四川省自贡市徐州市第三十四中学高三数学理下学期摸底试题含解析

四川省自贡市徐州市第三十四中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则与其表示同一集合的是()A．{x＝3，y＝2}

B．{3,2}C．{(3,2)}

D．参考答案：C2.已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，，过圆心，则点的横坐标的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得3.直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为(

) A． B． C． D．参考答案：A考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），依题意得．解答： 直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．点评：本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4.设则不等式的解集为(

）A．

B．C．

D．参考答案：B5.函数（）的图像关于点对称，则的增区间（

）A．

B．C．

D．参考答案：C6.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为A．588

B．480

C．450

D．120参考答案：B略7.已知函数，且，则函数的一个零点是A． B． C． D．参考答案：A8.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，∴?========．故选：B．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．9.已知二次函数，若是偶函数，则实数的值为(

)A.-1 B.1 C.-2 D.2参考答案：D略10.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，⊥平面，，则球的表面积为.参考答案：【知识点】球的体积和表面积

解析：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为.【思路点拨】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．12.是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是

参考答案：413.某商品在最近天内的单价与时间的函数关系是

日销售量与时间的函数关系是.则这种商品的日销售额的最大值为

.参考答案：808.5

略14.某次考试有64名考生，随机编号为0,1,2,…,63，依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3,…,8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码为

．参考答案：45

15.对于函数，有如下四个命题：

①的最大值为；②在区间上是增函数；③是最小正周期为的周期函数；④将的图象向右平移个单位可得的图象.其中真命题的序号是__________参考答案：①②16.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖．有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”.四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是

．参考答案：丙试题分析：若甲是获奖歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖歌手，则甲、乙、丁都是真话，丙说假话，不合题意；若丁是获奖歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，不合题意；当丙是获奖歌手时，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，符合题意.故答案为丙.考点：合情推理.17.二项式的展开式中，项的系数为

参考答案：x－y＋1－＝0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.给定椭圆C：+=1（a＞b＞0）．称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F（，0），其短轴上的一个端点到点F的距离为．（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得，c=，a=，则b2=a2﹣c2=1，从而得到椭圆方程和其“准圆”方程；（2）讨论当P在直线x=上时，显然不垂直；当P不在直线x=上时，设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，得到关于x的方程，运用判别式为0，化简整理，得到关于k的方程，求出两根之积，判断是否为﹣1，即可判断l1，l2垂直．解答： 解：（1）由题意可得，c=，=a=，则b2=a2﹣c2=1，则椭圆C的方程为+y2=1．其“准圆”方程为x2+y2=4．（2）①设P（±，±1），则过P的直线l1：x=±，则l2的斜率k≠0，即它们不垂直；②设P（m，n）（m≠±），m2+n2=4，过P的直线为y﹣n=k（x﹣m），联立椭圆方程，消去y，得到（1+3k2）x2+6k（n﹣km）x+3（n﹣km）2﹣3=0，由于直线与椭圆C都只有一个交点，则△=0，即36k2（n﹣km）2﹣4（1+3k2）?3=0，化简得，（3﹣m2）k2+2kmn+1﹣n2=0，k1k2===﹣1．即l1，l2垂直．综上，当P在直线x=上时，l1，l2不垂直；当P不在直线x=上时，l1，l2垂直．点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了两直线的位置关系，直线和椭圆的位置关系，方法是联立直线和圆椭圆方程，利用整理后的一元二次方程的判别式求解．此题属中档题．19.（本小题满分12分）

设函数

为自然对数的底数

(1)若函数f(x)的图象在点处的切线方程为，求实数a，b

的值；

(2)当b=l时，若存在，使成立，求实数a的最小值参考答案：【知识点】导数的几何意义；导数的应用；不等式的有关知识.

B11

B12

E8(1)a=1,b=1；(2)

.解析：（1）由已知得x>0，x≠1，.则且，解之得a=1,b=1.（2）当b=1时，=所以当时，.而命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”又当时，，所以.问题等价于：“当时，有”1

当时，在上为减函数，则，故.2

当时，由于在上的值域为.（Ⅰ）当时，在恒成立，故在上为增函数，于是，不合题意.(Ⅱ)当即时，由的单调性和值域知，存在唯一使，且满足：当时，，f(x)为减函数；当时，，f(x)为增函数；所以，.所以，与矛盾.综上得a的最小值为.【思路点拨】（1）由点在切线方程为及得a,b的值；（2）命题“若存在，使成立”等价于“当时，有”，这样把问题转化为最值问题，然后利用函数最值，以及导数，确定涉及到的函数的最值，进而求得实数a的最小值.【典例剖析】本题第二小问题是具有代表性的问题，由于的取值相互之间没有影响，所以命题“若存在，使成立”等价于“存在时，有”，又当时，，所以.所以问题等价于：“存在时，有”，所以只需使即可.

20.（本题满分12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E做平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点,F,G,H.证明：四边形EFGH是矩形：（II）求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值。参考答案：（Ⅰ）证明：由三视图可知，四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形，且侧棱AD⊥底面BDC．如图，∵AD∥平面EFGH，平面ADB∩平面EFGH=EF，AD?平面ABD，∴AD∥EF．∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH=GH，AD?平面ADC，∴AD∥GH．由平行公理可得EF∥GH．∵BC∥平面EFGH，平面DBC∩平面EFGH=FG，BC?平面BDC，∴BC∥FG．∵BC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EH，BC?平面ABC，∴BC∥EH．由平行公理可得FG∥EH．∴四边形EFGH为平行四边形．又AD⊥平面BDC，BC?平面BDC，∴AD⊥BC，则EF⊥EH．∴四边形EFGH是矩形；（Ⅱ）解：分别以DB，DC，DA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由三视图可知DB=DC=2，DA=1．又E为AB中点，∴F，G分别为DB，DC中点．∴A（0，0，1），B（2，0，0），F（1，0，0），E（1，0，），G（0，1，0）．则．设平面EFGH的一个法向量为．由，得，取y=1，得x=1．∴．则sinθ=|cos＜＞|===．21.（12分）已知函数g(x)＝＋1，h(x)＝，x∈(－3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)＝g(x)·h(x)．(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a＝时，求函数f(x)的最值．参考答案：(2)函数f(x)的定义域为，令＋1＝t，则x＝(t－1)2，t∈，f(x)＝F(t)＝.∵t＝时，t＝±2?，又t∈时，t＋单调递减，F(t)单调递增，∴函数f(x)的最小值为，最大值为