上海市闵行区六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中质量调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市闵行区六校联考2023-2024学年高一下学期4月期中质量调研数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知角的终边经过点，则__________．〖答案〗〖解析〗设坐标原点为，由题意可得：，故.故〖答案〗为：.2.若扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为______.〖答案〗〖解析〗由题意，扇形的面积为.故〖答案〗为:.3.已知，则__________.（用反余弦表示）.〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.4.已知，则__________.〖答案〗〖解析〗因为，所以，原式.故〖答案〗为：.5.函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则______.〖答案〗〖解析〗由正弦函数的对称性与周期性知，解得.故〖答案〗为：.6.函数的单调递增区间是________________________.〖答案〗〖解析〗令，解得.故〖答案〗为：.7.函数是偶函数，则______．〖答案〗〖解析〗令，由已知得为偶函数，可得，所以，，，因不恒为0，所以，又因为，得.故〖答案〗为：.8.函数的值域为________．〖答案〗〖解析〗设，则，，，当时，；当时，；因此，函数的值域是，．故〖答案〗为：，．9.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，那么的形状一定是______________.〖答案〗等腰或直角三角形〖解析〗由和余弦定理得，即，整理得，所以或，即或，所以三角形是等腰或直角三角形.故〖答案〗为：等腰或直角三角形.10.设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是________________.〖答案〗〖解析〗因为为奇函数，所以，所以，又因为，所以，，所以是周期函数，周期为，所以，因为，所以，即，，根据单位圆中的三角函数线可得：，，故〖答案〗为：.11.函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是_______________________．〖答案〗〖解析〗函数在区间内不存在零点且，所以，即，所以，因为，所以，或，解得或，因为，所以或，故正实数的取值范围为.故〖答案〗为：．12.已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是___________.〖答案〗〖解析〗根据题意，作出函数图象，不妨设，如图，根据三角函数的对称性得与关于对称，所以，另一方面，，即所以.故〖答案〗为：.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确〖答案〗，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.“，”是“”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则，若，则，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.14.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则的〖解析〗式是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由图象可知，所以，又因为，所以，所以，因为函数图象过点，所以，又因为，所以，因此.故选：C.15.将函数的图象向上平移1个单位，得到的图象，若，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗由题知，，因为，所以，因为的最大值为1，所以，所以的最小值即的最小值周期，所以.故选：D.16.在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为.其中正确的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确；当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误；当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误；易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确.故选：B.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知.（1）求和的值；（2）求的值.解：（1）由于，故；而，则，故.（2）.18.在中，角A，B，C对边分别是，且满足.（1）求角A；（2）若边长，且的面积是，求边长b及c．解：（1）在中，，由正弦定理得，，，，，因为.（2），，，，所以，即，所以．19.某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，是一块边长为100的正方形地皮，扇形是运动场的一部分，其半径是80，矩形就是拟建的健身室，其中、分别在和上，在上，设矩形的面积为，.（1）将表示为的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点在何处？解：（1）延长交于，则，，，，∴，.（2）令，则，，，当，即时，取得最大值2000，，，，或，即，∴当点在的端点或处时，该健身室的面积最大，最大面积为．20.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数，求函数的单调递减区间；（3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数取值范围.解：（1）因为，所以.（2），由，解得，所以函数的单调递减区间为.（3）由得，当时，，所以，作出函数在的图象，如图：由函数与的图象有两个交点，得，即，即实数的取值范围为.21.已知函数，若存在实数m、k（），使得对于定义域内的任意实数x，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．（1）若，求函数的“平衡”数对；（2）若m＝1，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；（3）若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．解：（1）根据题意可知，对于任意实数，，即，即对于任意