椭圆的几何性质（原卷版）

椭圆的几何性质TOC\o"13"\h\z\u题型1椭圆的几何性质 2题型2点与椭圆的位置关系 4题型3离心率取值问题 5题型4离心率取值范围 7◆类型1根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围 7◆类型2临界关系求离心率的取值范围 8◆类型3根据几何性质求离心率的取值范围 8◆类型4根据题目的条件求离心率的取值范围 10题型5直线与椭圆的位置关系 12◆类型1过定点型 12◆类型2联立方程型 12题型6弦长问题 13◆类型1不含参数型 13◆类型2含参数型 14题型7中点弦问题 15题型8解答题 16焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)知识点二.椭圆的离心率1.定义：e＝eq\f(c,a).2.离心率的范围为：(0,1).2.公式拓展：e＝eq\f(c,a)=1-b2a3.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.题型1椭圆的几何性质【例题1】（2023·全国·高二随堂练习）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率：(1)x2(2)x2(3)4x【变式11】1.（多选）（2023秋·河南焦作·高二校考阶段练习）已知椭圆x216+A．13 B．13 C．19 D．19【变式11】2.（2023秋·高二课时练习）曲线x225+A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等【变式11】3.（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知椭圆E的方程为x2+(y-2)A．长轴长为16 B．短轴长为4C．焦距为2 D．焦点为-2,0【变式11】4.（多选）（2022秋·浙江嘉兴·高二校考期中）已知F1，F2是椭圆C:xA．PB．椭圆的焦距为2C．点P到左焦点F1距离的最大值为D．∠F1【变式11】5.（多选）（2022秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）已知椭圆C：x2m+y2A．6+25 B．6+45【变式11】6.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，用一束与平面α成60°角的平行光线照射半径为3的球O，在平面α上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的（

）A．长轴长为3 B．离心率为2C．焦距为2 D．面积为3【变式11】7.（2023·江西九江·统考一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，过F2A．3 B．6 C．62 D．【变式11】8.（多选）（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（

）A．轨道Ⅱ的长轴长为R+rB．轨道Ⅱ的焦距为R-rC．若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D．若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小题型2点与椭圆的位置关系【方法总结】点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.【例题2】（2023·江苏·高二专题练习）若点3,2在椭圆x2A．点-3,-2不在椭圆上 B．点3,-2不在椭圆上C．点-3,2在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系【变式21】1.（2023·全国·高二专题练习）点P(4cosα，23sinα)(α∈R)与椭圆C：x24＋yA．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外【变式21】2.（2023·江苏·高二专题练习）点Aa,1在椭圆xA．-2,C．-2,2 D．-1,1【变式21】3.（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考期中）函数y=a3-x（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在椭圆x2m+y2A．12 B．14 C．16 D．18【变式21】4.（多选）（2023·全国·模拟预测）已知曲线C:mxA．0<m<12 B．CC．m的值越小，C的焦距越大 D．C的短轴长的取值范围是0,2【变式21】5.（2023·高二课时练习）设点Px,y是曲线x225+yA．PF1C．PF1题型3离心率取值问题【方法总结】1．椭圆的离心率的求法：(1)直接求a，c后求e，或利用e＝eq\r(1－\f(b2,a2))，求出eq\f(b,a)后求e.(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2＝a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于eq\f(c,a)(e)的方程求e.2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．【例题3】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),O为椭圆的对称中心，A．32 B．5-12 C．【变式31】1.（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且A．217 B．3311 C．7【变式31】2.（2023·全国·高三专题练习）已知右焦点为F的椭圆E：x2a2+y2b2=1a>b>0上的三点A，B，C满足直线A．22 B．75 C．3【变式31】3.（2023·江苏·高二专题练习）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1A．14,12 B．1【变式31】4.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的上顶点为【变式31】5.（2022秋·浙江·高二校联考期中）已知F1、F2为椭圆x2a2+y2题型4离心率取值范围【方法总结】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e=c②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2◆类型1根据a,b,c的不等关系求离心率取值范围【例题41】（2023·全国·高二专题练习）椭圆x25a+A．（0，15） B．（15，C．0,55【变式41】1.（2023春·海南·高二统考学业考试）已知椭圆x2A．0,55 B．0,12【变式41】2.（2023秋·高二单元测试）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为．【变式41】3.（2023秋·河南洛阳·高三校考阶段练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为A．2-1,1 B．2-1,1 C．0,◆类型2临界关系求离心率的取值范围【例题42】2023秋·高二单元测试）椭圆C:x2a2+y2b2A．0,12 B．12【变式42】1.（2023·全国·高三专题练习）若椭圆x2a2+y2b【变式42】2.（2022秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知圆C1:x2+y2=b2与椭圆C2:xaA．[32C．22,【变式42】3.（2023·全国·高二专题练习）过原点作一条倾斜角为θθ∈π6,5【变式42】4.(2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设F1、F2分别为椭圆x2a2+y◆类型3根据几何性质求离心率的取值范围【例题43】（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）若椭圆E:x2+y21-m2=1A．0,12 B．12,1【变式43】1.（2023秋·高二课时练习）已知椭圆C：x2a2+y2bA．0，3C．35，【变式43】2.（2021·陕西西安·统考一模）已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，半焦距为【变式43】3.（2021秋·陕西汉中·高三统考期末）已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线l:x-y=0与椭圆C交于不同的两点M，N，满足|MF|+|NF|=4，且点B到直线l的距离不小于22，则椭圆C的离心率eA．0,32 B．32,1【变式43】4.（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）椭圆x2a2+y2b2=1A．0，4C．0，17【变式43】5.（2022秋·山东淄博·高二校联考阶段练习）若F1、F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点，焦距为4，点P为C【变式43】6.（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MFA．(0，12) B．(0【变式43】7.（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点Px0,y0是椭圆C:x2a2A．0,22 B．0,22【变式43】8.（2023·全国·高二专题练习）设F1、F2分别是椭圆C:xA．0,12 B．0,13【变式43】9.（2023·海南·校考模拟预测）已知F是椭圆x2a2+yA．[32,1) B．(0,3【变式43】10.（2023·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x2aA．0,1 B．0,22 C．2【变式43】11.（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知椭圆C：x2a2+y2bA．0,12C．0,22【变式43】12.（2023春·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考阶段练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2◆类型4根据题目的条件求离心率的取值范围【例题44】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设M是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，A．22,1 B．0,22【变式44】1.（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）椭圆的中心在坐标原点，A1，A2，B1，B2分别为椭圆的左、右、上、下顶点，F2为其右焦点，直线B1FA．5-12,1 B．12【变式44】2.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为【变式44】3.（2023·全国·高二专题练习）已知点F是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，点F关于直线【变式44】4.（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知O为坐标原点，动直线l与椭圆M:x2a2+y2b2【变式44】5.（2023·重庆·统考三模）已知F1，F2分别为椭圆的左右焦点，P是椭圆上一点，∠PF【变式44】6.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1的左右焦点分别为F1，F2【变式44】7.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x2a2+y2b2=1【变式44】8.（2023春·上海静安·高二上海市新中高级中学校考期中）设椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为题型5直线与椭圆的位置关系【方法总结】直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．◆类型1过定点型【例题51】（2023秋·全国·高二期中）椭圆x28+A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【变式51】1.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C:x225A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式51】2.（2022·全国·高三专题练习）直线y=kx-k与椭圆x2A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式51】3.（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期末）直线y＝k（x﹣2）+1与椭圆x2A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判断◆类型2联立方程型【例题52】（2022秋·高二课时练习）已知点P(1,m)在椭圆x24+y2A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【变式52】1.（2023秋·高二课时练习）直线x=1与椭圆x2A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【变式52】2.（2023秋·高二课时练习）直线y=x+1与椭圆x2A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定题型6弦长问题【方法总结】（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．（2）求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).◆类型1不含参数型【例题61】（2023秋·高二课时练习）通过椭圆x2A．23 B．3 C．3【变式61】1.（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知椭圆C：x216+y27=1，F为椭圆C的左焦点，A为椭圆C的右顶点，B【变式61】2.（2022·高二课时练习）直线l：x+y-3=0，椭圆x24【变式61】3.（2023·全国·高二专题练习）过椭圆C：x26+y2【变式61】4.（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）已知椭圆x2a2+y2b2=1被直线y=-2x-2截得的弦长为6，则直线①-2x-y+2=0【变式61】5.（2022秋·广东江门·高二江门市培英高级中学校考期中）已知椭圆的方程为x24+y23=1，左、右焦点分别为【变式61】6.（2022春·宁夏吴忠·高二校考开学考试）设椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)求椭圆C被直线y=x+1截得的弦长.◆类型2含参数型【例题62】（2023秋·全国·高二期中）已知椭圆E：x2m+A．kx+y+1=0 B．kx+y-1=0 C．kx-y-1=0 D．kx+y-2=0【变式62】1.（多选）（2023秋·山东聊城·高三校联考期末）已知过点0,1的直线与椭圆x2+y22=1交于A．1 B．2 C．3 D．3【变式62】2.（2023·江苏·高二专题练习）直线y=2x+b被椭圆4x2+y2【变式62】3.（2022秋·湖南郴州·高二校考阶段练习）直线y=kx-2与椭圆x2+4y2=80相交于不同的两点P,Q,若PQ【变式62】4.（2023·全国·高二专题练习）已知直线l:y=2x+m和椭圆C:x24+y2=1，m【变式62】5.（2023·全国·高三专题练习）椭圆Cx24+y23=1上有一点P，若过点P的动直线l与C的另一个交点为Q，并且满足:原点O到l题型7中点弦问题【方法总结】解决椭圆中点弦问题的两种方法：（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和【例题7】（2023秋·高二课时练习）已知A、B为椭圆y24+x23=1上两点，O为坐标原点，MA．-23 B．-32【变式71】1.（2023·全国·高二专题练习）直线y=x-1被椭圆2xA．13,C．12,【变式71】2.（2023·全国·高二专题练习）椭圆4x2+9A．3x+2y-12=0 B．2x+3y-12=0C．4x+9y-14=0 D．9x+4y-14=0【变式71】3.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x2a2+yA．12 B．22 C．3【变式71】4.（2023·全国·高二专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F6,0A．123π B．93π题型8解答题【例题8】（2023·福建龙岩·统考二模）已知椭圆K:x2a2+y2b2