新人教版初中数学八年级下册同步练习试题及答案平行四行形

第十八章平行四边形

测试1平行四边形的性质（一）

学习要求

1.理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定

理；

2.能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并

体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.两组对边分别的四边形叫做平行四边形.它用符

号“口”表示，平行四边形A3CO记作o

2.平行四边形的两组对边分别____且______;平行四边

形的两组对角分别;两邻角;平行四边形

的对角线;平行四边形的面积=底边长X.

3.在OLBCO中，若NA—N3=40°,则NA=，Z

B=.

4.若平行四边形周长为54cm,两邻边之差为5cm,则这两

边的长度分别为.

5.若，48co的对角线AC平分ND48,则对角线AC与80

的位置关系是.

6.如图，DABCD,CE1AB,垂足为E,如果NA=115°,

则.

6题图

7.如图，在DABCD中，DB=DC、ZA=65°，CELBD

于E,则N3CE=

7题图

8.若在OLBCQ中，ZA=30°，AB=7cm,AD=6cm,则

SlJABCD=

二、选择题

9.如图，将D4BGD沿AE翻折，使点人恰好落在AD上的

点尸处，则下列结论不一定成立的是（）.

(A)AF=EF

(B)AB=EF

(C)AE=AF

(D)AF=BE

10.如图，下列推理不正确的是（）.

AD

%

3

--------------------'C

(A);A3〃CDZABC+ZC=180°

(B)VZ1=Z2：,AD//BC

(Cy：AD//BC，N3=N4

(D)VNA+ZADC=180°AB//CD

11.平行四边形两邻边分别为24和16,若两长边间的距离

为8,则两短边间的距离为().

(A)5(B)6

(C)8(D)12

综合、运用、诊断

一、解答题

12.已知：如图，DABCD中，。于七，BF±ACTF.求

证：DE=BF.

13.如图，在中，NA3C的平分线交CD于点

/ADE的平分线交AB于点尸，试判断AF与CE是否相

等，并说明理由.

14.已知：如图，E、尸分别为D4BCD的对边AB、CD的中

点.

⑴求证：DE=FB；

(2)若。E、C3的延长线交于G点，求证：CB=BG.

15.已知：如图，28。。中，E、歹是直线AC上两点，且

AE=CF.

求证：⑴BE=DF；Q)BE〃DF.

AB

F

拓展、探究、思考

16.已知：Z343CD中，AB=5,AD=2,ZDAB=120°,

若以点A为原点，直线AB为％轴，如图所示建立直角

坐标系，试分别求出3、。、。三点的坐标.

17.某市要在一块，4BCD的空地上建造一个四边形花园，

要求花园所占面积是25co面积的一半，并且四边形

花园的四个顶点作为出入口，要求分别在D43CQ的四

条边上，请你设计两种方案：

方案(1)：如图1所示，两个出入口£、尸已确定，请在图

1上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；

A--------------------户

E//

B

图1

方案(2)：如图2所示，一个出入口M已确定，请在图2

上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.

测试2平行四边形的性质（二）

学习要求

能综合运用所学的平行四边形的概念和性质解决简单

的几何问题.

课堂学习检测

一、填空题

1.平行四边形一条对角线分一个内角为25°和35°,则4

个内角分别为.

2.DABCD,对角线AC和3。交于0,若AC=8,BD=

6,则边AB长的取值范围是

3.平行四边形周长是40cm,则每条对角线长不能超过

___cm.

4.如图，在23C。中，AE、A尸分别垂直于3C、CD,垂

足为E、F,若NE4尸=30°,AB=6,AO=10,则CD

=；AB与CD的距离为；AD与BC的距离

为;/D=.

5.D43CD的周长为60cm,其对角线交于。点，若

的周长比△80C的周长多10cm,则AB=,BC=

6.在［JABCD中，AC与BD交于。，若。4=3%,AC=4x

+12,则0C的长为.

7.在23C。中，CA1AB,ZBAD=nO°,若3C=10cm,

则AC=,AB=.

8.在D43CZ）中，AELBC^E,若A3=10cm,3C=15cm,

8E=6cm,则23co的面积为.

二、选择题

9.有下列说法：

①平行四边形具有四边形的所有性质；

②平行四边形是中心对称图形；

③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个

全等的三角形；

④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积

相等的小三角形.

其中正确说法的序号是（）.

（A）①②④（B）①③④（C）①②③（D）①②③④

10.平行四边形一边长12cm,那么它的两条对角线的长度

可能是（）.

（A）8cm和16cm（B）10cm和16cm（C）8cm

和14cm（D）8cm和12cm

11.以不共线的三点A、3、。为顶点的平行四边形共有（）

个.

(A)l(B)2(C)3(D)无数

12.在ZZZ43CZ)中，点A、A2、A3、A4和G、。2、。3、。4

分别是AB和CD的五等分点，点Bi、&、和。1、。2

分别是BC和DA的三等分点，已知四边形的

面积为1,则23CO的面积为()

(A)2(B)|

(C)|(D)15

13.根据如图所示的(1),(2),(3)三个图所表示的规律，依

次下去第〃个图中平行四边形的个数是()

(1)(2)(3)

(A)3〃(B)3〃(〃+l)(C)6〃(D)6〃(〃+l)

综合、运用、诊断

一、解答题

14.已知：如图，在23co中，从顶点。向作垂线，

垂足为E,且石是A3的中点，已知23CZ)的周长为

8.6cm,△A3。的周长为6cm,求A3、8C的长.

15.已知：如图，在23co中，于。CFA.AD

F,N2=30°,求Nl、N3的度数.

拓展、探究、思考

16.已知：如图，。为，43CD的对角线AC的串点，过点

0作一条直线分别与AB.CD交于点M、N,点E、F

在直线上，且0E=0F.

(1)图中共有几对全等三角形?请把它们都写出来;

(2)求证：ZMAE=ZNCF.

17.已知：如图，在23C。中，点£在4。上，AE=2EC,

点尸在A3上，BF=2AF,若△BE尸的面积为2cm求

2BCZ）的面积.

测试3平行四边形的判定（一）

学习要求

初步掌握平行四边形的判定定理.

课堂学习检测

一、填空题

1.平行四边形的判定方法有：

从边的条件有：①两组对边_________的四边形是平行

四边形；

②两组对边_________的四边形是平行

四边形；

③一组对边__________的四边形是平行

四边形.

从对角线的条件有：④两条对角线的四边形

是平行四边形.

从角的条件有：⑤两组对角的四边形是平行四边

形.

注意：一组对边平行另一组对边相等的四边形是平

行四边形.（填“一定”或“不一定”）

2.四边形ABCD中，若NA+NB=180°,NC+NO=

180°,则这个四边形（填

“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形.

3.一个四边形的边长依次为。、b、c、d,且满足/+/+

c2-\-cf=2ac-\-2bd,则这个四边形为.

4.四边形A3CQ中，AC、3。为对角线，AC,3。相交于点

0,80=4,。。=6,当A0=,D0=时，

这个四边形是平行四边形.

5.如图，四边形ABCO中，当N1=N2,且_____//

时，这个四边形是平行四边形.

二、选择题

6.下列命题中，正确的是().

(A)两组角相等的四边形是平行四边形

(B)一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边

形

(C)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形

(D)两组对边分别相等的四边形是平行四边形

7.已知：园边形A8C。中，4。与BD交于点0,如果只给

出条件(iAB//CDv,那么还不能判定四边形ABCD为平

行四边形，给出以下四种说法：

①如果再加上条件"BC=AD”,那么四边形ABCD一定

是平行四边形；

②如果再加上条件"/BAD=/BCD”,那么四边形ABCD

一定是平行四边形；

③如果再加上条件那么四边形ABCQ一定

是平行四边形；

④如果再加上条件“NDBA=/CAB”,那么四边形ABC。

一定是平行四边形.其中正确的说法是().

(A)①②(B)①③④(C)②③(D)②③④

8.能确定平行四边形的大小和形状的条件是().

(A)已知平行四边形的两邻边

(B)已知平行四边形的相邻两角

(C)已知平行四边形的两对角线

(D)已知平行四边形的一边、一对角线和周长

综合、运用、诊断

一、解答题

9.如图，在23C。中，E、尸分别是边A3、上的点，

已知AE=C尸，M、N是OE和阳的中点，求证：四边

形是平行四边形.

10.如图，在2BCD中，E、尸分别是边AD、8C上的点,

已知AE=CF,AF与BE相交于点G,CE与。尸相交于

点、H,求证：四边形EGFH是平行四边形.

11.如图，在28CZ）中，E、尸分别在边区4、。。的延长线

上，已知AE=CF,P、。分别是。E和尸8的中点，求

证：四边形石。尸尸是平行四边形.

12.如图，在DABCD中，E、尸分别在。4、3C的延长线上,

已知AE=CF,FA与BE的延长线相交于点R,EC与

DF的延长线相交于点S,求证：四边形RES/是平行四

边形.

B

S

13.已知：如图，四边形A8CD中，AB=DC,AD=BC,点、

E在上，点产在AD上，AF=CE,EF与对角线BD

交于点。，求证：。是的中点.

14.已知：如图，△ABC中，。是AC的中点，E是线段

延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段屈□的延

长线交于点尸，连结AE、CF.求证：CF〃AE

拓展、探究、思考

15.已知：如图，AABC,。是AB的中点，£是AC上一点,

EF//AB,DF//BE.

A

F

D,

B--------------------<,

⑴猜想。尸与AE的关系；

⑵证明你的猜想.

16.用两个全等的不等边三角形ABC和三角形A'B'C

（如图），可以拼成几个不同的四边形?其中有几个是平行

四边形?请分别画出相应的图形加以说明.

BCB'C

测试4平行四边形的判定（二）

学习要求

进一步掌握平行四边形的判定方法.

课堂学习检测

一、填空题

1.如图，DABCD中，CE=DF,则四边形ABEF是

1题图

2.如图，DABCD,EF//AB,GH//AD,MN//AD,图中共

有个平行四边形.

2题图

3.已知三条线段长分别为10,14,20,以其中两条为对角

线，其余一条为边可以画出

个平行四边形.

4.已知三条线段长分别为7,15,20,以其中一条为对角线,

另两条为邻边，可以画出

个平行四边形.

5.已知：如图，四边形AEF。和四C尸都是平行四边形,

则四边形ABCD是

5题图

二、选择题

6.能判定一个四边形是平行四边形的条件是().

(A)一组对边平行，另一组对边相等(B)一组对边

平行，一组对角互补

(C)一组对角相等，一组邻角互补(D)一组对角

相等，另一组对角互补

7.能判定四边形A3co是平行四边形的题设是().

WAD=BC,AB//CD(B)NA=NB,ZC=ZD

(C)AB=BC,AD=DC(D)AB//CD,CD=AB

8.能判定四边形ABC。是平行四边形的条件是：ZA：ZB：

ZC：ZD的值为().

(A)l：2：3：4(B)l：4：2：

(C)l：2：2：1(D)l：2:

9.如图，E、尸分别是23CD的边AB、。。的中点，则图

中平行四边形的个数共有().

(A)2个(B)3个

(C)4个(D)5个

10.DABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于工

轴，若A点坐标为(-1,2),则。点的坐标为().

(A)(l,-2)(B)(2,-1)(C)(l,-3)(D)(2,-3)

11.如图，2BCD中，对角线AC、BD交于点、0,将△AOO

平移至△3EC的位置，则图中与0A相等的其他线段有

().

(A)l条(B)2条

©3条(D)4条

综合、运用、诊断

一、解答题

12.已知：如图，在，4BCD中，点E、/在对角线AC上,

且AE=C7.请你以尸为一个端点，和图中已标明字母

的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的

某一条线段相等(只需证明一组线段相等即可).

(1)连结

(2)猜想：

(3)证明：

13.如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，D为BC

边上一点(不与3、。重合)，AD与EF交于点0,连结

EF、DF,要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加

条件.(只添加一个条件)

证明:

14.已知：如图，△ABC中，AB=AC=iO,。是3。边上的

任意一点，分别作。尸〃A3交A。于凡DE//ACAB

于E,求。E+O/的值.

A

B

15.已知：如图，在等边△ABC中，D、尸分别为CB、BA

上的点，且。。=3乩以为边作等边三角形ADE.

求证：

(2)四边形CDEF为平行四边形.

拓展、探究、思考

16.若一次函数y=2%—1和反比例函数y=f的图象都经过

点(1,1).

⑴求反比例函数的解析式;

(2)已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，

利用图象求点A的坐标；

(3)利用(2)的结果，若点8的坐标为(2,0),且以点A、0、

B.P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点

P的坐标.

17.如图，点A(m,m+1),B(m+3,m一1)在反比例函数

X

的图象上.

(1)求加，%的值；

⑵如果〃为了轴上一点，N为y轴上一点，以点A,B,

M,N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的

函数表达式.

测试5平行四边形的性质与判定

学习要求

能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性

质定理进行证明和计算.

课堂学习检测

一、填空题：

1.平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直,

则这个平行四边形各角的度数分别为.

2.从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条

高线夹角为135°,则这个平行四边形的各内角的度数为

3.在D43CO中，BC=2AB,若E为5c的中点，则NAEO

4.在ZZZ43CZ）中，如果一边长为8cm,一条对角线为6cm,

则另一条对角线工的取值范围是.

5.DABCD,对角线AC、BD交于0,且A3=4C=2cm,

若NA3C=60°,则△OAB的周长为cm.

6.如图，在，48co中，M是3C的中点，且AM=9,BD

=12,AD=10,则23CO的面积是.

7.C43CD中，对角线AC、3。交于点0,若NBOC=120。

AD=7,BD=10,则23CQ的面积为.

8.如图，在，43CO中，45=6,AD=9,NB4Q的平分线

交BC于点E,交QC的延长线于点尸，BG1AE,垂足为

G,A尸=5,BG=4亚，则△(?£：尸的周长为.

9.如图，8。为，43CQ的对角线，M、N分别在AQ、AB

上，且MN〃BD,则S△DMc_______

SQNC.(填“<”或“>”)

综合、运用、诊断

一、解答题

10.已知：如图，△EFC中，A是E尸边上一点，AB//EC,

AD//FC,若/EAD=/FAB.AB=a,AD=b.

(1)求证：△£尸。是等腰三角形;

⑵求EC+FC.

11.已知：如图，ZiABC中，ZABC=90°,BD_LAC于

AE平分N34C,EF//DC,交BC于尸.求证：BE=FC.

12.已知：如图，在D48CO中，E为AD的中点，CE、BA

的延长线交于点尸.BC=2CD,求证：NF=/BCF.

13.如图，已知：在23CQ中，ZA=60°,E、尸分别是

AB.CD的中点，且A3=2AD.求证：BF：BD=6：3.

拓展、探究、思考

14.如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点

M(—2,-1),且尸(一1,一2)是双曲线上的一点，。为

坐标平面上一动点，出垂直于x轴，Q8垂直于y轴，

垂足分别是A、B.

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点。在直线上运动时，直线上是否存在这

样的点。，使得△08。与△0AP面积相等?如果存在，

请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

⑶如图2,当点。在第一象限中的双曲线上运动时，作以

OP、0Q为邻边的平行四边形0PCQ,求平行四边形

。尸CQ周长的最小值.

图2

测试6三角形的中位线

学习要求

理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定

理.

课堂学习检测

一、填空题：

1.(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边___________

叫做三角形的中位线.

(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线

第三边，并且等于

2.如图，△ABC的周长为64,E、F、G分别为AB、AC.

的中点，A'、B'、C分别为£尸、EG、G尸的中

点，B'C的周长为.如果△ABC、△

EFG、

△A'B'C分别为第1个、第2个、第3个三角形，按

照上述方法继续作三角形，那么第〃个三角形的周长是

3.AABC,D、E分别为AB、AC的中点，若QE=4,AD

=3,AE=2,则△ABC的周长为.

二、解答题

4.已知：如图，四边形ABCO中，E、F、G、H分别是A3、

BC、CD、QA的中点.

求证：四边形瓦6”是平行四边形.

5.已知：ZSABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是

OB、0C的中点.

求证：四边形OMG是平行四边形.

综合、运用、诊断

6.已知：如图，£为23。。中。。边的延长线上的一点，

且CE=OC,连结AE分别交8C、BD于点F、G,连结

AC交于0,连结。立求证：AB=20F.

7.已知：如图，在23co中，石是CD的中点，F是AE

的中点，FC与BE交于G.求证：GF=GC.

8.已知：如图，在四边形ABCO中，AD=BC,E、尸分别

是。。、A3边的中点，尸£的延长线分别与A。、8C的延

长线交于"、G点.

求证：ZAHF=ZBGF.

拓展、探究、思考

9.已知：如图，△ABC中，。是3C边的中点，AE平分N

BAC,于E点，若A8=5,AC=7,求EZ).

10.如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且

=CE,M、N分别是CD的中点.过MN的直线交

A3于尸，交AC于Q,线段AP、A。相等吗?为什么?

测试7矩形

学习要求

理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理.

课堂学习检测

一、填空题

1.(1)矩形的定义：的平行四边形叫做

矩形.

(2)矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具

有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角

;矩形的对角线；矩形是轴对称图形，它的

对称轴是____________.

(3)矩形的判定：一个角是直角的是矩形；对角线

的平行四边形是矩形；有个角是直角的四

边形是矩形.

2.矩形A3。。中，对角线AC、BQ相交于O,ZAOB=60°,

AC=10cm,则43=cm,BC=cm.

3.在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=3,则A8边上

的中线CD=.

4.如图，四边形ABC。是一张矩形纸片，AD=2AB,若沿

过点。的折痕。E将A角翻折，使点A落在8C上的A

处，则/区4归=°o

5.如图，矩形ABC。中，45=2,BC=3,对角线AC的垂

直平分线分别交AQ,BC于点E、F,连结CE,则CE

的长.

二、选择题

6.下列命题中不正确的是().

(A)直角三角形斜边中线等于斜边的一半

(B)矩形的对角线相等

(C)矩形的对角线互相垂直

(D)矩形是轴对称图形

7.若矩形对角线相交所成钝角为120°,短边长3.6cm,则

对角线的长为().

(A)3.6cm(B)7.2cm(C)1.8cm(D)14.4cm

8.矩形邻边之比3:4,对角线长为10cm,则周长为().

(A)14cm(B)28cm(C)20cm(D)22cm

9.已知AC为矩形ABC。的对角线，则图中N1与N2一定

不相等的是()

(A)(B)(C)(D)

综合、运用、诊断

一、解答题

10.已知：如图，DABCD,AC与50交于。点，NOAB

=/0BA.

(1)求证：四边形A5CQ为矩形;

(2)作5£_LAC于石，于尸，求证：BE=CF.

11.如图，在△ABC中，。是边上的一点，E是AQ的

中点，过点A作3c的平行线交BE的延长线于尸，且

AF=DC,连结CK

(1)求证：。是8C的中点；

(2)如果AB=AC,试猜测四边形AOCT的形状，并证明

你的结论.

12.如图，矩形A3C。中，A3=6cm,BC=Scm,若将矩形

折叠，使点8与。重合，求折痕所的长。

AED

B

13.已知：如图，在矩形ABCD中，E、尸分别是边8C、AB

上的点，且EF=ED,EFLED.

求证：AE平分N3AD

拓展、探究、思考

14.如图，在矩形A3CQ中，AB=2,AD=耳.

(1)在边CD上找一点使E8平分NAEC,并加以说

明；

(2)若夕为边上一点，且3尸=2。尸，连结EP并延长

交的延长线于尸.

①求证：AB=BF；

②△加E能否由△PF3绕P点按顺时针方向旋转而得到?

若能，加以证明，并写出旋转度数；若不能，请说明理

由。

测试8菱形

学习要求

理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理.

课堂学习检测

一、填空题：

1.菱形的定义：的平行四边形叫做菱

形.

2.菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形

和平行四边形的：还有：菱形的四条边__；

菱形的对角线，并且每一条对角线平分；

菱形的面积等于，它的对称轴是

3.菱形的判定：一组邻边相等的是菱形；四条边

的四边形是菱形；对角线—

—的平行四边形是菱形.

4.已知菱形的周长为40cm,两个相邻角度数之比为1：2,

则较长对角线的长为cm.

5.若菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则它的周长为

cm,面积为cm2.

二、选择题

6.对角线互相垂直平分的四边形是（）.

（A）平行四边形（B）矩形（C）菱形（D）

任意四边形

7.顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是

().

(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)

任意四边形

8.下列命题中，正确的是().

(A)两邻边相等的四边形是菱形

(B)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

(C)对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形

(D)对角线垂直的四边形是菱形

9.如图，在菱形ABCO中，E、尸分别是AB、AC的中点,

如果石尸=2,那么菱形A3C。的周长是().

(A)4(B)8

(C)12(D)16

10.菱形A3GD中，ZA：ZB=1：5,若周长为8,则此菱

形的高等于().

(A)。(B)4(C)l(D)2

综合、运用、诊断

一、解答题

11.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，＞DELAB,

AB=4.

求：（l）NABC的度数；（2）菱形ABCD的面积.

12.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,E是A3边的

中点，尸是AC边上一动点，P8+PE的最小值是求

的值.

13.如图，在，43CD中，E,尸分别为边AB,CD的中点,

连结DE,BF,BD.

B

E

(1)求证：AADE^ACBF.

(2)若AQ_L3。，则四边形BEDE是什么特殊四边形?请

证明你的结论.

14.如图，四边形ABCO中，AB//CD,AC平分NE4Q,CE

〃A。交AB于后.

(1)求证：四边形AECO是菱形；

(2)若点E是A3的中点，试判断△A3C的形状，并说明

理由.

15.如图，DABCD中，ABA.AC,AB=\,BC=也.对角

线AC,BD相交于点0,将直线AC绕点。顺时针旋转,

分别交3C,AD于点E,F.

A

'D

BC

(D证明：当旋转角为90°时，四边形ABE尸是平行四边

形；

(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

(3)在旋转过程中，四边形3即尸可能是菱形吗?如果不能,

请说明理由；如果能，画出图形并写出此时AC绕点。

顺时针旋转的度数.

16.如图，菱形ABCD的边长为2,BD=2,E、尸分别是边

AD,CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.

(1)求证：ABDE义ABCF；

(2)判断aBE尸的形状，并说明理由；

(3)设aBE尸的面积为S,求S的取值范围.

拓展、探究、思考

17.请用两种不同的方法，在所给的两个矩形中各画一个不

为正方形的菱形，且菱形的四个顶点都在矩形的边上（保

留作图痕迹）.

小Di4D2

BxGB2G

18.如图，菱形ABiGQ的边长为1,ZB}=60°；作AD2

±BlC}于点D2,以AD2为一边，作第二个菱形AB2C2D2,

使N&=60°；作于点小，以AA为一边，

作第三个菱形A&QA,使N&=60°；……依此类推,

这样作的第〃个菱形ABC"的边ADn的长是__.

测试9正方形

学习要求

1.理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形

与正方形的概念之间的从属关系；

2.掌握正方形的性质及判定方法.

课堂学习检测

一、填空题

1.正方形的定义：有一组邻边____并且有一个角是

的平行四边形叫做正方形，因此正方形既是一个特殊的

有一组邻边相等的,又是一个特殊的有一个角是

直角的.

2.正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、

菱形的一切性质，正方形的四个角都；四条边都

___且__________________;正方形的两条对角线

，并且互相，每条对角线平分对

角.它有条对称轴.

3.正方形的判定：

(1)的平行四边

形是正方形；

(2)的矩形是正

方形；

(3)的菱形是正

方形；

4.对角线的四边形是

正方形.

5.若正方形的边长为。，则其对角线长为,若正方形

ACEF的边是正方形ABCD的对角线，则正方形ACEF与

正方形ABCD的面积之比等于.

6.延长正方形ABCD的BC边至点E,使CE=AC,连结AE,

交CD于F,那么NAFC的度数为,若3C=4cm,

则△ACE的面积等于.

7.在正方形A3CO中，E为BC上一点,EFA.AC,EGLBD,

垂足分别为RG,如果A8=5缶m,那么石尸+EG的长为

二、选择题

8.如图，将一边长为12的正方形纸片A3CO的顶点A折叠

至。。边上的点应使OE=5,折痕为PQ,则PQ的长

为()

D,F_____c

Q1

(A)12(B)13

(C)14(D)15

9.如图，正方形A3CO的边长为4cm,则图中阴影部分的

面积为(

(A)6

(Q16(D)不能确定

综合、运用、诊断

一、解答题

10.已知：如图，正方形ABCQ中，点区M、N分别在AB、

BC、AO边上，CE=MN,

/MCE=35°,求NANM的度数.

11.已知：如图，E是正方形A3CO对角线AC上一点，且

AE=AB,EF1AC,交BC于F.求证：BF=EC.

12.如图，边长为3的正方形A3C。绕点。按顺时针方向旋

转30°后，得到正方形E尸。G,EF交AD于H,求DH

的长.

13.如图，尸为正方形A8CQ的对角线上任一点，PELAB

于£PFLBC于F,判断。尸与E尸的关系，并证明.

拓展、探究、思考

14.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点尸在AB上从

A向3运动，连结。尸交AC于点Q.

(1)试证明：无论点尸运动到A3上何处时，都有△AOQ

0△ABQ

(2)当点尸在AB上运动到什么位置时，△A。。的面积是

正方形A3CO面积的！；

(3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,

在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△AOQ

恰为等腰三角形.

参考答案

第十八章平行四边形

测试1平行四边形的性质(一)

1.平行，DABCD.2.平行，相等；相等；互补；互相

平分；底边上的高.

3.110°,70°.4.16cm,11cm.5.互相垂直.6.25°.

7.25°.8.21cm2.

9.D.10.C.11.C.

12.提示：可由△AOEgZSCBF推出.13.提示：可由△

AO尸且推出.

14.(1)提示：可证△AEOgZXC尸&

(2)提示：可由△GE30Z\OE4推出，

15.提示：可先证△ABEgZXCD尸.

(三)

16.8(5,0)C(4,V3)D(-1,出).

17.方案(1)

画法1：

⑴过尸作尸"〃A3交AD于点H

(2)在。。上任取一点G连接EF,FG,GH,HE,则四

边形EFG”就是所要画的四边形;

画法2：

(1)过厂作FH//AB交AD于点H

⑵过E作EG//AD交。。于点G连接EF,FG,GH,HE,

则四边形EFG"就是所要画的四边形

画法3：

(1)在AD上取一点从使DH=CF

(2)在CO上任取一点G连接EF,FG,GH,HE,则四

边形EFG"就是所要画的四边形

方案⑵

画法：(1)过M点作M尸〃45交AD于点P,

(2)在A3上取一点Q,连接PQ,

⑶过M作MN〃P。交。。于点N,连接QM,PN则

四边形QMNP就是所要画的四边形

测试2平行四边形的性质（二）

1.60°、120°、60°、120°.2.1<AB<7.3.20.

4.6,5,3,30°.5.20cm,10cm.6.18.提示:

AC=2AO.

7.56cm,5cm.8.120cm2.

9.D；10.B.11.c.12.C.13.B.

14.AB=2.6cm,3C=1.7cm.

提示：由已知可推出AO=3Q=3C.设BC=xcm,AB

=ycm,

则2x+y=6,解得x=1.7,

2(x+y)=8.6.)=2.6,

15.Zl=60°,Z3=30°

16.（1）有4对全等三角形.分别为△AOM0ZXCON,XNOE

0△CORAAME”丛CNF,AABC^ACDA.

⑵证明：Z1=Z2,OE=OF,:*△ORE

也△OCF.:・NEAO=/FCO.

又,：在DABCD中，AB//CD,：.ZBAO=Z

DCO.：.ZEAM=ZNCF.

17.9.

测试3平行四边形的判定（一）

1.①分别平行；②分别相等；③平行且相等;

④互相平分；⑤分别相等；不一定;

2.不一定是.

3.平行四边形.提示：由已知可得3—C）2+S—42=0,从

而W

b=a.

4.6,4；5.AD,BC.

6.D.7.C.8.D.

9.提示：先证四边形BEDE是平行四边形，再由尸

得证.

10.提示：先证四边形AFCE、四边形8FOE是平行四边形，

再由GE〃尸“，GFV/EH得证.

11.提示：先证四边形E8ED是平行四边形，再由

得证.

12.提示：先证四边形EBRD是平行四边形，再证△RE4会

△SFC,既而得到

13.提示：连结3尸，DE,证四边形AEDF是平行四边形.

14.提示：证四边形AFCE是平行四边形.

15.提示：（1）。尸与AE互相平分；（2）连结。石，AF.证明四

边形ADE厂是平行四边形.

16.可拼成6个不同的四边形，其中有三个是平行四边形.拼

成的四边形分别如下：

A(Cf)B'

BC(Af)

测试4平行四边形的判定（二）

1.平行四边形.2.18.3.2.4.3.5.平

行四边形.

6.C.7.D.8.D.9.C.10.A.11.B.

12.(1)3尸(或DF)；⑵BF=DE(或BE=DF)；

(3)提示：连结。F(或3F),证四边形。跖尸是平行四边

形.

13.提示：。是的中点.

14.DE-\-DF=10

15.提示：(1);△A3。为等边三角形，：,AC=CB,ZACD

=ZCBF=60°.

又,：CD=BF,/.AACD^ACBF.

(2)VAACD^ACBF,：.AD=CF,ZCAD=Z

BCF.

•••△AEO为等边三角形，...NAZ)E=6(r,且

AD=DE.:.FC=DE.

VZEZ)B+60°=ZBDA=ZCAD+ZACD=

ZBCF+60°,

:・NEDB=NBCF.：.ED//FC.

VEDJLFC,四边形CDEF为平行四边形.

16.(l)y=L(2)A(-1-2)；(3)尸-2),尸2(—2.5,

x2

—2)或尸3

(2.5,2).

17.(l)m=3,左=12；

(2)y=-gx+2或y=-*1x-2.

测试5平行四边形的性质与判定

1.60°,120°,60°,120°.2.45°,135°,45°,

135°.

3.90°.4.lOcmVxV22cm.5.3+百.

6.72.提示：作DE//AM交BC延长线于E,作DFLBE

于R可得△班历是直角三角形，DF^.

7.156提示：作CELBD于应设OE=x,则BE2+CE2

=BC~,得(x+5)?+(6x)=7?.解出％=5.Su=2S&BCD=BD

XCE=1543.

8.7.9.=.提示：连结DN.

10.(1)提示：先证NE=NB(2)EC+FC=2a-^2b.

11.提示：过E点作EM〃8C,交。。于M,证

AEM.

12.提示：先证。C=AF

13.提示：连接QE,先证是等边三角形，进而证明

ZADB=90°,ZABD=30°.

14.(1)设正比例函数解析式为y=kx,将点M(—2,-1)坐

标代入得A=:，所以正比例函数解析式为y=9,同样

22

可得，反比例函数解析式为y=乙

X

(2)当点。在直线M0上运动时，设点Q的坐标为

,于是SoBQ=

IOB-BQI・；根•根=：疗而|(-1)(-

2)I=1,所以有，；疝=1，

解得m=±2所以点。的坐标为Qi(2,1)和。2(—2,

-1)；

(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ,0Q

=PC,而点尸(一1,一2)是定点，所以QP的长也是定

长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需

求。。的最小值.

因为点。在第一象限中双曲线上，所以可设点。的坐

标Q(九，—)>

n

由勾股定理可得。。2=，+：=5-2)2+%

n"n

所以当(八一2)2=0即九一2=0时，0。2有最小值4,

nn

又因为。。为正值，所以。。与同时取得最小值，

所以。。有最小值2.由勾股定理得0尸=新，所以平

行四边形OPCQ周长的最小值是2(02+。0)=2(。+

2)=2君+4.

测试6三角形的中位线

1.(1)中点的线段；(2)平行于三角形的，第三边的一半.

2.16,64X(；)'i.3.18.

4.提示：可连结3。(或A0.

5.略.

6.连结BE,CE生ABnUABEC=BF=FC.DABCD=>AO

=0C,:・AB=20F.

7.提示：取BE的中点尸，证明四边形EFPC是平行四边形.

8.提示：连结AC,取AC的中点再分别连结ME、MF,

可得

9.ED=\,提示：延长BE,交AC于尸点.

10.提示：AP=AQ,取BC的中点H,连接MH,NH.证

明是等腰三角形，进而证明NAPQ=NAQP.

测试7矩形

1.(1)有一个角是直角；(2)都是直角，相等，经过对边中点

的直线；

(3)平行四边形；对角线相等；三个角.

2.5,5V3.3.毕4.60°.5.曳.

26

6.C.7.B.8.B.9.D.

10.(1)提示：先证Q4=O8,推出AC=8Q；(2)提示：证^

BOE义ACOF.

11.⑴略；(2)四边形ADC尸是矩形.12.7.5.

13.提示：证明△BFEgZXCEO,从而BE=DC=AB,/.Z

BAE=45°,可得AE平分N3AD.

14.提示：(1)取QC的中点£,连接AE,BE,通过计算可

得AE=AB,进而得到EB平分

ZAEC.

(2)①通过计算可得N3E尸=N3FE=30°,又〈BE=AB

=2

：.AB=BE=BF：

②旋转角度为120°.

测试8菱形

1.一组邻边相等.

2.所有性质，都相等；互相垂直，平分一组对角；底乘以

高的一半或两条对角线之积的一半；对角线所在的直线.

3.平行四边形；相等，互相垂直.4.ioV3.5.20,24.

6.C.7.C.8.B.9.D.10.C.

11.120°；(2)873.12.2.

13.(1)略；(2)四边形BbQE是菱形，证明略.

14.(1)略;(2)ZkA3C是RtZ\.

15.(1)略；(2)略；(3)当旋转角是45°时，四边形尸是

菱形，证明略.

16.(1)略；是等边三角形，证明略.

(3)提示：尸的边长<2

.•.坐(若yws〈乎(2尸

/.-V3<S<V3.

4

17.略.18.厚严.

测试9正方形

1.相等、直角、矩形、菱形.

2.是直角；相等、对边平行，邻边垂直；相等、垂直平分、

一组，四.

3.(1)有一组邻边相等，并且有一个角是直角；(2)有一组

邻边相等.

(3)有一个角是直角.

4.互