线方程为：，化为一般式为，又因为圆的圆心为，半径，则圆心到直线距离为，所以.故〖答案〗为：.13.盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是______；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则______．〖答案〗〖解析〗设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件，则，，所以；由题意可得的取值为，，所以，故〖答案〗为：；.14.在中，，是的中点，延长交于点．设，，则可用，表示为__________，若，,则面积的最大值为______．〖答案〗〖解析〗由点是的中点，则；设，，则，，，，所以，得,,所以，即，因为，所以，，即，即，当时，即时等号成立，所以面积的最大值为.故〖答案〗为：；.15.已知函数若，，且，使得成立，则实数的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗当时，可得，易知在R上单调递减，不满足题意；当时，当时，，对称轴为，当时，，此时函数在上单调递减;当时，，当时，开口向上，大致图象如图所示：所以函数上单调递减，在上单调递增，所以，，且，使得成立，满足题意;当时：当时，函数的开口下，对称轴，①当，即时，易知函数在和上单调递减，在上单调递增，大致图象如图所示：由此可知，，且，使得成立，满足题意;②当时，即时，此时函数的大致图象如图所示：易知函数在R上单调递减，所以不存在，且，使得成立;综上，的取值范围为：，故〖答案〗为：.三、解答题16.在中，角，，的对边分别为，，．已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）由余弦定理得，所以．（2）由正弦定理得，即，解得（3）在中，，所以因为，所以为锐角，，所以，17.如图，平面，，，，，为的中点．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）设是棱上的点，若与所成角的余弦值为，求的长．（1）证明：因为平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由已知可得，，，，，因为为的中点，所以，所以，，所以，所以，所以.（2）解：，，设平面的法向量，则，即，令得，所以．平面的法向量，设平面与平面夹角为，，所以平面与平面夹角的余弦值为．（3）解：设且（），，则，，，所以，所以，，所以，化简得，解得或（舍），因为，所以．18.设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程．解：（1）依题意，，，令椭圆半焦距为c，由，得，，所以椭圆的方程为.（2）显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，由消去得：，则，解得，，又，由（1）知，，，由，得，即，解得，所以直线的方程.19.已知是等差数列，，，数列的前项和为，且，（）．（1）求和的通项公式；（2）求；（3）设数列满足（），证明：．（1）解：设的公差为，由题意，，，，所以，当时，，所以，所以，当时，，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以；（2）解：；（3）证明：，所以，设，则，，所以，因为，所以，所以．20.已知函数，．（1）若曲线在处的切线的斜率为2，求的值；（2）当时，证明：，；（3）若在区间上恒成立，求的取值范围．（1）解：由，可知，因为在处的切线斜率为2，所以，所以，．（2）证明：当时，，要证，即证，两