江苏省泰州市兴化合陈镇高级中学高三数学理模拟试卷含解析

江苏省泰州市兴化合陈镇高级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1,x2∈D，当x1<x2时都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0,1]上为非减函数，且满足以下条件：（1）f（0）=0；（2）f（）=f（x）；（3）f（1-x）=1-f（x），则f（）+f（）=（

）

A．

B．

C．1

D．参考答案：A略2.已知、、为直线上不同的三点，点直线，实数满足关系式，有下列命题：①；

②；③的值有且只有一个；

④的值有两个；⑤点是线段的中点．则正确的命题是

．（写出所有正确命题的编号）参考答案：

①③⑤

3.把函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f(x)=（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.等比数列｛an｝的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若，则等于(

)A．

B．1

C．-

D．不存在参考答案：C5.已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（2﹣3），b=f（3m），c=f（log0.53），则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a参考答案：A【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得m=0，可得f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1），即2|﹣1﹣m|﹣1=2|1﹣m|﹣1，解得m=0，∴f（x）=2|x|﹣1在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减，∵2﹣3=∈（0，1），3m=1，|log0.53|=log23＞1，∴f（2﹣3）＜f（3m）＜f（log0.53），即a＜b＜c故选：A6.有二种产品，合格率分别为0.90，0.95，各取一件进行检验，恰有一件不合格的概率为（）A． 0.45 B． 0.14 C． 0.014 D． 0.045参考答案：B略7.函数f（x）=ln（x+1）+ln（x﹣1）+cosx的图象大致是（）A． B．C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】先求出函数的定义域，排除CD，再根据函数值得变化趋势判断即可【解答】解：函数f（x）=ln（x+1）+ln（x﹣1）+cosx，则函数的定义域为x＞1，故排除C，D，∵﹣1≤cosx≤1，∴当x→+∞时，f（x）→+∞，故选：A．8.设z=1–i（i是虚数单位），则复数的虚部是A．1

B．－1

C．i

D．－i参考答案：A因为z=1–i（i是虚数单位），所以复数，所以复数的虚部是1.9.已知的展开式中常数项为－40,则a的值为（

）A.2

B.－2

C.±2

D.4参考答案：C10.已知复数(其中i为虚数单位)，则其共轭复数的虚部是（

）A．i

B． 1 C．－i

D．－1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知tan=，tan（）=，则tan=

．参考答案：12.曲线在点的切线方程是________________．参考答案：略13.若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是

.

参考答案：14.如右图,设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且，，则A、D两点间的球面距离

。参考答案：因为AB、AC、AD两两互相垂直，所以分别以AB、AC、AD为棱构造一个长方体，在长方体的体对角线为球的直径，所以球的直径，所以球半径为,在正三角形中，，所以A、D两点间的球面距离为.15.一组样本数据的茎叶图如右：，则这组数据的平均数等于________________．参考答案：略16.已知，，则．参考答案：略17.已知

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设f（x）=px﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=，且p＞0，若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．由px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，能求出P的范围．（II）法1：g（x）=在[1，e]上是减函数，所以g（x）∈[2，2e]．原命题等价于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，由，解得p＞，由此能求出p的取值范围．法2：原命题等价于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，由=，知F（x）是增函数，由[F（x）]max=F（e）＞0，能求出p的取值范围．解答： 解：（I）由f（x）=px﹣﹣2lnx，得=．…要使f（x）在其定义域（0，+∞）内为单调增函数，只需f′（x）≥0，即px2﹣2x+p≥0在（0，+∞）内恒成立，…从而P≥1．…（II）解法1：g（x）=在[1，e]上是减函数，所以[g（x）]min=g（e）=2，[g（x）]max=g（1）=2e，即g（x）∈[2，2e]．当0＜p＜1时，由x∈[1，e]，得x﹣，故，不合题意．…当P≥1时，由（I）知f（x）在[1，e]连续递增，f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是减函数，∴原命题等价于[f（x）]max＞[g（x）]min=2，x∈[1，e]，…由，解得p＞，综上，p的取值范围是（，+∞）．…解法2：原命题等价于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e）上有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=px﹣﹣2lnx﹣，∵=，∴F（x）是增函数，…∴[F（x）]max=F（e）＞0，解得p＞，∴p的取值范围是（，+∞）．…点评：本题考查得用导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是2015届高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19.设函数f(x)=(x－1)3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若f(x)存在极值点x0，且，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；（Ⅲ）设a＞0，函数g(x)=|f(x)|，求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.参考答案：（1）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（a）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（b）当时，令，解得，或.当变化时，，的变化情况如下表：＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.…3分（2）证明：因为存在极值点，所以由（1）知，且，由题意，得，即，所以.又，且，由题意及（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，所以；

………7分（3）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：（a）当时，，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此，所以 .………9分（b）当时，，由（1）和（2）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此

.………10分（c）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.（其它解法请酌情给分。）……………12分20.（本小题满分12分）

如图，正四棱锥S-ABCD中，SA=AB，E、F、G分别为BC、SC、DC的中点，设P为线段FG上任意一点．

（l）求证：EP⊥AC;

（2）当直线BP与平面EFG所成的角取得最大值时，求二面角P-BD-C的大小．参考答案：(1)证：设AC交BD于O，

∵S－ABCD为正四棱锥，∴SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AC

1分

又∵BD⊥AC，

又∵，∴. 4分(2)解：设AB=2，如图建立空间直角坐标系，则

G(0，1，0)，E(1，0，0)，C(1，1，0)，S(0，0，)，F(，，)，B(1，，0) 5分

∴

设，

故点

∴ 6分

设面EFG的法向量为n=(abc)

∵

∴，令a=1得n=(1，1，0) 7分

设BP与平面EFG所成角为，则

= 8分

∵点P在线段FG上，∴，即=1时取最大值

此时点P与点F重合 9分

设二面角P－BD－C的大小为

∵点P到平面ABCD的距离为，点P到BD的距离为1 10分

则

∴二面角P－BD－C的大小为． 12分21.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）先求出每个个体被抽到的概率，再用各个层的个体数乘以此概率，即得应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．（2）根据所有的抽法共有=15种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有=3种，由此求得抽取的2所学校均为小学的概率．解答： 解：（1）每个个体被抽到的概率等于=，故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为21×=3，14×=2，7×=1．…（2）所有的抽法共有=15种，其中抽取的2所学校均为小学的方法有=3种，故抽取的2所学校均为小学的概率等于=．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．22.（本小题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求的最大值．（Ⅱ）对于数列，其前项和为，如果存在实数，使对任意成立，则称数列是“收敛”的；否则称数列的“发散”的．当时，请判断数列是“收敛”的还是“发散”的？证明你的结论．参考答案：解：（Ⅰ）