湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省常德市2024届高三下学期3月模拟考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，解得或，所以集合或，所以，故选：C.2.已知等差数列的前项和为，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由等差数列可知，，，解得，，所以.故选：D.3.已知奇函数是定义域为R的连续函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（）A.函数在R上单调递增B.函数在上单调递增C.函数在R上单调递增D.函数在上单调递增〖答案〗C〖解析〗因为是奇函数，且在区间上单调递增，所以在上也为单调递增函数，对于A：不妨令，，所以在单调递减，在单调递增，故A错误；对于B：不妨令，，所以在单调递增，在单调递减，故B错误；对于C：，其定义域为，又，所以是奇函数，取，则，，故所以，则函数在为递增函数；所以函数在也为递增函数，且当时，，所以在R上单调递增，故C正确；对于D：不妨令，，由反比例函数的单调性可知在和上单调递减，故D错误；故选：C.4.如图，现有棱长为6cm的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥，且分别为棱靠近的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，设点到平面的距离为，而，由，得，解得，棱长为6正方体的正方体的内切球的半径为，棱长为6的正方体体对角线的长度为，因为，所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为.故选：B.5.已知，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，又，所以，所以，故选：A.6.已知平面向量均为单位向量，且夹角为，若向量与共面，且满足，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，因为，又，即，解得，所以，所以，故选：B7.已知，则=（）A.9 B.10 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由得，分别对两边进行求导得，令，得，得，故选：D8.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设事件表示任选一件产品，来自于甲箱，事件表示任选一件产品，来自于乙箱，事件从两箱产品中任取一件，恰好不合格，又，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为.故选：A.二、选择题9.下列说法正确的是（）A.数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数(75%分位数)为7B.样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同C.若随机事件，满足：，则，相互独立D.若，且函数为偶函数，则〖答案〗BC〖解析〗对A：将数据从小到大重新排列后为：2、3、4、5、6、7、8、9，，则其上四分位数为，故A错误；对B：，故B正确；对C：，即，故，相互独立，故C正确；对D：由为偶函数，则，又由对称性知，故，即，故D错误.故选：BC.10.过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（）A.以为直径的圆过坐标原点B.C.若直线的斜率存在，则斜率为D.若，则〖答案〗ABC〖解析〗由题意可知直线斜率不为，设，，，联立得，则，，，，因为，所以，以为直径的圆过坐标原点，A说法正确；，B说法正确；因为为线段中点，所以，若直线的斜率存在，则，直线的斜率，C说法正确；若，则，由抛物线的定义可得，D说法错误；故选：ABC11.若函数的零点为，函数的零点为，则（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗令得，令得，在同一直角坐标系中作出，，，，，的函数图象，、、在上分别递增、递减、递减，且在上递减速率，先慢后快，先快后慢，由，且，，所以，所以，故不正确；由，故，由，故，因为上函数，关于直线对称，所以，即，又，所以，故正确；由，所以，故正确；由，所以，由，得，又，因为在单调递减，所以，所以，故正确.故选：.三、填空题12.已知曲线在处的切线与圆相交于、两点，则____________．〖答案〗〖解析〗由，定义域为，，则切线斜率，又，所以切线方程为：，化简为：；又因为圆的圆心，半径，设圆心到直线的距离为，则，则.故〖答案〗为：13.若复数满足：，则________.〖答案〗〖解析〗设，则，故，故所以即，故〖答案〗为：2.14.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的2倍，则双曲线C的离心率为_________.〖答案〗或〖解析〗设，，由双曲线的定义可得，，由的面积是的面积的2倍，可得，又为等腰三角形，可得，或，当，即，可得，，，，在中，，在中，，化为，即；当，即，可得，，，，在中，，在中，，化为，即．故〖答案〗为：或．四、解答题15.在中，内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，成等差数列，且的面积为，求的周长．解：，由正弦定理可得：.由余弦定理可得：.又因为，所以.（2由,,成等差数列可得：①.因为三角形的面积为，，，即②.由(1)知：③由①②③解得：.，故三角形的周长为15.16.某市组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9天每天普及的人数，得到下表：时间（天）123456789每天普及的人数y8098129150203190258292310（1）从这9天的数据中任选4天的数据，以表示4天中每天普及人数不少于240人的天数，求的分布列和数学期望；（2）由于统计人员的疏忽，第5天的数据统计有误，如果去掉第5天的数据，试用剩下的数据求出每天普及的人数y关于天数的线性回归方程.（参考数据：，附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：）.解：（1）每天普及人数不少于240人的天数为3天，则的所有可能取值为，，，，，故的分布列为0123.（2）设原来数据的样本中心点为，去掉第5天的数据后样本中心点为，，，故，，所以.17.如图，在四棱锥中，平面平面,,，，.（1）证明：平面；（2）已知三棱锥的体积为，点为线段的中点，设平面与平面的交线为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：方法一：取AD的中点O，，.又平面平面，平面平面=，平面.又平面，.，，，，，.又，平面，平面.方法二：，，，，，.又平面平面，平面平面，平面，平面.（2）解：，.取PB的中点M，又为的中点，，又，，平面即为平面，为平面与平面的交线.取AB的中点Q，连结OQ，由（1）可知，OA、OP、OQ两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，，，则，取，则，.设直线与平面夹角为，，则，故直线与平面夹角的正弦值.18.已知O为坐标原点，椭圆C：的上、下顶点为A、B，椭圆上的点P位于第二象限，直线PA、PB、PO的斜率分别为，且.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过原点O分别作直线PA、PB的平行线与椭圆相交，得到四个交点，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.解：（1）由题意可得，设，则，∵，∴，化简得：①，又在椭圆上，②，由①②得，又，∴，故椭圆C的标准方程；（2）设直线的平行线与椭圆相交于点、（在上方），直线的平行线与椭圆相交于点、（在上方），∴直线方程为，直线的方程为，又，∴，联立，解得，∴，联立，解得，∴，设直线EF的倾斜角为，直线GH的倾斜角为，，∴，则，，∴四边形面积为：，故该四边形的面积为定值.19.已知函数.（1）判断函数在区间上极值点的个数并证明；（2）函数在区间上的极值点从小到大分别为，设为数列的前项和.①证明：；②问是否存在使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.（1）解：，设，又，当时，上单调递减，，在上无零点；当时，在上单调递增，，在上有唯一零点；当时，在上单调递减，，在上有唯一零点.综上，函数在区间上有两个零点且在零点左右函数符号发生改变，故函数在区间内恰有两个极值点.（2）①证