综合训练（1）大题训练-2022届高三数学二轮复习

2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（1））1．设，，分别是的内角，，的对边，．（1）求角的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角的角平分线交边于点，且，求面积的最小值；②设点为边上的中点，且，求面积的最大值．2．如图，在三棱锥中，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小．3．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，设，数列的前项和为，求的最大值．4．在平面直角坐标系中，已知点，点到点的距离比点到轴的距离大，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点，（其中的两条直线分别交于，两点，直线，分别交轴于，两点，且满足．记为直线的斜率，为在点处的切线斜率，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．5．某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间，内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．（1）请根据频率分布折线图画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若该班级考分前10名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求：①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率．6．已知函数．（1）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围；（2）设函数，若，求的值．2022届高三数学二轮复习大题训练（综合训练（1））1．设，，分别是的内角，，的对边，．（1）求角的大小；（2）从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．①设角的角平分线交边于点，且，求面积的最小值；②设点为边上的中点，且，求面积的最大值．【解答】（1），且，，即，，又，．（2）若选①：平分，，，，即，，由基本不等式可得：，，当且仅当时取“”，，即的面积的最小值为．若选②：因为是边上的中线，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，，①，在中，，由余弦定理得②，由①②得，，解得，当且仅当时取“”，所以，即的面积的最大值为．2．如图，在三棱锥中，，，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小．【解答】（1）由题，，又，平面，平面平面；（2）以的中点为原点，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，0，，，0，，，2，，，，显然为平面的法向量，设是平面的法向量，则，即，令，得，，故所求二面角的平面角为．3．已知等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）设等比数列满足，，设，数列的前项和为，求的最大值．【解答】（1）设等差数列的公差为，则，又，，得，；（2）在等比数列中，，，则，，．，则．，当时，，单调递增，当时，，单调递增，且，，当时，，当时，，当时，有最大值且最大值为．4．在平面直角坐标系中，已知点，点到点的距离比点到轴的距离大，记的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点，（其中的两条直线分别交于，两点，直线，分别交轴于，两点，且满足．记为直线的斜率，为在点处的切线斜率，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【解答】（1）由题可知，点到点的距离与到直线的距离相等，轨迹一：点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，此时，所以的方程为；轨迹二：点的轨迹在轴上，，综上所述，的方程为或．（2）当直线、不是切线时，因为，所以为等腰三角形，即直线与的斜率存在且互为相反数，即，设点，，，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消去并整理得，，于是，故，因为直线与的斜率互为相反数，令代替，得，所以，又，所以，即；当与有一条为切线，则为切点，不妨设为切线，所以点与点重合，因，所以，若，则，所以，即，矛盾，综上所述，不为定值．5．某中学在2020年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间，内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．（1）请根据频率分布折线图画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；（2）经过相关部门的计算，本次高考总分大于等于680的同学可以获得高校的“强基计划”入围资格．高校的“强基计划”校考分为两轮．第一轮为笔试，所有入围同学都要参加，考试科目为数学和物理，每科的笔试成绩从高到低依次有，，，四个等级，两科中至少有一科得到，且两科均不低于，才能进入第二轮，第二轮得到“通过”的同学将被高校提前录取．已知入围的同学参加第一轮笔试时，总分高于690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；总分不超过690分的同学在每科笔试中取得，，，的概率分别为；进入第二轮的同学，若两科笔试成绩均为，则免面试，并被高校提前录取；若两科笔试成绩只有一个，则要参加面试，总分高于690分的同学面试“通过”的概率为，总分不超过690分的同学面试“通过”的概率为，面试“通过”的同学也将被高校提前录取．若该班级考分前10名都已经报考了高校的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求：①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率．【解答】（1）根据频率分布折线图，画出频率分布直方图如下：平均分为：；（2）总分大于等于680分的同学有人，由已知，其中有3人小于等于690分，2人大于690分，①；②设高于690分的同学被高校提前录取为事件，不超过690分的同学被高校提前录取为事件，则，，该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校提前录取的概率：．6．已知函数．（1）若函数在，上单调递增，求实数的取值范围；（2）设函数，若，求的值．【解答】（1）由题意可知，，，因为函数在，上单调递增，所以在，上恒成立，即在，上恒成立，设，则，当时，