试题-小学数学试题讲解

小

学

试

题

精

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数学网继【小学数学趣题巧算百题百讲百练】系列后又最新推出【小学数学解

题思路大全】系列！本系列包括式题的巧解妙算、巧想妙算文字题、巧想妙算

填充、判断、选择题、巧想妙算数的基本知识题、巧解整除问题、巧想妙算

应用题、巧想妙算初步几何知识题等几部分，几乎囊括了所有类型的例题及解

题思路。

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1.特殊数题(1)21—12

当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与

减数十位数字的差乘以9。

因为这样的两位数减法，最低起点是21—12,差为9,即(2—1)X9。减数

增加1,其差也就相应地增加了一个9,故31—13=(3—1)X9=18。减数从

12—89,都可类推。

被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩

大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如

210-120=(2-1)X90=90,

0.65-0.56=(6-5)X0.09=0.090

(2)31X51

个位数字都是1,十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十

位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。

3x5=15)

13+5=8=1581

若十位数字的和满10,进1。如

8x9=72

81x91=.8+9=17.=7371

L1，

证明:(10a+l)(10b+l)

=100ab+10a+10b+l

=100ab+10(a+b)+l

(3)26X8642X62

'2x8+6=22'

26x862236

6x6=36

1J

'4x6+2=26'

42x62=2604

2x2=04

个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字

的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。

证明：(10a+c)(10b+c)

=100ab+10c(a+b)+cc

=100(ab+c)+cc(a+b=10)(>

(4)17X19

十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10,加个位数的

积。

原式=(17+9)X10+7X9=323

证明：(10+a)(10+b)

=100+10a+lOb+ab

=[(10+a)+b]X10+ab。

(5)63X69

十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位

数之和乘以十位数字，再乘以10,加个位数的积。

原式=(63+9)X6X10+3X9

=72X60+27=4347。

证明:(10a+c)(10a+d)

=100aa+10ac+lOad+cd

=10a[(lOa+c)+d]+cdo

(6)83X87

十位数字相同，个位数字的和为10,用十位数字加1的和乘以十位数字的

积为前两位数，后两位是个位数的积。如

(8+1)x8=72'

83x87=

3x7=21

证明：(10a+c)(10a+d)

=100aa+10a(c+d)+cd

=100a(a+l)+cd(c+d=10)。

(9+1)x9=90'

再如95?=’9025

5x5=25

(7)38X22

十位数字的差是1,个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同

的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。

原式=(30+8)X(30-8)

=302-82=836O

(8)88X37

被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的

和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。

'(3+l)x8=32'

原式=43256

7x8=56

(9)36X15

乘数是15的两位数相乘。

被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时，积为被乘

数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

原式=(36+36X1)X1Q

=54X10=540。

55X15

55+(55-1)X1=82,原式=825。

(10)125X101

三位数乘以101,积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125

+1=126。

原式=12625。

再如348X101,因为348+3=351,

原式=35148。

(11)84X49

一个数乘以49,把这个数乘以100,除以2,再减去这个数。

原式=8400+2—84

=4200-84=4116。

(12)85X99

两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样

多的0、再减去被乘数。

原式=8500—85=8415

57X9999=569943

II

(57-1)(100-57)

(4-2),表示2个9。

不难看出这类题的积：

最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；

最低位上的两位数，是100与被乘数的差；

中间数字是9,其个数是乘数中9的个数与2的差。

证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(aWO),则

(10a+b)X9-9(n>2)

=(10a+b)X(10-0-1)

=(10a+b)X10--0-(1Oa+b)

=(10a+b-l+l)X10-0-(1Oa+b)

=(10a+b-l)X10-0+10-0-(1Oa+b)

=(10a+b-l)X10…0+10-0X100-(10a+b)

=(10a+b-l)X10-0+(9-9+1)X100-(1Oa+b)

=(10a+b-l)X10^ip+(9--9XlQQ)4-100-(1Oa+b)

Jn个I'―

被乘数T9的木数100-被乘数

如果被乘数的个位数是1,例如

31X999

在999前面添30为30999,再减去30,结果为30969。

71X9999=709999—70=709929。

这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+l)的形式，由9

组成的自然数可表示为的形式，其积为

(10a+l)(10n-l)=10"+,a+(10--l)-10ao

(13)14-19

这是一道颇为繁复的计算题。

原式=0.052631578947368421c

根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)

相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。

原式转化为0.1+L9,把1.9看作2,计算程序：

(1)先用0.14-2=0.05o

(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

0.052

2)0.105

10

4

-1-

如此除到循环为止。

0.0526

2)0.10526

10

s-

4

12

12

6

0.52631578947368421……

2)0.1052631578947368421

10

5

4

12

12

6

—(下略)

当除数用2代替1.9计算时，扩大了，倍(1.9x/=2),商缩

1.yi.y

0.1+1.9=()

11.911.9

0.1-s-2=0.05

所以要把商扩大52倍，即0.05火29。

1.yi.y

2「壬41.9+0.1加,01

⑪可看成一^,即1+后。

所以005X^=005X(1+沿。

=0.05+0.05x—.

1.9

仔细分析这个算式：

加号前面的0.05是0.1+2的商，后面的0.05X0.1+1.9中0.05X0.1=

0.005,就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数

看作2继续除，依此类推。

除数末位是9,都可用此法计算。

例如1+29,用0.1+3计算。

14-399,用0.14-40计算。

2.估算

数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和

工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待

研究的课题。

美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，

第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近

似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预

测或作出决定……”

(1)最高位估算

只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在

什么范围。

例11137+5044-3169

最高位之和1+5—3=3,结果在3000左右。

例267.2Xj

0

如果因为忽视小数点而算成560,依据“一个不等于零的数乘以真分

数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。

例351.9X1.51

整体思考。

因为51.9弋50,

而50X1.51=50X1.5=75,

又51.9>50,1.51>1.5,

所以51.9X1.51>75。

另外9X1=9,

所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。

例432794-79

把3279和79,看作3200和80。准确商接近40,若相差较大，则是

错的。

（2）最低位估算

例如，6403+232+1578

3+2+8=13,原式和的末位必是3。

（3）规律估算

和大于每一个加数；

两个真分数（或纯小数）的和小于2；

一个真分数与一个带分数（或一个纯小数与一个带小数）的和大于这

个带分数（或带小数），且小于这个带分数（或带小数）的整数部分与2的

和；

343

例如，2-<y+2-<2+2

两个带分数（或带小数）的和总是大于两个带分数（或带小数）整数部

分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；

例如，6+1<合+¥<6+1+2

奇数土奇数=偶数，偶数土偶数=偶数，奇数土偶数=奇数；

差总是小于被减数；

整数与带分数（或带小数）的差小于整数与带分数（或带小数）的整数

部分的差；带分数（或带小数），与整数的差大于带分数（或带小数）的整数

部分与整数的差。

例如，2-1.6<2-1,5；-3>5-3

带分数（或带小数）与真分数（或纯小数）的差小于这个带分数（或带小

数），且大于带分数（或带小数）减去1的差；

3353

例如，3--1<3---<3-

带分数与带分数（或带小数与带小数）的差小于被减数与减数的整数

部分的差，旦大于这个差减去1；

3?53

例如，4--2-1<4--2-<4--2

ooyo

如果两个因数都小于1,则积小于任意一个因数；

若两个因数都大于1,则积大于任意一个因数；

带分数与带分数（或带小数与带小数）的积大于两个因数的整数部分

的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积；例如，

2X7<J（2+1）X（7+1）

68

如果B>1,贝U

A<AB<Bo

奇数X偶数=偶数，偶数X偶数=偶数；

若除数VI,则商〉被除数：

若除数>1,则商〈被除数；

若被除数〉除数，则商＞1;

若被除数〈除数，则商＜1。

(4)位数估算

整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320—0.68,

差为两位小数。

最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数

和；

例如,451X7103

最高位的积4X7=28,满10,结果是3+4=7(位数)。在整除的情

况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位

数；

例如，1473424-27

14不够27除,商是4-2=2(位数)。

被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加

上lo

例如,30226+238

302够238除，商是5—3+1=3(位数)。

(5)取整估算

把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的

数估算。

如1.98+0.97弋2+1,和定小于3。

12X8.5^10X10,积接近100。

3.并项式

应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。

例13.34+12.96+6.66

=12.96+(3.34+6.66)

例25.28-2.75-^-2.28

=5.28-2.28-(2.75+：)

=12.96+10=22.96

=3-3=0

例315.74-(8.52+3.74)

=15.74-3.74-8.52

=12-8.52=3.48

例416004-(4004-7)

=16004-400X7

=4X7

=28

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4.提取式

根据乘法分配律，可逆联想。

2

例13.25X0.4+yX6.75

=(3.25+6.75)X0.4=10X0.4

=4

339

例2——x一

4410

3

40

5.合乘式

例187.5XQ.8X1x5X12.5

=87.5X(0,8X12.5)X(1x5)

=87.5X10X1=875

=8-7=1

例2(.一,)X56

=1x56-1x56

78

6.扩缩式

例11.6X16+0.4X36

L?41x4

=0,4X64+0.4X36

=0.4X(64+36)

=0.4X100=40

例216X45

L2Xx2

=8X90=720

例36.3+8=63+18=7+2=3.5

X10r3

7.分解式

例如，14X72+42X76

=14X3X24+42X76

=42X(24+76)

=42X100=4200

8.约分式

371121

例1-x<-x—xKx

5a氏

=3X7X2=42

例2169+4+7X28+13

_逆义盛

"Xx'Tx'fe

111

131

例30.17++(0.3+1/0.51)

1311

uaxgw%

下炎

1131

32

例40.19-lyx45%-(1.4-2-x0.57)

7

0.19x—x45%

=10

9

14x—xQ.57

iii

12319871988

例5—X—X—X，Xx

23419881989

123

=—X—X—XX---------X-----------

234呼8^1989

1

1989

例61+£+彳+1987

1988

111

0

^2M

XXX1988

---N浜

1X..X

2X131.

=1988

例719881988198819884-1989198919891989

以1000100010001,得萼I

被除数与除数，分别除1989

式

10.拆积式例如，32X1.25X25

=8X1.25X(4X25)

=10X100=1000

11,换和式例10.1257X8

=(0.125+0.0007)X8

=1+0.0056=1.0056

e13

例2—X58

13,,、

=­X(57+1)

=—X57+—x1=39—

191919

g45

例358-X-

45

=(57+R历

=15+—=15—

33

例48.37-5.68

=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)

=8.69-6=2.69

12.换差式

r34

例13--2-

r35

例2—X35

36

35/、

=才(36-1)

JO

=35--=34—

3636

4

例3

5

=(32-5)X：

=40——=39-

66

13.换乘式

例1123+234+345+456+567+678

=(123+678)X3

=801X3=2403

例2(6.72+6.72+6.72+6.72)X25

=6.72X(4X25)=672

例345000+8+125

=450004-(8X125)

=450004-1000=45

例49.7284-3.24-25

=9.728-r(0.8X4X25)

=9.7284-80

=0.97284-8=0.1216

例533333X33333

=11111X99999

=11111X(100000-1)

=1111100000-11111

=1111088889

综合应用，例如

①1257X(is-喘3+亍11-0.85)

=-125-7X(11.75+11-)-(4^3-+0.85)

8420

1257

=fX8(并项)

O

7

=(125+-)X8(拆和)

O

7

=125X8+-X8(合乘)

=1000+7=1007

331

②⑴了-4元+125-。的+

125.25

=(11.75+1.25—4.15—0.85)X125.25(转)

=[(11.75+1.25)-(4.15+0.85)]X125.25(合)

=8X125.25

=8X(125+0.25)(拆)

=8X125+8X0.25=1002

14.换除式

例如，56004-(25X7)

=56004-74-25

=8004-25=32

15.直接除

例如,||4

25+5,1

=------=I-

36+94

17.以乘代加

例17+4+5+2+3+6

=9X3=27

例2得44

如果两个分数的分子相同，且等于分母之和（或差），那么这两个分数

的和（或差）等于它们的积。

1919361

原式=5'访=而=5而

ETJ88864

原式=1亍一记=亍*记=逅

18.以乘代减

例1—

99100

知，两个分数的分子都是1,分母是连续自然数，其差等于其

积。

8973

111±xlxlxl

由1=1

23742237

1111111

45214204521

可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的

分母加lo第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分

母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……

第n-1个减数的分母的连乘积加上1。（n为不小于2的自然数）其

=-X-X-=---

差等于其积'丁'89735256

19.以加代乘

例如，78X1A-

一个整数与一个整数部分和分子都是1,分母比整数

（另个乘数）小

的带分数相乘，可变乘为加。原式=78+1]=79±

]////

20.以除代乘

例如，25X123678448

=123678448X(1004-4)

=12367844800+4

=3091961200

21.以减代除

当除数是1.5时，从被除数中减去它的,即为商。

1986

例如，1986*1.5=1986--y-

=1986-662=1324

35104-15

=(3510-竽+10

=(3510-1170)4-10=234

22.以乘代除

例如，2.74-44-6X244-27

o.l1111

=—x———=0.1

ii

23.以除代除

例如，7y+5y=7+5«1-

观察其特点，

/A

77

26--13—=26-13=2

13,26

24.并数凑整

例如，372+499

=372+500-1=871

56.7-12.8

=56.7-13+0.2=43.9

25.拆数凑整

例如,476+302

=476+300+2=778

9.42-3.1

=9.42-3-0.1=6.32

26.加分数凑整

应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数,

其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小

数，变成减去整数。

例15-2：

212

=(5+-)-(2-+y)

2_2

=5--3=2—

33

例25j-2-1

46

310

=5----2—

1212

-哈5

55

=5—-3=2—

1212

例38.37-5.68

=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)

=8.69-6=2.69

30.凑公因数

例如，1992X27.5+1982X72.5

=1992X27.5+(1992-10)X72.5

=1992X27.5+1992X72.5-10X72.5

=1992X(27.5+72.5)-725

=199200-725=198475

或原式=(1982+10)X27.5+1982X72.5

31.和差积法

11_6+9_15_5

例16+7=6^9=54=18

11ba

证明—+—=——+——

ababab

(ah1bh1)

1_1_24-4_5

例24-24-4x24-24

32.直接写得数

例1

观察整数和分数部分，显然原式=3。

例27齐6

12.2

=6—^-6=ly

33.变数为式

M1111

例1—+-+—+—

361224

利用—=得

nn_n

2

i_2__2J_2__J__L=J___L

6=3~612=？-1224=12-24

…1111111

原式=丁W-力缶-正)+窃-右

2J」J__L

=3+3~6+6~12+12~24

=_2—__1=_5

3248

1111111

例2—+—+—+—+—+—+—

261220301242

111

+—+—+—

567290

因为底1

o2义32~3

1111

123x434

11_1_1

90=9x10=9-W

…1111111

原式=5+5-])+中#“+%―记)

iiiii11

=—+———+———+・・・+——-■,

22334910

=],—1__=_9_

1010

34.分解再组合

例如，(1+2+34------99)+(4+8+12+…+396)

—(1+2+3+…+99)+4(1+2+3+…+99)

=5(1+2+3+-+99)

35.先分解再通分

例13”

5776

有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而

断定57和76为互质数。

石58369691805

433243324332

判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。

把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因

数整除即可。

57=3X19,如果57和76有公有的质因数，只可能是

3或19。用3、19试除，

[57,761=19X3X4=228。

…4451955

22822822812

111917

例2---+---------

266591

26=2X13,65和91是13的倍数。

最小公分母为

13X2X5X7=910。

37.巧用分解质因数

教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍

数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新

解法，启迪创造思维。

例1184X75

原式=2X2X46X3X5X5

=46X3X(2X5)2

=138X100=13800o

38.“1、r法

一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部

分多1的数，再从1中减去分数部分。

为便于记忆，称“1、1”法。

39.“1,9,9…10”法

一个整数减去一个小数(末位不为0),可先减去比小数高位多

1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。

0

例如,7-4.732=262I

III

7-(4+l)9-39-7

40.改变运算顺序

例1650X744-65

=(6504-65)X74

=10X74=740

例2176X98・49

=176X(984-49)

=176X2=352

例37+13X5294

=­x13=7

例4102X99-0.125X99X8

=102X99-1X99

=99X(100+1)

=9900+99=9999

例52.5x2.斗…义2.'x0.4*0.4x…xO.4,

30个30个

=(2.5X0,4)X(2.5X0.4)x-x(2.5x0.4)

、__________________________________________________>

30个

=[X=]

30个

41.用数据

熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。

例1由37X3=111

知37X6=111X2=222

37X15=37X3X5=555

11

例2-=05_==0.25j=0.75

244

123…

_=0.2_：=0.4—=0.6

555

413

­=0.88=0125-=0.375

8

571

-=0.625-=0.875—=0.0625

816

3=0.04

—=0.05

2025

若把卷II化为小数，以《的数据为基础，用乘或减代除将很快得出

7

—=0.04X7=0.28

25

24

—=1-0.04=0.96

25

例31000以内（不包括整十、整百）只含因数2或5的

2、4、8、16、32>64、128、256、512；

5、25、125、625o

这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。

例4特殊分数化小数

分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把

分子相应地扩大2、5、4、2倍,再缩小10、100倍。

4

例如y=o.8-4X2-10

11

-=0.55-11X5-100

20

1-=0.32-8X4-100

25

21

-=0.42-21X2^100

50

分母是8的最简分数，分子是1、3,小数的第一位也

是1、3o

1=0.1251=0,375

88

推知|=1-0.375=0.625

8

7

-=1-0,125=0,875

8

分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相

同。

148

例如W=o=0.4o=0.8

yyy

例51~9n

1X3.14=3.146X3.14=18.84

2X3.14=6.287X3.14=21.98

3X3.14=9.428X3.14=25.12

4X3.14=12.569X3.14=28.26

5X3.14=15.7

熟记这些数值，可口算。

125647T

例如兀（二—）2=兀%一）=4兀=12.56

2.7c27r

3.14X13=10n+3n=40.82

3.14X89=90n-n

=282.6-3.14=279.46

nXI.58

变为整数，三位数前面补0改为四位数，

2512

1570

+0314

049612

这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数

点得4.9612。也可从高位算起。

42.想特殊性

(1-1+1.07-1081)x(0.75+1-l^-)

+22

31

仔细审题，知第二个括号里的结果为0,此题得0。

例263x]l+1.2x36.5+3^-xl20%-103-j

526

1.03+■化为103x—,1.2=—,120%=三,提取公因数三,其它数合并为—x0,

6□jjj□

所以可直接得0。

例3(1.9-1.9X0.9)4-⑶8-2.8)

除数为1,则商就是被除数。

43.想变式

例I文口，1+---+-------+•••

“，1+21+2+3

]

1+2+3+…+10

因为1=2xg=2x(l-},

---=2x-=2x(--L),

1+26'23，

1111

1+2+3124，

1+2+3+-+10110,10ir

店=八2X(I--1+-1-y1+1111、

44.用规律

例1682+702

两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4

的和。

原式=68X70X2+4

=9520+4=9524。

例2522-512=52+51=103

两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。

例318X19+20

任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的

和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。

原式=20X19-18=362。

例416X17-15X18

四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。

原式=2。

证明：设任意四个连续自然数分别为a—1、a、a+1、a+2,

则a(a+1)—(a—1)(a+2)

=a2+a-a2-a+2=2o

例5一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分

是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律

适用于一些题的简算。

ABABXCD=(ABX100+AB)XCD

=ABX100XCD+ABXCD

=(CDX100+CD)XAB

=CDCDXAB

如：125X5X1616X78

=125X5X7878X16

=(125X8)X(5X2)X7878

=78780000

…AB

O.ABxCD=—xCD

99