2019-2020学年人教A版山东省泰安市高一第一学期期末数学试卷 含解析

2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷

一、选择题

1.已知集合Q{1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,6,7],B=[2,3,4,5},则4n

CuB=（）

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7）

2.设p:x>,[2>q：x>2,则p是g成立的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.已知正实数a,。满足@++=1,则!+b的最小值为()

A.4B.6C.9D.10

4.函数"x)=(/1)/x(x-1)+(x-1)(/1)的两个零点分别位于区间()

A.（-1,0）和（0,1）内B.（-8-1）和（-1,0）内

C.（0,1）和（1,+OO）内D.OO-1）和（1,+°°）内

）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

6.函数y=f-2f的大致图象是()

7.已知f(x)是定义域为(-8,+oo)的奇函数，满足A(1-x)=f(1+x),若A(1)

=2,则f（1）+f（2）+f（3）+・・・+5（50）=（）

A.-50B.0C.2D.50

2x+2,x<l

8.若函数f(x)=<在(-8,a］上的最大值为4,则a的取值范围

log2(X-l),x〉l'

为()

A.[0,1刀B.(-8,17]C.[1,1刀D.[1,+8)

二、多项选择题

2

9.已知sin8=-冷，且cos。>0,贝4()

O

B.tan2&>4

A.tan6<0

y

C.sin20>cos20D.sin20>0

10.已知0VaV6V1,则下列不等式成立的是()

B.!na>Inb

D.

Inalnb

11.若定义域为［o,1］的函数r(x)同时满足以下三条:

(/)对任意的xG［0,1］,总有A(x)》0;

(//)f(1)=1;

(///)若M》。，及,0,M+及W1,则有A(*+及)QxJ+f(.x2).

就称f(x)为“4函数”，下列定义在[0,1]的函数中，是'7函数”的有()

Af(x)=log<(x+l)Dq/、I,“1、

A._LB.f(.x)=log(A+1)

22

C.f(x)=xD.f(x)=T-1

12.已知集合"={(x,y)\y=f(%)),若对于任意实数对(x,y)GM,存在(及，y2)

使成立，则称集合"是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直

对点集”的是()

A.M=hx,V)ly-；}B.M={(x,y)|y=sinA+1)

x

x

C.M={(x,y)\y=2-2}D.M={(x,y)\y=Iog2x)

三、填空题

13.计算：IQA-21日/鼠-lg\8=.

14.命题：3x£R,f-/1=0的否定是.

15.已知赛函数y="x)的图象过点⑶«),则f(9)=.

16.已知函数5（x）=/3s■n3x-acos3A+a,且f（"•兀）=3,则实数a=_____,函数f

9

（X）的单调递增区间为.

四、解答题

17.已知集合/={x|2f-5x-12》0},B={y\y=3x+y（x>0）}.

（1）求集合/ins,（工⑷US；

（2）若集合"{x|加-2WA<2况且（（M）CC=C,求加的取值范围.

IT

18.在①函数f（x-二^-）为奇函数

o

TT

②当x一丁时，

③号是函数五（X）的一个零点

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

JT

已知函数f（x）=2sin（3x+Q）（3>0,尸（x）的图象相邻两条对称轴

间的距离为n,.

（1）求函数，（x）的解析式;

（2）求函数A（x）在［0,2n］上的单调递增区间.

19.已知函数，（x）=sin（：^x）+V3S।n>rcosx(x£R)

4

（1）求f（3）的值；

0

A

（2）在中，若尸（当）=1，求sin*sinC的最大值.

,、2X

20.已知函数f(x)=---------+m,加eR.

2X-1

（1）判断函数5（x）在（-8,o）上的单调性，并证明你的结论；

（2）是否存在加，使得f（%）为奇函数?若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.

21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生

产X百件，需另投入成本c（x）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c（X）=

10x2+100x;当年产量不小于30百件时，c（x）=501^+10000-4500;若每件电子产品

的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.

（1）求年利润y（万元）关于年产量x（百件）的函数关系式；

（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

22.若，(x)=Ioga(x-2a)+loga(x-3a)(a>0,且a¥=1).

(1)当aM时，若方程口"=1°8"16-*)在(2,3)上有解，求实数0的取值范围;

22

(2)若r(x)/1在［93,94］上恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、单项选择题

1.已知集合U={y,2,3,4,5,6,7],A={2,3,6,7],B=[2,3,4,5),则4n

C口8=()

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

【分析】根据补集与交集的定义，计算即可.

解：集合仁{1,2,3,4,5,6,7],

A=[2,3,6,7],8=[2,3,4,5),

贝”g1,6,7),

所以4nCUB={6,7}.

故选：C.

2.设p:x>-,/2,q：x>2,则。是g成立的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

解：q:x>2,解得x>"、R或xV历；

若p:x>-、j2成立，贝"0：f>2成立，

反之，若q:x?>2成立，则p:x>"历未必成立；

即p是q成立的充分不必要条件，

故选：B.

3.已知正实数a,6满足a+?=l,则1+b的最小值为（）

A.4B.6C.9D.10

【分析】直接利用关系式的恒等变换和均值不等式的应用求出结果.

解：；a>0,b>0,

ab=T7)

当且仅当J时，

即，a节，时取，，=，，成立.

,b=6

故选：C.

4.函数尸(x)=(A+1)x+x(x-1)+(x-1)(A+1)的两个零点分别位于区间()

A.(-1,0)和(0,1)内B.(-8,-1)和(-1,0)内

C.(0,1)和(1,+8)内D.(-8,-1)和(1,+8)内

【分析】由零点存在性定理直接判断即可.

解：由5(-1)=2,f(0)=-1,f(1)=2,故/(-1)f(0)<0,f(0)f(1)

<0,

且二次函数尸(x)在定义域上是一条连续不断的曲线，结合零点存在性定理可知，函数

f(x)的零点在(-1,0)和(0,1)内，

故选：4

A.aVbVcB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出.

则a<b<c.

故选：4

【分析】根据函数的奇偶性和对称性，利用特殊值进行排除即可.

解：函数是偶函数，图象关于y轴对称，排除C,D

当x=1时，y=1-2=-1<0.排除4,

故选：B.

7.已知f(x)是定义域为(-8,+OO)的奇函数，满足尸(1-X)=A(1+x),若A(1)

=2,则f(1)+f(2)+f(3)+-+f(50)=()

A.-50B.0C.2D.50

【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇

偶性进行转化求解即可.

解：."(x)是奇函数，且尸(1-x)=r(i+x),

.•"(1-x)=f(1+x)=-f(x-1),f(0)=0,

贝4f(A+2)=-A(x),贝4f(A+4)=-f(A+2)=f(x),

即函数f(x)是周期为4的周期函数，

Vf(1)=2,

/.f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1-2)=f(-1)=-f(1)=-2,

f(4)=f(0)=0,

则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,

贝4f(1)+f(2)+f(3)+-+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f

(50)

=f(1)+f(2)=2+0=2,

故选：C.

2x+2,x<l

8.若函数f(x)匚在(-8,司上的最大值为4,则a的取值范围

log2(x-l),

为(

A.[0,17]B.(-8,17]C.[1,17]D.[1,+8)

【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.

2x+2,x<l

解:函数（）

fX=<，

log2（X-l）,X>1

xG（-8,1］时，函数是增函数;

XG（1,+8）函数是增函数,

因为/（1）=4,f（17）=4,所以a的取值范围为：［1,17］.

故选：G.

二、多项选择题

-2

9.已知sin8=-T7，且cos6>0,则（）

B.tan28>4

A.tan0<0

y

C.sin20>cos20D.sin29>0

【分析】由同角三角函数的基本关系，求出cos。及tan。，进而得解.

9

解：Vsin0=~"T,且cos6>0,

o

••COS0={1-（-号）2=~^~,

・qsin82y/2a4、44./「门2a5.

yo

••tan©=-----Q—=---<0,tan877=sin^cos0=77,sin2

cos05byyy

0=2sin0cos6<0,

故选：AB.

10.已知0VaV6V1,则下列不等式成立的是（）

B.!na>Inb

D.上>，

Inalnb

【分析】利用不等式的性质和函数的性质分别判断个选择即可.

解:A.V0<a</><1,函数了=弓）>在（0,1）上单调递减,

:.（y）a>（y）b,故4正确；

B.由0VaV6V1,取且==，bM可知，夕不正确；

42

C.V0<a<£><1,故C正确；

ab

D.V0<a</><1,函数y=//M■在（0,1）上单调递增,

:./naV/nbVO,故〃正确.

Inalnb

故选：ACD.

11.若定义域为[0,1]的函数r(x)同时满足以下三条：

(/)对任意的xG[0,1],总有A(x)》0；

(//)f(1)=1;

(7/7)若M'0,Xz,0,M+XZW1,则有f(X1+A2)+f(x2).

就称尸(x)为'3函数”，下列定义在[0,1]的函数中，是函数”的有()

Af(x)=log<(x+1)DC/、I,“1、

A._LB.f(x)=log(A+1)

22

C.f(x)=xD.f(x)=T-1

【分析】利用“4函数”的定义分别判断给出的四个函数是否满足三个条件即可得答案.

解：对于4当x£[0,1]时2],则5(x)=104-1,1<0,故5(x)=

2

logj_',.x+U不是“彳函数”；

2

对于8,f(x)=log2(A+1),^xi=x9=-^-,贝"尸(乂+也)=f(1)=log2(1+1)=1,

_>lo2=1

f(%l)+f(x2)=2log2(-^->-1)=log2|'g2，

不满足若X》0,M20,则有f(Xi+x2)(X、)+f(x2),故2(x)=log2

(x*-1)不是'"函数"；

对于C,当xG[0,1]时，总有f(x)=x20,f(1)=1,f(X1+J6)=Xy+x2=f(%1)

+f(此)，故A(x)=>是'"函数”；

对于〃，f(x)=2*-1,当xG[0,1]时，总有A(x),0,f(1)=1,

若x,0,A2>0,,贝4f(X1+A2)-f(%i)-f(A2)=2"+M-1-[(2"-1)+

(2^-1)]=2"*0-2"-2或+1=(2"-1)(2^-1),0,

故A(x)为'”函数”.

故选：CD.

12.已知集合触={(x,y)\y=f(%)),若对于任意实数对(x,y)GM,存在(及，y2)

使成立，则称集合"是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直

对点集”的是()

A.{(.X,V)ly-；}B.M={(x,y)|y=sinA+1)

x

C.M={(x,y)|y=2-2}D.M={(x,y)\y=Iog2x)

【分析】由题意可得：集合的是“垂直对点集”，即满足：曲线y=/(x)上过任意一

点4(x”必)与原点的直线，曲线y=A(x)上都存在过点8(M，必)与原点的直线与

之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案.

解：由题意可得：集合的是“垂直对点集”，即满足：

曲线y=，(x)上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直.

对于4,M={(x,y)|y=-^-},其图象向左向右和x轴无限接近，向上和y轴无限接

x

近，如图，

在图象上任取一点4(*,“)，连力,过原点作力的垂线仍必与尸令"的图象相交，

x

即一定存在点8(电y2),使得仍_L以成立，

故4{(x,y)|y='右}是“垂直对点集”，故/正确.

x

对于8,M=[(.x,y)|y=sinA+1},在图象上任取一点4,连A4,过原点作直线"的

垂线0B,因为y=sinA+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，

因此直线。夕总会与y=sin>r+1的图象相交.

所以解={(x,y)|y=sinA+1}是"垂直对点集"，故夕正确；

对于C,M=[(x,y)\y=2x-2],其图象过点(0,-1),且向右向上无限延展，向左

向下无限延展，

据指数函数的图象和性质可知，

在图象上任取一点4连。1,过原点作04的垂线必必与y=2*-2的图象相交，

即一定存在点6,使得如■!"以成立，

故4{(x,。|y=2'-2}是“垂直对点集”，故C正确.

对于。，M={(x,y)|y=Iog2x},(x>0),

取(1,0),则不存在点(电log2A2)(A2>0),满足1X应K)=0,

因此集合的不是“垂直对点集”，故〃不正确；

故选：ABC.

13.计算：/必4-2竹h/g7-/"8=0.

【分析】利用对数的性质和运算法则求解.

解：/小4-2/占"一如8

=//4-/549+/59+Igl-!g\3

(14X9X7

=/g

49X18

=1g\=0.

故答案为：0.

14.命题：3xGR,寸-/1=0的否定是VxGR,Y-A+110.

【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.

解：因为特称命题的否定是全称命题，

所以三xGR,4-妙1=0的否定是：VxGR,x-A+1#=0.

故答案为：VxGR,X2-A+1#=0.

15.已知赛函数y=A（x）的图象过点（3,73）＞则f（9）=3.

【分析】利用幕函数的定义先求出其解析式，进而得出答案.

解：设幕函数式（x）=x。（a为常数），

•.•赛函数y=2（x）的图象过点（3,«）,二愿=3"，解得a,.

f（x）=A/X-

•**f（9）=V9=3.

故答案为3.

16.已知函数尸（x）=、/^sin3x-acos3A+a,且■冗）=3,则实数a=1,函数A（x）

9

的单调递增区间为一二二〃口+^](〃£Z).

【分析】由已知代入可求?然后结合辅助角公式及正弦函数的性质即可求解.

解：因为A(x)=V3sin3x-acos3A+a,且兀)=3,

所以f(等)=母卓知。$等1，

yo6

兀

解可得，a=1,f(x)=­/3sin3x-COS3A+1=2sin(3x——)+1,

6

ijp1

令F兀+2k兀43*-丁<春冗+2k兀，kGz,

/62

物he兀2k兀兀2kK

解可行，-

总交素%1「兀2k兀2兀2k2L“

故答案为：1,[-7「+~--,门+~~~■—nJ,kGz,

yoyo

四、解答题

17.已知集合4={x|2f-5x-12》0},B={y\y=3x+J\(x>0)}.

(1)求集合AC8,(工⑷Uff;

(2)若集合”{*|。-2/后2况且((M)nc=c,求加的取值范围.

【分析】(1)化简集合4B,根据交集与并集和补集的定义计算即可；

(2)根据题意(C/)nuc知CQc/,讨论c=0和今。时，分别求出加的取值范

围.

解：集合A={x\2x-5x-12》0}={x|x<-■或xi4},

B={y\y=3x+\(x>0)}={y|y>2}.

(1)集合/n5={x|x》4},

C/={x|--|-<X<4},

([M)Uff={x|x>-争；

(2)若集合仁{x|。-2w后2同，且(CM)nc=c,

/.C£C/，

2,解得《vzz；

2m<42

V

当0=0时，加-2>2勿，解得.••加V-2;

综上，勿的取值范围是m<-2或"^V/yrt.

_兀

18.在①函数f为奇函数

JT

②当时，f(x)=Vs

吟是函数f(x)的一个零点

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

TT

已知函数f(x)=2sin(3x+@)(3＞0,/(x)的图象相邻两条对称轴

兀

间的距离为TT,_f(x)=2sin(x-*^-)_.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数A(x)在［0,2n］上的单调递增区间.

【分析】方案一：由题意可求函数周期，利用周期公式可求3,选条件①由题意可得

TTTTJT

0F+k兀，kGZ,结合范围0＜。＜亏，可求。F，可得函数解析式，利用正

弦函数的单调性可求函数A(X)在［0,2n］上的单调递增区间；

方案二：选条件②，由题意可得sin(三+。)=噂，可求。，求解函数解析式，利用正

弦函数的单调性可求函数尸(X)在［0,2n］上的单调递增区间；

999JT

方案三：选条件③，由题意可得fe冗)=2sin(告冗+。)=0,求得0=4--，k

OOO

SZ,可求。，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在［0,2n］上

的单调递增区间.

解：•函数A(X)的图象相邻对称轴间的距离为TT,

丁2兀

兀，

T二3=2

/.f(x)=2sin(A+0).

JTJT

方案一：选条件①Tf(x-^-basinG+O一丁)为奇函数,

OO

兀

••・。―^-+卜兀，kGZ,

o

(1)•••0＜。＜去

人兀

•••0

o

•'f(x)=2sin(x+3)•

兀兀兀

(2)由丁+2k兀<x+^-<-^~+2k兀，kGZ,

得一|•兀+2k兀<x<3+2k几，kGZ,

66

...令〃=0,得令

66

人,一布7兀//13兀

令力-1,传一--<x<一7,

66

...函数A(x)在［0,2n］上的单调递增区间为［0,3］,•兀，2冗］,

66

TTTT

方案二：选条件②f(一屋)=2sin(-^-+Q)=«,

oJ

•••sin《+Q)=察

ON

八a人兀

；・0=2左n,〃£Z,或0=+2k兀，〃£Z,

o

(1)

兀

O

，、，兀、

f(x)=2sin(x-^-),

兀兀兀

(2)由丁+2k兀《xr<我-+2k兀，kGZ,

得一|■兀+2k^(x<d-+2k兀，〃£Z,

:•令k=0,得

66

人《尸7兀//13兀

令k-1,付一--<乂<―~,

66

...函数尸(x)在［0,2TT］上的单调递增区间为［0,—［J-K,2冗］,

66

9

方案三：选条件③・・•£•冗是函数A(x)的一个零点,

o

二f4冗)=2sinf1■兀+。)=0,

oO

2几

A0=kK---,kez,

o

IT

(1)V0<4><-y,

•••0吟

•e•f(x)=2sin(x二~),

兀兀兀

(2)由一y+2k冗2k兀，kGZ,

得一|•冗+2k冗4x《j+2k冗，kGZ,

66

...令〃=0,得用

66

人,一坦7兀//13兀

令〃一1,传—~一<X<―7・

66

...函数A(X)在［0,2n］上的单调递增区间为［0,3］,•兀，2冗］.

66

故答案为：f(x)=2sin(x」丁).

兀兀

19.已知函数5(x)=sin(,+x)sin(――x)+/3sinxcosx(xGR).

44

IT

(1)求fD的值；

6

A

(2)在△脑中，若尸(冷)=1，求sin*sinC的最大值.

兀-JT

【分析】(1)利用倍角公式与辅助角公式将f(x)=s\n(--•-X)sin(―--x)+J3sinxcosx

44

化为：f(x)=sin(2A+：.),即可求得尸(7—)的值；

(2)由/为三角形的内角，"争=sin(2今专)=1可求得/=半从而sin外sinC

OJI

=sin*sin(上^---ff),展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sin*sinC的最大

o

值.

【解答】(1)Vf(x)=sin(--*■%)sin(――x)+s/ssinxcosx

44

=-^-COS2A+^-^Sin2x-*-

22

/兀、

=sin(2A+),•・・

6

(2)由f(-^)=sin(4^-y-)=1,

2b

而OV/IVTT可得：

兀兀g兀

即彳=石

~~2o

B)=-^-sinB^^-cosB=\[2sinO兀).•••

:.sin*sinUsin*sin

3226

2兀

vo<^<

兀

:.V研兀5兀/Vsin（外）<1,

6

:.sin*sinC的最大值为•••

2X

20.已知函数f(x)=---+m,〃£R.

2X-1

(1)判断函数A(x)在(-8,o)上的单调性，并证明你的结论；

(2)是否存在加，使得f(%)为奇函数?若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)利用单调性的定义直接证明即可；

(2)假设存在，则———bm=-二--m恒成立，解出即可得出结论.

2-x-l2X-1

解：(1)/(x)在(-8,o)上单调递减，

证明：V%1,(-8,0),JLXy<x2,

则f(xp-f(x2)=(~|^-遍-(^-加二*2叼-2：一•・

2『I22-1(21-1)(22-1)

Vxi<x2<0,

•••0<24<2勺<1，•••2力-24>0，2%-1<0，

(乂)-f(x2)>0,

f(Xi)>f(A2),

f(x)在(-8,0)上单调递减；

(2)函数A(x)的定义域为(-8,0)U(0,+8),

若f(X)为奇函数，则5(-X)=-f(X)恒成立，

?P----i-m=—7--m恒成立，

2~x-l2X-1

解得m=[,

.,•存在1[1=—,使得A(x)为奇函数.

21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生

产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)=

10x+100x;当年产量不小于30百件时，c(x)=501A+-4500;若每件电子产品

x

的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.

(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式;

(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？

【分析】(1)根据题意，分段求函数解析式即可；

(2)利用二次函数的性质结合基本不等式，分段求函数的最大值，再比较即可.

解：(1)当0VxV30时，y=500x-10x-100x-2500=-10x+400x-2500;

100

当x》30时，y=500x-501x-^^+4500-2500=2000-(x+—)；

XX

-10X2+400X-2500,0<X<3C

，，YI2000-(xA.x>30'

x

(2)当0VxV30时，y=-10(x-20)2+1500,.,.当x=2