高数下要点含微分方程自己的

第六章微分方程

一、一阶微分方程

1、一阶线性方程手+0(%)y=Q(%)

ax

2、伯努利方程半+尸(%)y=Q(%)y"570,1)

dx

「一•岑二十0(％)>j=Q(%).令z=

l-nax

二、可降阶的高阶方程

1.y⑺=/(%)几次积分

2.y=/(%,y)不显含y

令旷=〃(%),化为一阶方程p'=f(x,p)o

3.y=/(y,y)不显含自变量

,,、2

令y=〃(y)，7d菅y=〃d子p，化为一阶方程。

axay

三、线性微分方程

产+“1(%)y("T)+…+%y=/(%),

/(%)三。时称为齐次的，/(%)羊。称为非齐次的。

1.二阶线性齐次线性方程

y"+P(x)yr+Q{x)y=0(1)

如果函数为(%)与%(%)是方程⑴的两个解,

则＞=G%(％)+C2y2(%)也是⑴的解,其中G，G是任意常数。

如果以(%)与为(％)是方程⑴的两个线性无关的特解,

则y=G%(%)+G%())(G，G是任意常数)是⑴的通解.

两个函数%(%)与乃(％)线性无关的充要条件为

%⑴士「

心羊C(常数)

2.二阶线性非齐次线性方程

设y*(%)是二阶线性非齐次线性方程y”+尸(%)V+Q(%)y=/(%)

的一个特解，丫(％)是它对应的齐次方程⑴的通解，则，=丫(％)+，*。)是该方程的

通解.

设y；(%)与y；(%)分别是二阶线性非齐次方程

y"+P(x)y'+Q(x)y=力(%)与y"+P(x)y'+Q(x)y=/2(x)

的两个特解。则y；(%)+y；(%)是

的特解。(叠加原理)

3.二阶线性常系数齐次方程V'+py'+qy=0

1

特征方程r+pr+q=O,特征根q,r2

特征方程的根ri，丫2y"+py'+qy=。的通解

两个不相等的实根G

两个相等的实根n=r2

一对共辗复根rX2=a+i(3

4.二阶线性常系数非齐次方程丁〃+〃/+0Y=/(%)

i)如果/(%)=**

则二阶线性常系数非齐次方程具有形如y的特解。

其中，以(％)是加次多项式，。加(%)也是系数待定的根次多项式；

k=0,1,2依照2为特征根的重数而取值.

i)如果/(%)=e"仍(％)coscox+Pn(%)sincox],

则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为

其中用：)(％)，&；)(%)是系数待定的机次多项式，m=max{],〃},

k=0,1依照A+iao特征根的重数取值.

四、欧拉方程

二阶欧拉方程x2yr,+pxyr+qy=f（x）,其中P，9为常数.

dydydt1dyd~y1(d2ydy'

作变换x=el,则有--=---•---=-----

dx--dtdxxdtdx2x2(dt2dt,

d2y,八dy”八

原方程变为二阶线性常系数方程充+（〃T）区+分=小）。

第七章空间解析几何

一、1、|5x/|=|5||/|sin0,其中。是应与力的夹角;

2、向量积满足下列运算律：

1）反交换律=

2）结合律〃左＞＜历=（九5）x方=1x（而），其中％是数量；

3)左分配律歹x((5+A)=亍x3+歹x。，

右分配律(«+^)x/=axf+^x/.

iJk

〃2a3“2

3、B=Cly^^2^^3

b2b34b34b2

Aab3

-►_»Q1

4、若］={%,%，/}w0,则应=两位称为笈单位化向量，并有＜5=|茂|3°.此

时

a=<,——一,/2——〈,7，3。十}={cos%cos/?,cosq}其

Qa；+a]+agJa；+a；+agJa；+a)+ag

中COS6Z,COS/?,COS/是花的方向余弦.

三、1、旋转面方程

yoz平面上的曲线C：|"1z)=°绕2轴的旋转面方程为了(土后千，z)=0；绕

y轴的旋转面方程为/(y,)=0.类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转

面方程.

2、柱面方程

f(x,y)=0

以xoy平面上的曲线C：V八，为准线，母线平行于z轴的柱面方程为

z=0

/(%»)=0.同理方程g(y,z)=。和h(x,z)=0分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面.

3、曲线在坐标面上的投影

在空间曲线的方程c」'(x，％z)=°中，经过同解变形分别消去变量光，，z,则可得到

F2(X,y,z)=0

「生近百旦旦/卅处公川叫fF(y,z)=0(G(x,z)=0[H(x,y)=0

C在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为：《；\；<八

%=o[y=o[z=o

四、1、平面方程

1)点法式：过点P0(x0,y0,z0),法向量n={A,B,C}的平面方程为

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0,

2）一般式：Ax+By+Cz+D=0,其中A,反。不全为零.

xyZ

3）截距式：一+：+—=1

abc

4）两个平面之间的关系

设两个平面口1与口2的法向量依次为％={A，4<}和&={4，4，。2}.小与口2

的夹角夕规定为它们法向量的夹角（取锐角）.此时

2、直线方程

1）一般式：将直线表示为两个平面的交线

+4y+CjZ+D]=0

<

A2x+B2y+C?z+Z）2=。

2）若直线£经过点黑（%0，%/0）且与方向向量E="，冽，"}平行，则]的方程

%%0_=zz°

i）对称式:Imn

x=x0+It

ii)参数式：\y=y0+mt,-00</<+00.

z=zG-\-nt

3）两条直线之间的关系

设两条直线Li和L2方向向量分别为J,v2={Z2,m2,n2},Li与L2的夹角

。规定为它们方向向量的夹角（取锐角）.于是

3、直线与平面的关系

设直线L的方向向量为E={/,加,“},平面n的法向量为方={A,5,C}.L与n的

夹角。规定为L与它在II上投影直线L'的夹角（锐角）.这时

.,|v•H||IA+mB+nC\

sm0=---------=,

Ivl-IHIVz2+m2+«2jA2+B2+C2'

IJTIn

L与n垂直的充要条件是-=-=

L与n平行的充要条件是lA+mB+nC=O

%2v2

五、1、椭圆抛物面：z=/+gr，

其中。>0,/>0（图3）.

例如z=%+y,—z=%2等.

xy

2^椭圆锥面：z2=--H,

ab

其中a>0,b>0（图4）.

例如，圆锥面Z=%+y.

/y2Z2

3、单叶双曲面—+^-—=1,

a2b2c2

其中a>O,Z?>O,c>。（图5）.

例如x2+y2-z2=1.i

x2y2z2

4、双叶双曲面,+——7=1,

a~bc

其中a>0,Z?>0,c>0

（图6）.例如z—x—y=1.

第八章多元函数的微分学

一、1.偏导数

对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变量看作常数,对这个变量求一元函数的导

数.

2.高阶偏导数

二元函数/（x,y）的二阶偏导数

次［瓦J=玄"=力""')=£"'')'或＜1'41；

8(Sz)62z、，/x-P-r

二二=＜》(%＞)=力2(X'V)，或42，Z12；

oy\ox)oxoy

藉(x，y)及&(x,y)称为二阶混合偏导数

3、全微分

二元函数2=/(x,y)在点(x,y)处的全微分

三元函数"=/(x,y,z)的全微分，并有

4、可微、可导、连续的关系

在多元函数中，可微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同.在多元函数

1)可微必可导，可导不一定可微；

2)可微必连续，连续不一定可微；

3)可导不一定连续，连续不一定可导

5、复合函数的偏导数

假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式(链式法则)：

a.若z=/(〃,v),u=(p{x),v="(％),

则复合函数z="9(幻,〃(幻］的导数为

d一z=-dz--d-u-+,-d-z-d-v-；

dxdudxdvdx

b.若z=f(/v),u=(p(x,y),v=i//(x,y),

则复合函数z=f［(p(x,y),y/(x,y)］的偏导数

d-z--_-d-z--d-u+,-d-z-d-v-,--d-z-_--d-z-d-u-+,-d-z-d-v-；

dxdudxdvdxdydudydvdy

6、隐函数的偏导数

1)方程尸(x,y)=O所确定的隐函数的导数为华=-”.

dxFy

2)方程F(x,y,z)=O所确定隐函数的偏导数为

dz_Fxdz_Fy

dxFz'dyFz

二、1、取得极值的必要条件

如果函数z=f(x,y)在点玲(X。,%)的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值,

则力(飞，为)=。，%(%，%)=0.

可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点.

2.取得极值的充分条件

设2=/(无丁)在驻点(%,先)的某个邻域内有二阶的连续偏导数.

B

令4=工式/，%)，=fxy(x0,y0),

2

C=fyy(x0,y0),A=B-AC,

于是有

1)如果A<0,则点(%,%)是函数的极值点.

当A<0时，/(%%)是极大值，

当4>0时，/(%,%)是极小直

2)如果A>0,则点(%,为)不是函数的极值点.

3)如果△=€),则函数2=/(%,丁)在点(%,%)有无极值不能确定，需用其它方法

判别.

3.条件极值

1)求二元函数z=/(x,y)在约束条件9(x,y)=0下的极值，可以按照如下步骤进

行：

i)构造拉格朗日函数L(x,y)=/(x,y)+A(p(x,y)；

—=£(x,y)+XR(X,j)=0

OX

ii)解方程组ar

—=fy(x,y)+A<py(x,y)=0•

<P(x,j)=0

若4，%,凡是方程组的解，则(%,%)是该条件极值问题的可疑极值点.

三、多元微分学的几何应用

1.空间曲线的切线与法平面

X=x（t）

给定空间曲线L：y=y（t）,其中的三个函数有连续的导数且导数不同时

z=z⑺

为零（光滑曲线）.L上的点为（Xo，X）,z0）对应的参数为则曲线L在点

」（无O，%，Zo）处的切向量为｛x'4）,V（幻,Z%）｝,此时的切线方程为

x-x0_y-y0_z-z0

x'«o）V«o）z«o）'

曲线L在点温（%,为，z0）的法平面方程为

2.曲面的切平面与法线

给定曲面E的方程下（x,y,z）=O,函数E（x,y,z）有连续的偏导数且三个偏导

数不同时为零（光滑曲面）.点好（x°，为，Z。）是E上的一个点.则曲面E在点

好（公,%,Z。）处的法向量为

｛工（4，%,Z。）,Fy（x0,y0,z°）,£（%,%,z°）｝，

此时的切平面方程为

£（%o，%，Zo）（%-%）+K（%o，%，Zo）（y-%）+2（%，%，Zo）（z-z0）=0,

曲面E在点P0（x0,%，z0）的法线方程为

——/_y—%_z-zo

工(Xo，%，Zo)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

四.方向导数与梯度

1.若函数〃=/(%,y,z)在点P(x,y,z)可微，方向/的方向余弦为

cosa,cos/7,cos/,则函数在点P(x,y,z)沿方向I的方向导数为

dududucdu

——二——cosofd---cospd---cosy.

dldxdydz

2.设函数〃=/(x,y,z)在空间区域G内可微，

则函数在点P0(.x0,y0,z0)处的梯度定义为一个向量gradf(Xo,y0,Zo)=

fx(Xo，%，Zo)；+fy(x0,y0,z0)j+<(%o,%,Zo)k.

梯度方向是函数变化率最大的方向.在梯度方向上函数的方向导数取得最大

,

值Igrad/^,y0,z0)\.

第九章重积分

一、二重积分的计算

1.直角坐标下二重积分的计算

1)若积分区域可以表示为£>：a<x<b,(px{x)<y<(p2{x},则

2)若积分区域可以表示为D：c<y<d,<x<,则

jjf(x,y)dxdy=「时：：〃》,y)dx.

D'

2.极坐标下二重积分的计算

x=rcosO0<r<+oo,

直角坐标与极坐标的关系为

y—rsin^0<^<2TI.

此时面积元素为db=rdrd9或dxdy=rdrdO.若在极坐标下积分区域可以表示为

D:a<O</3.(pS3)<r<(p2(0),则

Uf(x,y)dxdy=jj/(rcos6>,rsin0)rdrd0=jdO^/(rcos^,rsin0)rdr--、--

DD

重积分的计算

JjJldv=JJJdv=|Q|,|Q|表示Q的体积.

QQ

1.直角坐标下三重积分的计算

1)“先一后二”法

若积分区域可表示为

Cl-a<x<b,%。)WyW%(%)，z1(x,y)<z<z2(x,y),则

其中是。在xoy坐标面上的投影.

2)“先二后一”法

设积分区域。在z轴上的投影区间为用平面z=z(常数)去截O,截

面为则

jj]/(%,y,z)d%dydz=[：dz]]/(%,y,z)dxdy其中y,z)dxdy是将

oDzDz

Q投影到xoy坐标面上所做的二重积分.

2.柱面坐标下三重积分的计算

x=rcosO0<r<+oo

直角坐标与柱面坐标的关系为<y=rsin。，0<3<2TT,

Z=z—00<z<+00

则体积元素为dv=rdrdOdz或dxdydz=rdrdOdz.

若积分区域在柱面坐标下可表示为

Q.'.a<0</3,^(0)<r<,zx{r,0}<z<z2(r,0),则

jjjf(x,y,z)dxdydz=jjjf(rcosO,rsin0,z)rdrdOdz

cc

=/(「cos。,rsin。,z)rdz

3.球面坐标下计算三重积分

%=rcos0sm(p0<r<+oo

直角坐标与球面坐标的关系为<y=rsinOsin。,0<(P<7T,

z=rcoscpO<0<271

体积元素为dv=/sinodniode或dxdydz=r2sindrdcpdO.

如果积分区域在球面坐标下可表示为

Qa<0<P.91(。)<(p<02(。)，弓(。超)^r<々(OS)则

jjj/(%,y,z)dxdydz=jjj/(rcos^sin(p,rsin^sin^?,rcos夕)，sin(pdrd(pd3

nn

4.简算：对称奇偶性，重心公式。

三、重积分的应用

1.曲顶柱体的体积

曲顶柱体的体积V=JJf(x,y)dxdy.

D

2.质量

密度为0(尤,y)NO,则平面板的质量M=||p{x,y)dxdy.

D

密度为/Xx,y,z)20,则物体的质量为M.

Q

3.曲面面积

设曲面E的方程为z=f(x,y),(x,y)e£>,其中。是有界闭区域，/(x,y)在。上

有连续的偏导数.则曲面2的面积为

2

S=^l+/r(x,y)+fy(x,y)do-.

D

面积微元dS=+—(x,y)+y)db

第十一章无穷级数

1、a.收敛土收敛=收敛，收敛土发散=发散，发散土发散=敛散不定。

b.收敛级数任意加括号所得的级数仍收敛，且其和不变.

2、两个重要级数及其敛散性

1）几何级数

ZaQnl=a+aq+aq2++aqni+(aw0).

当时该级数收敛，其和为言；当|同21时该级数发散.

2）级数

弋11111/八、

〉——=1+---F----F+---F（79>0）

2P3Pnp

当P>1时，该级数收敛；当pWl时，该级数发散.

当。=i时称级数=1+彳+1++—+为调和级数，它是一个发散级数.

”=]n23n

正项级数的审敛法（X%,>0)

1）（比较审敛法）

设»"和XV"都是正项级数，且un<Vn（n=1,2,）

若强级数E匕?收敛，则弱级数E%，收敛;

钻圈子原理

0000

若弱级数E""发散，则强级数2匕发散.

n=ln=\

2）（比较审敛法的极限形式）

设2%与ZV"都是正项级数.破记录原理

n=ln=l

U

/（0</<+8）,

n

0000

则级数Z%和级数Zv〃同时收敛或同时发散.

n=ln=l

（若2=0或/=+8如何）

3）（比值审敛法）

oo〃

若正项级数Z%满足!吧景二夕,

n=lUn

则当Q<1时，级数收敛;

Q>1时，级数发散;

Q=1时，级数可能收敛也可能发散.

4）（根值审敛法）

oo

若正项级数满足1向8=P,

n=loo"

则当「＜1时，级数收敛;

夕＞1时，级数发散；

夕=1时，级数可能收敛也可能发散.

5.交错级数的莱布尼兹审敛法

oo

设4＞0,则称级数£（—1）"%"为交错级数.

n=l

定理（莱布尼兹审敛法）

00

设Z（-1）1%为交错级数.如果〃"满足：

n=l

1）对一切自然数〃有""+1工人;

00

2）lim%,=0,则收敛，且其和

…/1=1

6.级数的绝对收敛和条件收敛

oooo

如果级数El%」收敛，则称级数Z%绝对收敛.

n=ln=l

oo

如果收敛，而发散，称级数X%条件收敛.

n=ln=ln=l

对任意项级数，如果它绝对收敛，则它必收敛.

cooo

三、累级数—%）"，£a泼）

n=0n=0

1.阿贝尔定理

00

2.基级数

H=0

收敛半径0WRW+8；收敛区间（-氏夫）。

收敛域：收敛区间加入收敛的端点

收敛半径的求法

nV\anl\

3+D1

1）对于累级数二%%,如果hmTT=夕，则氏=一；

2）对于累级数如果由n（ni=夕，则尺=,

Mip

2.募级数的性质

性质1.（和函数连续性）募级数的和函数在收敛域内是连续的。

性质2.（逐项积分）

oo

设哥级数和函数S（x）在收敛区间可逐项积分

〃=0

000000

口⑺山=［（〉/）力=1於/"由=Xf"尸

〃=0n=0n=0〃+1

逐项积分后的哥级数与原事级数有相同的收敛半径.

性质3.(逐项求导)

oo

募级数E”户”的和函数s(%)在收敛区间内有逐项求导公式：

n=0

000000

，/\/、，八，X1zn\fX1n-\

S(%)=(Z4%)=)=XnanX,

n=Qn=0n=0

逐项求导后的募级数与原募级数有相同的收敛半径.

3.募级数的运算

1)幕级数的加减法

00

若收敛域I产1b，则E(%±bn)%"的收敛域为人心人。

〃=0

2)募级数的乘法

00

■、00

设基级数2犷与小X"的收敛半径分别为Ra,Rb,r=min{4,&}.则这

n=0n=0

两个哥级数乘积的收敛半径厂，且在(一厂,厂)上恒有

4.函数的哥级数展开式

设/(%)在