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文档简介
新疆乌鲁木齐市天山区兵团第二中学2024年高三下学期联考数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,则函数的图象大致为()A. B.C. D.2.已知函数,集合,,则()A. B.C. D.3.已知函数,若时,恒成立,则实数的值为()A. B. C. D.4.复数的共轭复数为()A. B. C. D.5.体育教师指导4个学生训练转身动作,预备时,4个学生全部面朝正南方向站成一排.训练时,每次都让3个学生“向后转”,若4个学生全部转到面朝正北方向,则至少需要“向后转”的次数是()A.3 B.4 C.5 D.66.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是()A. B. C. D.7.集合,,则=()A. B.C. D.8.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影为,则等于()A.2 B.1 C. D.09.已知数列中,,且当为奇数时,;当为偶数时,.则此数列的前项的和为()A. B. C. D.10.已知复数,则的虚部为()A. B. C. D.111.若集合,,则()A. B. C. D.12.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数在上的最小值和最大值分别是_____________.14.已知向量,,若,则实数______.15.已知函数,若,则的取值范围是__16.如图,在直四棱柱中,底面是平行四边形,点是棱的中点,点是棱靠近的三等分点,且三棱锥的体积为2,则四棱柱的体积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.18.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.19.(12分)某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉,观景喷泉的示意图如图所示,两点为喷泉,圆心为的中点,其中米,半径米,市民可位于水池边缘任意一点处观赏.(1)若当时,,求此时的值;(2)设,且.(i)试将表示为的函数,并求出的取值范围;(ii)若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时,观赏角度的最大值不小于,试求两处喷泉间距离的最小值.20.(12分)某企业原有甲、乙两条生产线,为了分析两条生产线的效果,先从两条生产线生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本,检测一项质量指标值.该项指标值落在内的产品视为合格品,否则为不合格品.乙生产线样本的频数分布表质量指标合计频数2184814162100(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图,以从样本中任意抽取一件产品且为合格品的频率近似代替从甲生产线生产的产品中任意抽取一件产品且为合格品的概率,估计从甲生产线生产的产品中任取5件恰有2件为合格品的概率;(2)现在该企业为提高合格率欲只保留其中一条生产线,根据上述图表所提供的数据,完成下面的列联表,并判断是否有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关?若有90%把握,请从合格率的角度分析保留哪条生产线较好?甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计附:,.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87921.(12分)[选修4-5:不等式选讲]设函数.(1)求不等式的解集;(2)已知关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.22.(10分)已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程;(2)点是曲线上的一点,试判断点与曲线的位置关系.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
用排除法,通过函数图像的性质逐个选项进行判断,找出不符合函数解析式的图像,最后剩下即为此函数的图像.【详解】设,由于,排除B选项;由于,所以,排除C选项;由于当时,,排除D选项.故A选项正确.故选:A【点睛】本题考查了函数图像的性质,属于中档题.2、C【解析】
分别求解不等式得到集合,再利用集合的交集定义求解即可.【详解】,,∴.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,难度容易.3、D【解析】
通过分析函数与的图象,得到两函数必须有相同的零点,解方程组即得解.【详解】如图所示,函数与的图象,因为时,恒成立,于是两函数必须有相同的零点,所以,解得.故选:D【点睛】本题主要考查函数的图象的综合应用和函数的零点问题,考查不等式的恒成立问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、D【解析】
直接相乘,得,由共轭复数的性质即可得结果【详解】∵∴其共轭复数为.故选:D【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.5、B【解析】
通过列举法,列举出同学的朝向,然后即可求出需要向后转的次数.【详解】“正面朝南”“正面朝北”分别用“∧”“∨”表示,利用列举法,可得下表,原始状态第1次“向后转”第2次“向后转”第3次“向后转”第4次“向后转”∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨∧∧∧∧∧∨∨∨∨∨可知需要的次数为4次.故选:B.【点睛】本题考查的是求最小推理次数,一般这类题型构造较为巧妙,可通过列举的方法直观感受,属于基础题.6、A【解析】
由复数z求得点Z的坐标,得到向量的坐标,逆时针旋转,得到向量的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),
∴=(0,1),将绕原点O逆时针旋转得到,
设=(a,b),,则,即,
又,解得:,∴,对应复数为.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.7、C【解析】
先化简集合A,B,结合并集计算方法,求解,即可.【详解】解得集合,所以,故选C.【点睛】本道题考查了集合的运算,考查了一元二次不等式解法,关键化简集合A,B,难度较小.8、B【解析】
先求出,再利用投影公式求解即可.【详解】解:由已知得,由在方向上的投影为,得,则.故答案为:B.【点睛】本题考查向量的几何意义,考查投影公式的应用,是基础题.9、A【解析】
根据分组求和法,利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和,利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和,进而可求解.【详解】当为奇数时,,则数列奇数项是以为首项,以为公差的等差数列,当为偶数时,,则数列中每个偶数项加是以为首项,以为公比的等比数列.所以.故选:A【点睛】本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.10、C【解析】
先将,化简转化为,再得到下结论.【详解】已知复数,所以,所以的虚部为-1.故选:C【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.11、A【解析】
用转化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定义求解即可.【详解】解:由集合,解得,则故选:.【点睛】本题考查了并集及其运算,分式不等式的解法,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.属于基础题.12、D【解析】
,,得解.【详解】,,,所以,故选D【点睛】比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求导,研究函数单调性,分析,即得解【详解】由题意得,,令,解得,令,解得.在上递减,在递增.,而,故在区间上的最小值和最大值分别是.故答案为:【点睛】本题考查了导数在函数最值的求解中的应用,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题14、-2【解析】
根据向量坐标运算可求得,根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得:,解得:本题正确结果:【点睛】本题考查向量的坐标运算,关键是能够利用平行关系构造出方程.15、【解析】
根据分段函数的性质,即可求出的取值范围.【详解】当时,,,当时,,所以,故的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查分段函数的性质,已知分段函数解析式求参数范围,还涉及对数和指数的运算,属于基础题.16、12【解析】
由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,分别表示出直四棱柱的体积和三棱锥的体积,即可求解。【详解】由题意,设底面平行四边形的,且边上的高为,直四棱柱的高为,则直四棱柱的体积为,又由三棱锥的体积为,解得,即直四棱柱的体积为。【点睛】本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题,其中解答中正确认识几何体的结构特征,合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,以及空间想象能力,属于中档试题。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)根据递推公式,用配凑法构造等比数列,求其通项公式,进而求出的通项公式;(2)求出数列的通项公式,利用错位相减法求数列的前项和.【详解】解:(1),,是首项为,公比为的等比数列.所以,.(2).【点睛】本题考查了由数列的递推公式求通项公式,错位相减法求数列的前n项和的问题,属于中档题.18、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取BC的中点O,则,由是等边三角形,得,从而得到平面,由此能证明(2)以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到结果.【详解】(1)取BC的中点O,连接,,由于与是等边三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)设,是全等的等边三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,设平面的一个法向量为,则,令,则,又平面的一个法向量为,所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.19、(1);(2)(i),;(ii).【解析】
(1)在中,由正弦定理可得所求;(2)(i)由余弦定理得,两式相加可得所求解析式.(ii)在中,由余弦定理可得,根据的最大值不小于可得关于的不等式,解不等式可得所求.【详解】(1)在中,由正弦定理得,所以,即.(2)(i)在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,又所以,即.又,解得,所以所求关系式为,.(ii)当观赏角度的最大时,取得最小值.在中,由余弦定理可得,因为的最大值不小于,所以,解得,经验证知,所以.即两处喷泉间距离的最小值为.【点睛】本题考查解三角形在实际中的应用,解题时要注意把条件转化为三角形的边或角,然后借助正余弦定理进行求解.解题时要注意三角形边角关系的运用,同时还要注意所得结果要符合实际意义.20、(1)0.0081(2)见解析,保留乙生产线较好.【解析】
(1)先求出任取一件产品为合格品的频率,“从甲生产线生产的产品中任取5件,恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验,恰好发生2次的概率用二项分布概率即可解决.(2)独立性检验算出的观测值即可判断.【详解】(1)根据甲生产线样本的频率分布直方图,样本中任取一件产品为合格品的频率为:.设“从甲生产线生产的产品中任取一件且为合格品”为事件,事件发生的概率为,则由样本可估计.那么“从甲生产线生产的产品中任取5件,恰有2件为合格品”就相当于进行5次独立重复试验,事件恰好发生2次,其概率为:.(2)列联表:甲生产线乙生产线合计合格品9096186不合格品10414合计100100200的观测值,∵,,∴有90%把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与生产线有关.由(1)知甲生产线的合格率为0.9,乙生产线的合格率为,∵,∴保留乙生产线较好.【点睛】此题考查独立重复性检验二项分布概率,独立性检验等知识点,认准特征代入公式即可,属于较易题目.21、(1)(2)【解析】
(1)零点分段去绝对值解不等式即可(2)由题在上有解,去绝对值分离变量a即可.【详解】(1)不等式,即等价于或或解得,所以原不等式的解集为;(2)当时,不等式,
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