四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（三）数学试题（理）（全国卷）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（三）数学试题（理）（全国卷）一、选择题1.若为实数（为虚数单位），则实数（）A. B.2 C. D.1〖答案〗D〖解析〗，因为为实数，故，得．故选：D．2.设全集为，集合，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题，为全体正奇数构成的集合，故为全体非负偶数构成的集合，所以．故选：A．3.如图，平行四边形中，，设，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗．故选:B．4.某超市集团共有4家超市，2023年4家超市的年利润最小值和最大值分别为200万元和240万元，若4家超市2023年年利润的平均数与中位数相等，则2023年该超市集团的总利润为（）A.980万元 B.920万元 C.880万元 D.840万元〖答案〗C〖解析〗设4家超市2023年的年利润从小到大依次为，则，解得，所以2023年该超市集团的总利润为880万元．故选:C．5.已知直线与圆交于两点，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，所以圆心到直线的距离为1，即，解得．故选：A．6.如图，网格纸上绘制了一个几何体的三视图，若网格中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由三视图可知，该几何体为四分之一圆台，且圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为4，所以其体积．故选：B．7.已知，则（）A.48 B.192 C.128 D.72〖答案〗B〖解析〗令，则，令，得．故选：B．8.在杭州亚运会射击项目多向飞碟比赛中，已知某选手第一发命中的概率为，第一发和第二发均命中的概率为．则在他第一发命中的前提下，第二发未命中的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设该选手“第一发命中”为事件，“第二发命中”为事件，则，所以．故选：C．9.“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意得，，则，当且仅当，即时等号成立，所以．故选：C．10.已知为定义在上的单调函数，且对，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗设，则，所以，即，设，易知上单调递增，所以，即，故，所以．故选：B．11.已知函数在上有且仅有4个零点．则图象的一条对称轴可能的直线方程为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，令，得，因为，所以，若在上有且仅有4个零点，则，解得，令，得，因为，所以．当，当，当，只有D符合.故选：D．12.已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由题，当时，，所以在上单调递增．易知为奇函数，且，故在上单调递增．又，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立．设，只需，解得．故选：D．二、填空题13.若实数满足约束条件，则的最大值为______．〖答案〗1〖解析〗可行域如图阴影所示，设，则为可行域内的点与点连线的斜率，可知当直线过点位于时，取得最大值1．故〖答案〗为：1.14.写出与函数在处有公共切线的一个函数______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗因为，所以，则，，依题意只需满足，即可，不妨令，则，则，又，符合题意．故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）15.已知数列中，，且满足，若的前3项构成等差数列，则______．〖答案〗3〖解析〗由，得，两式相加得，故，两式相减得，所以数列是以6为周期的周期数列，所以，则．故〖答案〗为：3.16.已知双曲线的左、右焦点分别为，过原点的直线与交于两点．若，且的面积为2，则的焦距为______．〖答案〗〖解析〗双曲线为等轴双曲线，设双曲线的半焦距为，则由双曲线的对称性可知四边形为平行四边形，因为，所以四边形为矩形，，不妨设点在的右支上，，则，所以，得，所以，得，又，所以的焦距为．故〖答案〗为：．三、解答题（一）必考题17.已知的内角的对边分别为，且．（1）求角；（2）若，求面积的最大值．解：（1）由，得，由正弦定理得，整理得，即，因为，所以，所以，又，所以．（2）设中点为，因为，所以，在中，，即，当且仅当时等号成立，故的最大值为4．所以，因为，所以，所以面积的最大值为．18.如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，侧面是边长为4的正三角形，．（1）证明：平面平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：取中点，连接，为菱形,，所以是等边三角形，则．又是等边三角形，所以因为，所以，故，又，所以，故，因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面．（2）解：存在，理由如下：假设存在，设，由（1）知三条直线两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，．设平面的一个法向量为，则令，得，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以．由，解得（舍）或，所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，此时．19.生物病毒（Biologicalvirus，以下简称病毒）是一种个体微小，结构简单，只含一种核酸（DNA或RNA）非细胞型生物．一部分病毒可以感染人类，导致人类出现病毒性疾病．研究人员为了研究某种病毒在常温下的存活时间与空气相对湿度（以下简称湿度）的关系，对100株该种病毒的存活时间（单位：小时）进行统计，如果存活时间超过8小时，即认为该株病毒“长期存活”，经统计得到如下的列联表，空气相对湿度是否存活合计长期存活非长期存活湿度以上153550湿度及以下54550合计2080100（1）在犯错误概率不超过0.05的前提下，判断该病毒“长期存活”是否与湿度有关；（2）以样本中的频率估计概率，设在常温下，空气相对湿度在及以下的1000株病毒中恰有株病毒为“长期存活”的概率为，求当取得最大值时，的值．附：；0.10.050.012.7063.8416.635解：（1）根据列联表中数据，计算得：．因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为该病毒“长期存活”与湿度有关．（2）根据列联表中数据可知，在湿度及以下的50株病毒中有5株“长期存活”，若以样本频率估计概率，则一株病毒“长期存活”的概率为．所以，设，当时，，当时，，所以，故当取得最大值时，．20.已知抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于两点，为的中点，且点到抛物线的准线距离的最小值为2．（1）求抛物线的方程；（2）设抛物线在两点的切线相交于点，求点的横坐标．解：（1）由题知直线的斜率不为0，设直线，与抛物线方程联立，得，，,由抛物线的定义，知点到抛物线准线的距离，所以当时，，所以抛物线的方程为．（2）由题易知抛物线在两点处的切线与坐标轴不垂直，设在点处的切线方程为，即，与抛物线方程联立得，，即，解得，所以，即，同理可得抛物线在点处的切线方程为．设，由，得，由（1）知，所以，所以点的横坐标为．21.已知函数．（1）若只有一个极值点，求实数的取值范围；（2）若在处取得极值，且，证明：．（1）解：函数的定义域为，当时，在上单调递增，不存在极值；当时，令，即，得．令，则，所以在上单调递增，又，所以存在唯一的，使得，当时，，即单调递减；当时，，即单调递增；所以仅在处取得极小值，符合题意．故当只有一个极值点时，实数的取值范围为．（2）证明：由（1）知，，且，所以故，令，则，所以单调递减，所以，由，得．设，则，当时，，故在上单调递减，所以当时，，即，所以①；设，则，当时，单调递增，又，故当时，，所以②，①②两式相乘得，故，因为，所以，得证．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；（2）若射线：与曲线和直线分别交于两点，求．解：（1）由得，平方相加得，将代入得，即；