2021年辽宁省沈阳市中考数学真题（解析版）

2021年辽宁省沈阳市中考数学真题

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题2分，共

20分）

1.9的相反数是（）

A.-B.--C.9D.-9

99

【答案】D

【解析】

【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数可得答案.

【详解】解：9的相反数是一9,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相反数，解题的关键是掌握相反数（只有符号不同的两个数叫做互

为相反数）的概念.

2.下图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（）

A.||II]B.。庄

E0

【答案】B

【解析】

【分析】利用主视图的定义进行判断即可，即从几何体的正面观察得出视图.

【详解】解：从几何体的正面看，底层是四个小正方形，上层的左端是一个小正方形.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握观察的角度是解题的关键.画简单

组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图.

3.据报道，截至2021年5月24日16时，沈阳市新冠疫苗累计接种3270000剂次，将数据

3270000用科学记数法表示为（）

A.32.7xlO5B.0.327xlO7C.3.27xlO5D.

3.27xlO6

【答案】D

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10",其中L,〃为整数,

且〃比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【详解】解：3270000=3.27x106.

故选：D.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10",其中L,IaK10，

确定。与〃的值是解题的关键.

4.下列计算结果正确的是（）

A.a"•/=a'B.6a—2a—4oC.+cr—D.

（-=—a%2

【答案】B

【解析】

【分析】依据同底数基的乘法法则、合并同类项法则、同底数幕的除法法则以及积的乘方法

则进行判断即可得出结论.

【详解】解：A.a4-a2=a6,故本选项错误；

B.6a—2a=4ci.故本选项正确；

C.a6^a2=a4,故本选项错误；

D.（一/加2=。%2,故本选项错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘法法则、合并同类项法则、同底数器的除法法则以及

积的乘方法则的运用，关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为

系数，字母和字母的指数不变.

5.如图，直线“，6被直线c所截，若W/b,Zl=70°,则N2的度数是（）

A.70°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【解析】

分析】由已知条件。/〃，可得4=N3=70°,由平角的性质可得N2+N3=180°代入

计算即可得出答案.

【详解】解：如图，

,/al1b,

.•.Nl=N3=70°,

•.•N2+N3=180°,

/.Z2=180°-Z3=180°-70°=110°.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键.

6.信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/min），数据整理如下：

15,17,23,15,17,17,19,21,21,18,对于这组数据，下列说法正确的是（）

A.众数是17B.众数是15C.中位数是17D.中位数

是18

【答案】A

【解析】

【分析】根据中位数、众数的概念求解可得.

【详解】解：以上数据重新排列为：15,15,17,17,17,18,19,21,21,23,

...众数为17、中位数为工士曳=17.5,

2

故选：A.

【点睛】本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键.

7.如图，AABC与"46位似，位似中心是点O,若04:。4,=1:2,则AABC与

△A4G的周长比是（）

A\

A.1:2B.1:3C.1:4D.1：V2

【答案】A

【解析】

【分析】根据位似图形的概念得到A43cs△4耳G,AC//4C,进而得出

AAOCs/xAOG，根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：•.•A46C与△AgG位似，

.­.AABC^AA5IQ-AC//“1,

.•.AAOCsZiAOG,

.ACOA1

...△ABC与△的周长比为1:2,

故选：A.

【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形是相似图形、位

似图形的对应边平行是解题的关键.

8.一次函数y=-3x+l的图象不经过

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象

限

【答案】C

【解析】

【分析】根据一次函数的图像与性质解答即可.

【详解】：-3<0,1>0,

图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.

故选C.

【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于产质+ba为常数，原0),当％>o,

b>0,y=Ax+匕的图象在一、二、三象限；当％>0,b<0,)=H+6的图象在一、三、四象限；

当AVO,6>0,y=Ax+6的图象在一、二、四象限；当ZVO,6<0,产fcr+b的图象在二、三、

四象限.

9.下列说法正确是（）

A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件

C.了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，s甲2=0.3,s乙2=0Q2,则甲组数据更稳定

【答案】C

【解析】

【分析】依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论.

【详解】解：A.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误,

不合题意；

B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意;

C.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；

D.若平均数相同的甲、乙两组数据，4=0.3,si=0.02,则乙组数据更稳定，故原说

法错误，不合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，方差是反映一组数据的波动

大小的一个量.方差越大，则各数据与平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它

与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

10.如图，AAHC是OO的内接三角形，AB=2&，ZACB=60°,连接04,OB,则

A8的长是（）

71r.2乃4万

A.—B.—C.nD.

33~T

【答案】D

【解析】

【分析】过点。作QDLA6于。，根据垂径定理求出AO,根据圆周角定理求出NAOB,

根据正弦的定义求出OA,根据弧长公式计算求解.

【详解】解：过点。作。D_LAB于。,

由圆周角定理得：NAO5=2NAC8=120。,

.."AOD=60°,

AD_V3

OA==2

sinZAOD垂）

2

I_120万x2_4乃

"*B~180"T"

故选：D.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆周角定理、弧长公式是解

题的关键.

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，合计18分)

11.分解因式：ax2+2ax+a=.

【答案】a(x+1)2

【解析】

【详解】ax2+2ax+a

=a(X2+2X+1)

=a(x+1)3

x-5<l

12.不等式组、「八的解集是

3x-5>0」

【答案】|„x<6

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集.

【详解】解：解不等式得：x<6,

解不等式3无一5..0,得：%...-,

3

则不等式组的解集为：”x<6,

故答案为：—„x<6.

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

⑶化简：(右一占)《一4)=---------

【答案】1

【解析】

【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的.

1Q

【详解】解：(----T2--)-U+4)

x—4x—16

x+4—8

=-----------(x+4)

(x+4)(x-4)

x—4

=-----------(x+4)

(x+4)(x-4)

=1,

故答案为：L

【点睛】本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键,

注意运算顺序.

k

14.如图，平面直角坐标系中，。是坐标原点，点A是反比例函数y=70)图象上的一

点，过点A分别作40_L无轴于点M,ANLy轴于点N.若四边形AMON的面积为12,

则k的值是

【解析】

【分析】根据反比例函数的比例系数攵的几何意义得到网=12,然后根据反比例函数的性

质确定k的值.

【详解】解：：四边形AMON的面积为12,

■.•反比例函数图象在二四象限，

:.k<0,

：.k=-n,

故答案为：一12.

【点睛】本题考查了反比例函数函数攵的几何意义：在反比例函数y=K图象中任取一点，

X

过这一个点向％轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|心.

15.某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件.经

调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定

为元时，才能使每天所获销售利润最大.

【答案】11

【解析】

【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论.

【详解】解：设销售单价定为X元(X..9),每天所获利润为y元，

则y=[20_4(x_9)]<x_8)

=-4JC2+88X-448

=-4(11)2+36,

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，

故答案为11.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式,

利用二次函数的性质解答.

16.如图，AA3c中，AC=3,BC=4,4B=5.四边形AfiER是正方形，点。是直

2

线6C上一点，且8=1.P是线段£>E上一点，且=过点P作直线/于8C平

行，分别交A3，AZX于点G,H,则GH的长是一.

【答案】:或式.

39

【解析】

【分析】结合勾股定理逆定理判断AA3C是直角三角形，通过证明△GBA/S&BC4,

^AGH^MBD,然后利用相似三角形的性质求解，然后分当点。位于C点左侧时，当点

。位于C点右侧时，进行分类讨论.

【详解】解：「AABC中，AC=3,BC=4,AB=5,

AC2+BC2=25>AB?=25，

AC2+BC2=AB2,

.,.AA8C为直角三角形，

①当点。位于。点左侧时，如图：

设直线/交房于点M，

-.-uIBC,

=7777,ZMGB=ZABC,

BED]E

2

又•••四边形ABEr是正方形，且尸。

:.BE=AB=5,ZEBA=90°,

„BM2

即n----=-,

53

解得：BM,

3

ZMGB=ZABC,ZEBA=ZACB=90°,

:.AGBMs.CA,

.GBBC

GB4

103，

J

40

解得：GB=—,

9

/.AG-AB—GB——,

9

■.■1//BC,

GHAG

•/CD,=1,

BD]=BC—CD]=3,

5

GH9f

~T~~5

解得：GH=-；

3

5

也9

--

55

5

解得

9-

综上，GH的长为L或之，

39

故答案为：一或一.

39

【点睛】本题考查勾股定理逆定理，相似三角形的判定和性质，理解题意，证明出

/^GBM^^BCA，特别注意分类思想的运用是解题关键.

三、解答题（第17小题6分，第18、19题各8分，共22分）

17.计算：—2021）°—3tan30°+1—.

【答案】4

【解析】

【分析】首先计算零指数累、负整数指数幕、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法,

最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.

【详解】解：（7-2021）°-3121130。+卜一6|+己）-2

=l-3x—+V3-1+4

3

=1-73+73-1+4

=4.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数暴，负整数指数累，特殊角三角函数值，绝对

值的化简，掌握特殊角三角函数值，零指数累，负整数指数幕的运算法则是解题关键.

3

18.如图，在菱形ABC。中，点M,N分别是边8C,OC上的点，BM=—BC,

4

3

DN=-DC.连接AM，AN,延长AN交线段8C延长线于点E.

4

(1)求证：4ABM当LAND；

(2)若A£>=4,则ME的长是.

7

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

3

【分析】(1)根据菱形的性质可得A8=AD=BC=CD,NB=NT>,根据-

4

3

DN=—DC,可得BM=DN,利用S4s即可证明；

4

(2)根据菱形的性质可证明根据相似的性质可求得CE的长度，进而可

求ME.

【详解】解：(1)证明：•••四边形ABC。为菱形，

AB=AD=BC=CD,ZB=ZD,

33

DN=-DC,

44

/.BM=DN,

在AA8”和AA£W中，

AB^AD

<NB=ND,

BM=DN

AABM=AADN(SAS),

(2)•.•四边形ABC。为菱形,

/.AD/ICE,

:.QAN=/CEN,

\'ZAND^ZCNE,

.'.^AND^AENC,

AD_DN

CE~~CN

3

DiV^-DC

4

3

AD_DN

一

一1-

C迁~~CN

4_3

在二T

3

•：BM=—BC,

4

4

7

：.ME=MC+CE=-.

3

【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形

的性质得到是关键.

19.某品牌免洗洗手液按剂型分为凝胶型、液体型，泡沫型三种型号（分别用A,B,C依

次表示这三种型号）.小辰和小安计划每人购买一瓶该品牌免洗洗手液，上述三种型号中的

每一种免洗洗手液被选中的可能性均相同.

（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是.

（2）请你用列表法或画树状图法，求小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率.

【答案】（1）（2）?

33

【解析】

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

【详解】解：（1）小辰随机选择一种型号是凝胶型免洗洗手液的概率是4，

3

故答案为：—；

3

（2）列表如下：

ABc

A(AA)(5,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(8,0(GC)

由表可知，共有9种等可能结果，其中小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液有3种结果,

31

所以小辰和小安选择同一种型号免洗洗手液的概率为一=

93

点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可

能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识

点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

四、解答题（每小题8分，共16分）

20.学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行，在建党100周年之际，某校对全校学生进

行了一次党史知识测试，成绩评定共分为A,B,C,。四个等级，随机抽取了部分学生的

成绩进行调查，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

学生成绩等级条形统计图

ABCD成绩等级

学生成绩等级扇型统计图

根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)在这次调查中一共抽取了名学生；

(2)请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；

(3)扇形统计图中，。等级对应的圆心角度数是度；

(4)根据抽样调查的结果，请你估计该校2000学生中有多少名学生的成绩评定为C等级.

【答案】⑴80；(2)见解析；(3)36；(4)600名

【解析】

【分析】(1)根据A等级的人数以及所占的百分比即可求出本次调查中共抽取的学生数；

(2)根据(1)中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出B等级的人数，然后即可将

条形统计图补充完整；

(3)根据。等级的人数以及抽取的学生数计算出。等级所对应的扇形圆心角的度数；

(4)求出C等级所占整体的百分比即可求出相应的人数.

【详解】解：(1)324-40%=80(名)，

故答案为：80；

(2)B等级的学生为：80x20%=16(名)，

（4）2000x—=600（名），

80

答：估计该校2000学生中有600名学生的成绩评定为C等级.

【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图，用样本估计总体，理解两个统计图中数量关系

是解决问题的关键.

21.某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、

列数相同，求增加了多少行或多少列？

【答案】增加了3行3列.

【解析】

【分析】设增加了x行，则增加的列数为x,用增加后的总人数一原队伍的总人数=51列

出方程求解即可.

【详解】解：设增加了x行，则增加的列数为x,

根据题意，得：（6+x）（8+x）-6*8=51,

整理，得：X2+14x-51=0>

解得西=3,x2=-17（舍），

答：增加了3行3列.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等

关系.

五、解答题（本题10分）

22.如图，AB是0。的直径，AZ）与交于点A,点E是半径Q4上一点（点E不与点

O,A重合）.连接交于点C,连接C4,CB.若C4=CD,ZABC=Z£>.

（1）求证：AD是。。的切线.

（2）若A6=13,C4=CO=5,则AO的长是

【答案】（1）见解析；（2）——

【解析】

【分析】（1）根据圆周角定理得到NACB=90°,在利用等腰三角形的性质以及等量代换

可得NC4D+NB4C=90°,进而得出结论；

（2）根据等腰三角形的判定可得CE=C4=8=5,再根据勾股定理和相似三角形求出

答案即可.

【详解】解：（1）QAB是。。的直径，

:.ZACB=90°,

.-.ZBAC+ZABC=90°.

又YCA=CD,

.•.ZD=NC4D,

又ZABC=ND,

：.ZCAD+ZBAC=90°,

即。4J_AD,

.•.AD是。。的切线；

（2）由（1）可得NA8C+NB4c=9（）°=NO+NZ汨4,

:.ZBAC^ZDEA,

：.CE=CA=CD=5,

=10,

在RtAABC中，由勾股定理得，

BC=JAB?-AC?=7i32-52=12，

•••ZACB=ZZME=90°,ZABC=ZD,

AABC0°A£Z>A,

ABBC

——=,

EDAD

【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角

定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提.

六、解答题（本题10分）

23.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线夕=丘+15（比H0）经过点C（3,6）,与

3

x轴交于点A,与y轴交于点B.线段C。平行于x轴,交直线y=于点。，连接OC,A。.

(1)填空：k=.点A的坐标是(,)；

(2)求证：四边形。4DC是平行四边形；

(3)动点P从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直到点。

为止；动点。同时从点。出发，沿对角线。。以每秒1个单位长度的速度向点。运动，直

到点。为止.设两个点的运动时间均为1秒.

①当f=l时，ACFQ的面积是.

②当点P,Q运动至四边形C7为。为矩形时，请直接写出此时f的值.

【答案】(1)一3,5,0；(2)见解析；(3)①12；②5—J证或5+J1U.

【解析】

【分析】(1)代入。点坐标即可得出左值确定直线的解析式，进而求出A点坐标即可；

(2)求出点坐标，根据CD=Q4,CD//OA,即可证四边形04。。是平行四边形：

(3)①作于“，设出〃点的坐标，根据勾股定理计算出C4的长度，根据运动

时间求出PQ的长度即可确定ACPQ的面积：

②根据对角线相等确定PQ的长度，再根据P、。的位置分情况计算出，值即可.

【详解】解：⑴•.•直线丁=依+15(%工0)经过点C(3,6),

3攵+15=6,

解得％=—3,

即直线的解析式为y=-3x+15,

当y=0时，x=5>

/.A(5.0),

(2)•.•线段CO平行于x轴，

.・.£)点的纵坐标与。点一样，

3

又Q£>点在直线y=；x上，

当y=6时，x=8,

即£>(8,6),

.-,CD=8-3=5.

•.-04=5,

OA——CD，

5L-.-OAHCD,

•••四边形Q4DC是平行四边形;

33,

：.CH2=(m-3)2+(-m-6)2,DH2=(m-8)2+(-/«-6)",

由勾股定理，得CH?+,

Ep(jn—3)~+(—m—6)'+(zn—8)'+(―m—6)'——5",

44

24

整理得加=行或8(舍去)，

;.CH=3,

•.•OD=V82+62=10>

二当，=1时，PQ=OD-t-t^10-1-1=8,

・••SACPQ=gPQCH=gx8x3=12,

②•.•00=10,

当啖小5时，PQ=10-2/,

当或才10时，PQ=2t-\Q,

当点P，。运动至四边形CPAQ为矩形时，PQ=AC,

AC=7（5-3）2+62=2回，

当嗯小5时，10—2f=2屈，

解得/=5-而，

当5和10时，2-10=2而，

解得f=5+而，

综上，当点P,。运动至四边形CQ4Q为矩形时f的值为5-J而或5+J市.

【点睛】本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式，平行四边形的性质

和矩形的性质是解题的关键.

七、解答题（本题12分）

24.在AABC中，AB=AC，△C£）七中，CE=CD（CENCA）,BC=CD,ZD=a,

NAC8+N£CD=180°,点B,C,E不共线，点P为直线。石上一点，且PB=PD.

（1）如图1,点D在线段BC延长线上，则NECD=,ZABP=,（用

含a代数式表示）：

（2）如图2,点A,E在直线8C同侧，求证：BP平分NABC；

E

（3）若NA8C=60°,BC=V3+1＞将图3中的绕点C按顺时针方向旋转，当

5PL0E时，直线PC交3。于点G,点M是P。中点，请直接写出GM的长.

【答案】（1）180°-加，«；（2）见解析；（3）GM的长为也上2或!.

22

【解析】

【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可.

（2）如图2中，连接30.证明N~BC=NCDE=a,可得结论.

（3）分两种情形：如图3—1中，设3尸交AC于J.图3—2中，设PC交BC于K，当

BP_LPC时，利用三角形的中位线定理，可得求出P8,可得结论.

2

详解】（1）解：如图1中,

图1

•:CE=CD,

ZD=AE=a，

.-.ZECD=180°-2a,

，ZECB=NE+ND=2a,

•.•AB=AC,

:.ZABC=ZACB^2a,

•;PB=PD，

：./PBD=Z£>=a,

ZABP=ZABC-ZPBD=a，

（2）证明：如图2中，连接B£）.

图2

,;CB=CD,PB=PD，

:./CBD=NCDB,ZPBD=/PDB，

:."BC=/PDC=a,

,/ZABC=la,

:.ZABP=/PBC=a,

:.PB平分NABC.

（3）解：如图3-1中，设成交AC于人

•;BP上PD,BP=PD，

.•.△P8D是等腰直角三角形，

•;CB=CD,PB=PD，

，PG垂直平分线段BG,

BG=DG,

•;PM=MD，

:.GM=LpB,

2

•rZABC=ZACB=60。，

ZECD=180°-60°=120°.AACB是等边三角形，

•;CE=CD,

:.NCDE=30。,

..ZPBC=ZPDC=30°,

:.ZBJC=90°,

1

.rr6+1p.Ac3+g

222

•;NCPD=/CPJ=45。,

；.pj=JC=^^~,

2

:.PB=BJ+PJ=6+2,

百+2

/.GM----------

2

如图3—2中，设PC交3C于K,当时，同法可证GM=」PB.

2

D

ZPBC=30°,/GPB=ZPBC+ZPCB=45°,

:.PCB=/PCD=T5。,

Z/CCE=120°-15°-15°=90°，

vZE=30°,CE=CB=6+l，

：.CK牟金

出3

:.KB=BC-CK=2^

3

:.PB=BKcos300=^x—=l，

32

：.GM=-PB=-,

22

综上所述，GM的长为迫土2或!.

22

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，

等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线

定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，

属于中考压轴题.

八、解答题（本题12分）

25.如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点