河北省唐山市滦南县第三中学高三数学理期末试题含解析

河北省唐山市滦南县第三中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数）的图象（部分）如图所示，则的解析式是

A．

B．C．

D．参考答案：A2.已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A． B． C．3 D．﹣3参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】先求出=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），再由向量与垂直，能求出实数λ的值．【解答】解：∵，，∴=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），∵向量与垂直，∴（）（）=﹣3（λ+1）+4λ=0，解得λ=3．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．3.函数y=2x﹣x2的图象大致是(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D【解答】解：分别画出函数f（x）=2x（红色曲线）和g（x）=x2（蓝色曲线）的图象，如图所示，由图可知，f（x）与g（x）有3个交点，所以y=2x﹣x2=0，有3个解，即函数y=2x﹣x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=﹣3时，y=2﹣3﹣（﹣3）2＜0，故排除D故选：A【点评】本题主要考查了函数图象的问题，关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数的关系，排除是解决选择题的常用方法，属于中档题4.若命题:，则对命题的否定是（

）A．

B．C．

D．参考答案：A略5.平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，M为OC的中点，若=（2，4），=（1，3），则等于（）A． B．﹣ C．3 D．﹣3参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．

【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，利用向量的加法法则与减法法则，结合坐标运算得到的坐标，则答案可求．【解答】解：如图，∵ABCD为平行四边形，且AC与BD交于点O，M为OC的中点，∴，又=（1，3），∴，则=（），又=（2，4），∴=（﹣1，﹣1），则=（﹣1，﹣1）?（）=（﹣1）×（）+（﹣1）×（﹣）=3．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加减法及数量积的坐标表示，是中档题．6.若，满足不等式组，且的最大值为2，则实数的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D设，当取最大值2时，有，先做出不等式对应的可行域，要使取最大值2，则说明此时为区域内使直线的截距最大，即点A在直线上，由，解得，代入直线得，，选D.7.学校高中部共有学生2000名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，现用分层抽样的方法在高中部抽取50名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为（）

高一级高二级高三级女生373yx男生327z340A．14B．15C．16D．17参考答案：B

考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：先利用抽到高三年级学生的概率求出x，y，z．然后利用分层抽样的定义确定高二年级应抽取的学生人数．解答：解：因为高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.18，所以，解得x=360．所以高一人数为373+327=700，高三人数为360+340=700，所以高二人数为2000﹣700﹣700=600．所以高一，高二，高三的人数比为700：600：700=7：6：7，所以利用分层抽样从高中部抽取50人，则应在高二抽取的人数为人．故选B．点评：本题的考点是分层抽样的应用，比较基础．8.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（

）A.2

B.

C.

D.3参考答案：D由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上底，下底，高分别为1，2，2的直角梯形，一条长为的侧棱垂直于底面，其体积为9.已知二次函数的图象如图1所示,则其导函数的图象大致形状是（

）参考答案：B设二次函数为，由图象可知，，对称轴，所以，，选B.10.设向量=，=，则“”是“⊥”的（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读图的程序框图,该程序运行后输出的的值为

__.参考答案：略12.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为，它与曲线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=．参考答案：考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．3794729专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将极坐标方程为化成直角坐标方程，再将曲线C的参数方程化成普通方程，最后利用直角坐标方程的形式，利用垂径定理及勾股定理，由圆的半径r及圆心到直线的距离d，即可求出|AB|的长．解答：解：∵，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，进行化简∴x﹣y=0相消去α可得圆的方程（x﹣1）2+（y﹣2）2=4得到圆心（1，2），半径r=2，所以圆心（1，2）到直线的距离d==，所以|AB|=2=∴线段AB的长为故答案为：．点评：本小题主要考查圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心到直线的距等基本方法，属于基础题．13.已知，则的大小关系是_______．参考答案：【知识点】指数与对数；B6，B7【答案解析】解析：解：因为【思路点拨】根据各个值的取值范围比较大小即可.14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为

.[来源:K]

参考答案：

本题考查参数方程与直角坐标方程的互化以及曲线交点的求法，难度中等.

两曲线消去参数后的普通方程分别为和，联立得，解得（舍去—5），代入中，解得，即它们的交点坐标为.15.由直线x=1，x=2，曲线及x轴所围成的封闭图形的面积是．参考答案：ln2【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定积分上限为2，积分下限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：曲线，直线x=1和x=2及x轴围成的封闭图形的面积=lnx|12=ln2，故答案为：ln2．16.使不等式（其中）成立的的取值范围是

．

参考答案：略17.现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为

10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中

项，则n=

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）

参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230（Ⅰ）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加一个社团的概率；（Ⅱ）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3．现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）先判断出这是一个古典概型，所以求出基本事件总数，“至少参加一个社团”事件包含的基本事件个数，从而根据古典概型的概率计算公式计算即可；（Ⅱ）先求基本事件总数，即从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，有多少中选法，这个可利用分步计数原理求解，再求出“A1被选中，而B1未被选中”事件包含的基本事件个数，这个容易求解，然后根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）设“至少参加一个社团”为事件A；从45名同学中任选一名有45种选法，∴基本事件数为45；通过列表可知事件A的基本事件数为8+2+5=15；这是一个古典概型，∴P（A）=；（Ⅱ）从5名男同学中任选一个有5种选法，从3名女同学中任选一名有3种选法；∴从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人的选法有5×3=15，即基本事件总数为15；设“A1被选中，而B1未被选中”为事件B，显然事件B包含的基本事件数为2；这是一个古典概型，∴．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率的求法，分步计数原理的应用．19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC∩BD=O，连OE、AE，将PB平移到OE，根据异面直线所成角的定义可知∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角，在△AOE中利用余弦定理，即可求出AC与PB所成角的余弦值；（2）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，求出A、B、C、D、P、E的坐标，设N（0，y，z），利用空间互相垂直的向量数量积为零，建立关于x、y的方程组，求出点N的坐标为（0，，1），即可得到N到AB、AP的距离分别为1和．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，连OE、AE，则OE∥PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角．在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，∴cos∠EOA==．即AC与PB所成角的余弦值为．（2）分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图，则可得A（0，0，0）、B（0，，0）、C（1，，0）、D（1，0，0）、P（0，0，2）、E（，0，1），依题设N（0，y，z），则=（，﹣y，1﹣z），由于NE⊥平面PAC，∴，化简得，可得y=，z=1因此，点N的坐标为（0，，1），从而侧面PAB内存在一点N，当N到AB、AP的距离分别为1和时，NE⊥平面PAC．20.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象的一个对称中心为（，0），且图象上相邻两条对称轴间的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由题意和三角函数图象特点可得周期，可得ω=2，代点计算可得φ=﹣，可得解析式为f（x）=sin（2x﹣）；（2）由题意可得sin（α﹣）=，由同角三角函数基本关系可得cos（α﹣）=，代入cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）+cos（α﹣）计算可得．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的一个对称中心为（，0），∴sin（ω+φ）=0，又图象上相邻两条对称轴间的距离为，∴周期T满足T==2×，解得ω=2，∴sin（+φ）=0，结合﹣≤φ＜可得φ=﹣，故f（x）=sin（2x﹣）；（2）∵f（）=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=，又＜α＜，∴0＜α﹣＜，故cos（α﹣）=，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）+cos（α﹣）=+=【点评】本题考查三角函数解析式的求解和三角函数公式，属中档题．21.(本小题满分16分)已知函数.

（I）求函数在区间上的最值；（II）若(其中m为常数)，且当时，设函数的3个极值点为a,b,c,且a<b<c,证明：0<2a<b<1<c，并讨论函数的单调区间（用a，b，c表示单调区间）参考答案：（Ⅰ）……………2分令解得，列表：减极小值增…………………4分所以函数在上单调递减，在上单调递增。，所以函数的最大值为，最小值为。…………………8分

（Ⅱ）由题意：令

，可以得到函数在上单调递减，在上单调递增。…………10分因为函数的3个极值点，又从而函数的三个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，因为3个极值点为a,b,c,且a<b<c,所以，所以故0<2a<b<1<c。…………………14分函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增。………