2024年山东省烟台市福山区一模数学试题

2024年初四数学诊断性测试注意事项：1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡上交.2.答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上.3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他器标号.4.非选择题必须用用0.5毫米黑色签字笔作答，答案写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效.一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都验出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.1.下列说法中，不正确的是A．3与互为相反数 B．与为倒数 C．的立方根是 D．的绝对值是12.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3.如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是A． B． C． D．4.下列运算结果正确的是A． B．C． D．5.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系，医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据十亿四千万用料学记数法表示为A． B． C． D．6.已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，.若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是A． B．C． D．7.某中学开展“读书节活动”。该中学某通文老师随机样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）2468学生数（人）2341下列说法错误的是A．众数是1 B．平均数是48 C．样本容量是10 D．中位数是58.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若，，则∠CAO的度数与BC的长分别为第8题图A．15°，1 B．15°， C．10°，1 D．10°，9.如图，将ABCD折叠，使点D在AB上点D＇处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED＇上点C＇处，连接FC＇并延长变AE于点G.若，.则FG长为第9题图A． B． C． D．410.如图是抛物线（）的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论：①；②；③；④对于任意实数m，都有．其中正确结论有第10题图A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6个小题，每个题3分，满分18分）11.在函数中，自变量x的取值范围是.12.如图，五边形ABCDE是正五边形，若，则.第12题图13.如图，在Rt△ABC中，，，.以点C为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为.第13题图14.如图，平行四边形OABC的顶点A，B在函数（）的图象上，边BC与y轴交于点D，AE⊥x轴于点E.若△AOB的面积为8，则的值为.第14题图15.如图，在四边形ABCD中，，，M，N分别是边DC，BC上的动点。当△AMN的周长最小时，.第15题图16.如图，礼盒的上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为厘米.三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）17.（本题满分9分）（1）先化简，再求值：，其中.（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.18.（本题满分6分）如图，，且AC平分∠BAM.（1）用尺规作∠ABC的平分线BD变AM于D，连接CD（保留作图准连，不写作法）；（2）求证：（1）中的四边形ABCD是菱形。19.（本题满分6分某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10m了解很少160.32基本了解b很了解4n合计a1（1）根据以上信息可知：a＝，b＝，m＝，n＝.（2）请补全条形统计图；（3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数；（4）若“报了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.20.（本题满分7分）如图，正比例函数（）与反比例函数（）的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为.（1）求反比例函数的表达式.（2）观察图象，直接写出不等式的解集.（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式.21.（本题满分7分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：，，）22.（本题满分8分）音乐节期间某店铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售，已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件。不超过A种件数的4倍.（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折，设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.21.（本题满分8分）如，A是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB延长线交于点D，连接BO并延长与⊙O交于点E，连接EC，.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若，，求值AB的长.24.（本题满分10分）如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM，AM，AN.，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，易证：，从而得.图①【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形ABCD的边长是.（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且.点E、F分别在BM、DN上，，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由.图②【拓展应用】（3）如图③，在矩形ABCD中，，，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知，，求DM的长.图③25.（本题满分11分）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止。图1（1）求随物线的表达式；（2）当时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由.（3）如图2，点从点开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接BQ，PC，求的最小值.图2

2024年初四数学诊断性测试参考答案及评分意见本试题答案及评分意见，供阅卷评分使用。考生若写出其它正确答案，可参照评分意见相应评分。一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）题号12345678910答案BDBCCBAACC二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）11.； 12.72° 13． 14． 15.100° 16．三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）17．（本题满分9分）解：原式．当时，原式．（2）解：解不等式①得x＜2解不等式②得x≥－1在同一条数轴上表示不等式①②解集（略）∴原不等式组的解集为－1≤x＜218．（本题满分6分）解：（1）共有作图痕迹4个，（2）∵AM∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，AC平分∠BAM，∠BAC＝∠DAC，∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC，同理可得AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形19.（本题满分6分）解：（1），，，；（2）补全条形图如下：（第19题图）（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有（人），答案：400；（4）记4名学生中3名男生分别为，，，一名女生为B，列表如下：BB从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：、、、、、共6种等可能结果.∴P（抽到两名学生均为男生），抽到一男一女包含：、、、、、共六种等可能结果.∴P（抽到一男一女），故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．20．（本题满分7分）解：（1）∵正比例函数（）与反比例函数（）的图象交于A、B两点，∴A、B关于原点对称，∵A的横坐标为－4，B的纵坐标为－6，∴，，∵点在反比例函数（）的图象上，∴，∴，∴反比例函数的表达式为；（2）观察函数图象，可知：当－4＜x＜0或x＞4时，正比例函数的图象在反比例函数（）的图象下方，∴不等式的解集为－4＜x＜0或x＞4；（3）方法1：连接BE，作BG⊥y轴于点G，∵在直线上，∴，解得，∴直线AB的表达式为，∵CD∥AB，∴，∵，∴BG＝4，∴，∴OE＝10，∴，∴直线CD为．方法2：连接BF，作BH⊥x轴于H，∵在直线上，∴，∴直线AB的表达式为，∵CD∥AB，∴，∵，∴，∴，∴，设直线CD的表达式为，代入F点的坐标得，解得b＝10，∴直线CD为．21.（本题满分7分）解：过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：在Rt△ABT中，（米），（米），∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，∴四边形ATCK是矩形，∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC－BT＝4－1.4＝2.6（米），在Rt△AKD中，∵∠ADK＝45°，∴DK＝AK＝2.6米，∴CD＝CK－DK＝4.8－2.6＝2.2（米），∴阴影CD的长约为2.2米．22．（本题满分8分）解：（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元，由题意得：，解得：a＝10，经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，a－1＝9，答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；（2）①由题意得：，解得：120≤x≤210，∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，当120≤x≤150时，，∵－1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝120时，w有最大值是：，当150＜x≤210时，，∵3＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝210时，w有最大值是：3×210＋3000＝3630，∵3630＞3480，∴w的最大值是3630，此时600－x＝600－210＝390，即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．23.（本题满分8分）（1）证明：连接OC，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE．∵∠BOC＝∠E＋∠OCE．∴∠BOC＝2∠E，∵∠ABE＝2∠E，∴∠BOC＝∠ABE．∴AB∥OC．∴∠OCD＋∠ADC＝180°．∵AB⊥CD于点D，∴∠ADC＝90°．∴∠OCD＝90°．∴OC⊥CD．∴CD是⊙O的切线．（2）方法不唯一。方法1：连接AC，BC，∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°．∴∠OBC＋∠E＝90°．∵∠OCD＝90°，∴∠OCB＋∠BCD＝90°．∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC．∴∠E＝∠BCD．∴．∴在Rt△BCD中，．∵∠A＝∠E，∴在Rt△ACD中，．∴AB＝AD－BD＝8．方法2：过点O作OH⊥AB于H，设⊙O的半径为r．同方法1可得∠BCD＝∠E，CD＝3．∵OH⊥AB，∴∠OHD＝90°＝∠OCD＝∠ADC．∴四边形OHDC是矩形．∴OH＝CD＝3，HD＝OC＝r，∴HB＝HD－BD＝r－1．∵Rt△OHB中，，∴．解得：r＝5．∴HB＝4．∴由垂径定理，AB＝2HB＝8．24.（1）12解法提示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°.由旋转得△ABE≌△ADM，∴AE＝AM，BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，∠EAB＝∠MAD，∴∠ABE＋∠ABC＝180°，∴E，B，N在同一条直线上.∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAN＋∠MAD＝45°，∴∠BAN＋∠EAB＝45°，∴∠EAN＝45°，∴∠EAN＝∠MAN.在△ANM与△ANE中，，∴△ANM≌△ANE，∴MN＝EN.∵EN＝BE＋BN＝DM＋BN，∴MN＝DM＋BN，∴MN＋CM＋CN＝DM＋BN＋CM＋CN＝CD＋BC＝2BC．在Rt△CMN中，由勾股定理得∴10＋8＋6＝2BC．∴BC＝12.（2）三条线段EF，BE，DF之间满足的数量关系为.理由如下：如图（1），过点D作DP⊥DF，且DP＝BE，连接PF，AP，图（1）则∠PDA＋∠ADF＝90°＝∠ADF＋∠NDM，∴∠PDA＝∠NDM.∵四边形ABCD是正方形，∴BN∥DM，又∵BN＝DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴∠EBA＝∠NDM，∴∠PDA＝∠EBA．在△APD与△AEB中，，∴△APD≌△AEB，∴AP＝AE，∠PAD＝∠EAB．∵∠EAP＝∠EAD＋∠PAD＝∠EAD＋∠EAB＝∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠PAF＝45°＝∠EAF.在△APF和△AEF中，，∴△APF≌△AEF，∴EF＝FP.在Rt△PD